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第1章　四边形
1．7 正方形
C
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1．
正方形具备而菱形不具备的性质是(　　)
A．对角线互相平分 　　　
B．对角线互相垂直
C．对角线相等 　　　
D．每条对角线平分一组对角
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C
2．
如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为(　　)
A．30°
B．25°
C．22.5°
D．45°
A
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3．
在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(　　)
A．①处可填AD＝CB
B．②处可填AD⊥AB
C．③处可填∠A＝90°
D．④处可填AD＝AB
4．
3
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为
6 cm的等边三角形，当t＝________时，四边形DEBF为正方形.
【点拨】
由题意得OE＝OF＝t cm，所以EF＝2t cm.因为菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OB＝OD，AC⊥BD.所以四边形DEBF是菱形．所以当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形．因为△ABD是边长为6 cm的等边三角形，所以BD＝6 cm.所以由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3.所以当t＝3时，四边形DEBF是正方形．
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5．
1
如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分的面积为________.
【点拨】
如图．因为四边形A，B是正方形，所以∠DOE＝∠COF＝90°，OD＝OE，∠CDO＝∠FEO＝45°.所以∠COD＋∠DOF＝90°，∠FOE＋∠DOF＝90°.所以∠COD＝∠FOE.
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6．
【证明】因为四边形ABCD是正方形，
所以AD＝BC，∠ADE＝∠CBD＝45°.
又因为DE＝BF，所以△ADE≌△CBF.
[广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF.
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7．
如图，在 ABCD中，AD＝2AB，∠ABC＝60°，E，F是BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是AD，BC上的动点．下列说法中正确的个数是(　　)
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】
连接AC，MN，AC交BD于点O.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为BE＝DF，所以OE＝OF.当MN过点O时，易证OM＝ON，所以四边形MENF为平行四边形．因为点E，F，M，N是动点，所以存在无数个平行四边形MENF；当MN过点O，MN＝EF时，四边形MENF是矩形．
【答案】C
因为点E，F，M，N是动点，所以存在无数个矩形MENF；当MN过点O，MN⊥EF时，四边形MENF是菱形．因为点E，F是动点，所以存在无数个菱形MENF；当MN过点O，MN＝EF且MN⊥EF时，四边形MENF是正方形，符合要求的正方形只有一个，故①②③正确，④错误．
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8．
如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G，∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为________.
【点拨】
如图，连接GE.因为四边形ABCD是正方形，所以∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2.因为点E是BC边的中点，所以BE＝CE＝1.由翻折得∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2，所以∠GFE＝90°＝∠GBE.因为GE＝GE，所以Rt△EFG≌Rt△EBG，所以GF＝GB.
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9．
①②③
如图，在 ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE，DF，DF交AC于点O.则下列结论：①四边形ABEC是正方形；
【点拨】
①因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BF＝CF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DE，AB＝CD.所以∠BAF＝∠CEF.又因为∠AFB＝∠CFE，所以△ABF≌△ECF.所以AB＝CE.所以四边形ABEC是平行四边形．因为∠BAC＝90°，AB＝AC，所以四边形ABEC是正方形，故此结论正确．
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10．
如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF.
(1)若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
【证明】因为四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
所以∠D＝∠A＝90°，HG＝HE＝GF.
又因为AH＝DG＝2，所以Rt△AHE≌Rt△DGH，
所以∠DHG＝∠HEA.
因为∠AHE＋∠HEA＝90°，所以∠AHE ＋∠DHG＝90°，
所以∠EHG＝90°，所以四边形EFGH为正方形．
(2)若DG＝6，求△FCC的面积；
【解】 如图，过F作FM⊥DC，
交DC的延长线于M，连接GE.
因为在矩形ABCD中，AB∥CD，所以∠AEG＝∠MGE.
因为在菱形EFGH中，HE∥GF，所以
∠HEG＝∠FGE，所以∠AEH＝∠MGF.
(3)直接写出当△FCG的面积最小时DG的值.
【点拨】
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11．
DM＋BN＝MN
(1)【初步尝试】如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系：________________.
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图②，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，试猜想线段MN，DM，BN的数量关系；
【解】猜想：BN－DM＝MN.
如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，所以DM＝BE，AM＝AE，∠EAM＝∠ADM＝∠ABE＝90°.所以E在BC上．
因为∠MAE＝90°，∠MAN＝45°，所以
∠EAN＝45°＝∠MAN.
因为AN＝AN，所以△EAN≌△MAN.
所以EN＝MN.所以BN－BE＝MN. 所以BN－DM＝MN.
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，试猜想线段BN，DM，MN的数量关系.
【解】猜想：DM＋BN＝MN.
如图②，将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B重合，得到△ABE，所以DM＝BE，AM＝AE，∠EAM＝120°，∠D＝∠ABE.因为∠EAM＝120°，∠MAN＝60°，
所以∠EAN＝∠MAN.因为∠ABC＋∠D＝180°，
所以∠ABE＋∠ABC＝∠D＋∠ABC＝180°.
所以E，B，N三点共线．因为AN＝AN，
所以△EAN≌△MAN. 所以EN＝MN.所以EB＋BN＝MN.
所以DM＋BN＝MN.
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第1章　四边形
1．2 平行四边形
1．2.1　平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
C
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1．
如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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A
2．
如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数为(　　)
A．60°
B．80°
C．100°
D．120°
119°
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3．
如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC＝________.
4．
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减小
“力的合成”遵循平行四边形法则，即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F.如图，设两个共点力的合力为F，现保持两力的夹角θ(0°<θ<90°)不变，若其中一个力减小，另一个力不变，则合力F________(填“增大”“减小”或“不变”).
5．
36或24
四边形ABCD是平行四边形，∠A，∠D的平分线分别交BC边于点E和点F，若EF＝3，AB＝5，则四边形ABCD的周长为________.
【点拨】
因为AE平分∠BAD，所以∠BAE＝∠DAE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥CB，CD＝AB＝5，所以∠AEB＝∠DAE，所以∠BAE＝∠BEA，所以BE＝AB＝5.同理可得，CF＝CD＝5.分两种情况：①如图①，因为EF＝3，所以BC＝BE＋EF＋CF＝5＋3＋5＝13，所以平行四边形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(5＋13)＝36；
②如图②，因为EF＝3，BE＝CF＝5，所以BF＝BE－EF＝2，所以BC＝BF＋CF＝2＋5＝7，所以平行四边形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(5＋7)＝24.
综上所述，平行四边形ABCD的周长为36或24.
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6．
3
[上海嘉定区期末]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，那么以下结论：
①∠ABC＝∠DCB；②OA＝OD；③∠BCD＝∠BDC；④S△AOB＝S△COD．其中正确的有________个.
【点拨】
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，所以易得∠ABC＝∠DCB，①正确；因为AB＝CD，BC＝BC，所以△ABC≌△DCB，所以∠ACB＝∠DBC，AC＝BD，所以OB＝OC，所以AC－OC＝BD－OB，即OA＝OD，②正确；∠BCD和∠BDC不一定相等，故③错误；易得S△ABC＝S△DCB，所以S△ABC－S△OBC＝S△DCB－S△OBC，所以S△AOB＝S△COD，④正确．故正确的有3个．
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7．
如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.
(1)求证：△EBC≌△FGC；
【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A＝∠BCD，∠D＝∠B，AD＝BC.
由折叠可得，∠A＝∠ECG，∠D＝∠G，AD＝CG，
所以∠B＝∠G，BC＝GC，∠BCD＝∠ECG，
所以∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF，
所以∠ECB＝∠FCG，所以△EBC≌△FGC.
(2)若∠ECB＝30°，∠A＝120°，试判断△ECF的形状.
【解】因为∠A＝∠BCD＝120°，∠ECB＝30°，
所以∠ECF＝90°.
因为△EBC≌△FGC，所以EC＝FC，
所以△ECF为等腰直角三角形．
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8．
如图，四边形ABCD是平行四边形，E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；
③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【点拨】
【答案】D
因为BC＝EC，所以∠CEB＝∠CBE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC∥AB，所以∠CEB＝∠EBF.所以∠CBE＝∠EBF，所以BE平分∠CBF，故①正确；因为BC＝EC，CF⊥BE，所以∠ECF＝∠BCF，即CF平分∠DCB，故②正确；因为DC∥AB，所以∠DCF＝∠CFB.因为∠ECF＝∠BCF，所以∠CFB＝∠BCF.所以BF＝BC，故③正确；因为FB＝BC，CF⊥BE，所以BE垂直平分CF，即点P在 CF的垂直平分线上，所以PF＝PC，故④正确．故选D.
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9．
【点拨】
过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，AD∥BC.因为AE⊥BC，DH⊥BC，所以AE＝DH.所以Rt△DCH≌Rt△ABE.所以CH＝BE＝x.
【答案】C
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10．
49°
将一张平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE，CF为折痕，折叠后点B′，D′，C在同一直线上，连接BB′，DB′.已知B′C＝B′D，∠BB′C＝58°，∠B′DA＝18°，则∠EBC＝________.
【点拨】
设∠EBC＝α，因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ADC＝∠EBC＝α，AB∥CD，所以∠BCD＝180°－∠EBC＝180°－α.由折叠得B′C＝BC，所以∠BB′C＝∠B′BC＝58°，所以∠BCB′＝180°－∠BB′C－∠B′BC＝180°－58°－58°＝64°，所以∠B′CD＝∠BCD－∠B′CB＝180°－α－64°＝116°－α.又因为B′C＝B′D，所以∠B′CD＝∠B′DC，所以116°－α＝α＋18°，解得α＝49°，即∠EBC＝49°.
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11．
8
【点拨】
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12．
4
如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，CF⊥AD于点F，交BE于点G，且CF＝CE，连接EF.
(1)若CD＝5，DF＝3，则BC＝________；
【证明】如图，延长CM交EF于H.
因为CE＝CF，CM平分∠DCF，
所以CH⊥EF，EF＝2EH.所以∠CHE＝90°.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC＝∠ADC.
因为CF⊥AD，所以∠CFD＝90°.
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13．
如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF, 请判断GF与EF的关系.
【解】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，AB∥CD.所以∠DAB＋∠ADC＝180°.
因为△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，CD＝AB，
所以易得DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.
所以∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠BAD＝270°－(180°－∠CDA)＝90°＋∠CDA.
所以∠FDG＝∠EAF.所以△EAF≌△GDF.
所以EF＝FG，∠EFA＝∠GFD.
所以∠EFA＋∠GFA＝∠GFD＋∠GFA，
即∠GFE＝∠DFA＝90°.所以GF⊥EF.
综上，GF＝EF，GF⊥EF.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
【解】GF＝EF，GF⊥EF仍然成立．证明如下：
同(1)可知DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，
∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.
因为AB∥CD，
所以∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°.
所以∠EAF＋∠CDF＝45°.
又因为∠CDF＋∠GDF＝45°，所以∠FDG＝∠EAF.
所以△EAF≌△GDF.
所以EF＝FG，∠EFA＝∠DFG.
所以∠EFA＋∠GFA＝∠GFD＋∠GFA，
即∠GFE＝∠DFA＝90°.所以GF⊥EF.
综上，GF＝EF，GF⊥EF.
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第1章　四边形
1．2 平行四边形
1．2.2　平行四边形的判定
第1课时 由边的关系判定平行四边形
D
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1．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，给出下列条件，其中能使四边形ABCD成为平行四边形的是(　　)
A．∠1＝∠2
B．AD＝BC
C．∠ABO＝∠ADO
D．AB＝CD
2．
已知一个四边形的四条边长顺次为a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形是(　　)
A．长方形
B．等腰梯形
C．正方形
D．平行四边形
【点拨】
【答案】D
将a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd整理，得(a－c)2＋(b－d)2＝0，所以a＝c，b＝d.所以此四边形是平行四边形．
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D
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3．
如图，将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中平行四边形的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
4．
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8
如图所示，AB∥DC，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和BD交于点E，若S△ABE＝4，则S△ACD＝________.
5．
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BE＝DF
(答案不唯一)
如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：__________，使四边形AECF是平行四边形.
6．
[苏州中考]如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE.
(1)求证：△DAC≌△ECB；
(2)连接DE，若AB＝16，求DE的长.
【解】因为AB＝16，所以BC＝8.
因为△DAC≌△ECB，所以CD＝BE.
又因为CD∥BE，所以四边形BCDE是平行四边形，
所以DE＝BC＝8.
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7．
现有一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两名同学的作法如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．甲对、乙不对
B．甲不对、乙对
C．甲、乙都对
D．甲、乙都不对
【点拨】
甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC.所以BM＝DN.所以CM＝AN.所以四边形ANCM是平行四边形；乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，所以∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC.
【答案】C
所以∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN.所以∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN，所以AB＝BM，CD＝DN，所以BM＝DN.所以AN＝CM.所以四边形ANCM是平行四边形．故选C.
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8．
如图，AB＝CD，BC＝AD，将△ACD沿直线l向右平移到△EFG的位置，点A对应点E，且点E，C不重合，连接BE，CG，有下列结论：
结论1：以点B，E，G，C为顶点的四边形总是平行四边形；结论2：当BE最短时，BC⊥CG.
下列判断正确的是(　　)
A．只有结论1正确
B．只有结论2正确
C．结论1、结论2都正确
D．结论1、结论2都不正确
【点拨】
【答案】A
因为AB＝CD，BC＝AD，所以四边形ABCD是平行四边形．所以AD∥BC.由平移的性质得EG∥AD，GE＝AD，所以EG∥BC，GE＝BC.所以以点B，E，G，C为顶点的四边形总是平行四边形．所以结论1正确；当BE最短时，BE⊥AC，所以∠BEC＝90°.所以∠BEG＝∠BEC＋∠CEG＞90°.因为四边形BEGC是平行四边形，所以∠BCG＝∠BEG.所以∠BCG＞90°.所以BC与CG不垂直．所以结论2错误．故选A.
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9．
[安徽中考]在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　)
A．四边形EFGH的周长
B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积
D．线段FH的长
【点拨】
【答案】C
因为四边形EFGH的面积＝S△GEF＋S△GEH，所以 四边形EFGH的面积始终为 ABCD面积的一半，是定值．选项A：因为EF，FG，GH，HE的长随F，H的移动而变化，所以四边形EFGH的周长不定，错误．选项B：∠EFG随F的移动而变化，错误．
选项D：FH的长度随F，H的移动而变化，错误．综上，四边形EFGH的面积是定值．故选C.
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10．
4 m
如图，等边三角形ABC是一块周长为12 m的草坪，点P是草坪内的任意一点， 过点P有三条小路PD，PE，PF，且满足PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，则三条小路的总长度为________.
【点拨】
如图，延长FP交AB于点G.因为△ABC是等边三角形，且周长为12 m，所以AB＝AC＝BC＝4 m，∠A＝∠B＝∠C＝60°.因为PF∥BC，所以∠AFG＝∠C＝60°，∠AGF＝∠B＝60°.因为PD∥AC，所以∠PDB＝∠A＝60°，∠DPG＝∠AFG＝60°.所以∠PDG＝∠DGP＝∠DPG＝60°.
所以△DGP是等边三角形．所以DP＝PG.所以PD＋PF＝PG＋PF＝FG.因为∠A＝∠AFG＝∠AGF＝60°，所以△AFG是等边三角形，所以FG＝AG.
因为FG∥BC，PE∥AB，所以四边形BGPE是平行四边形．所以PE＝BG.
所以PD＋PF＋PE＝AG＋BG＝AB＝4 m.
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11．
如图，四边形ABCD是平行四边形，直线EF∥AB分别交AD，BC于点M，N，且EF＝AB，连接AE，DE，BF，CF.
(1)证明：△ADE≌△BCF；
【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC.
因为EF∥AB，EF＝AB，
所以AB∥EF∥CD，AB＝EF＝CD，
所以四边形ABFE是平行四边形，四边形CDEF是平行四边形．
所以AE＝BF，ED＝CF.所以△ADE≌△BCF.
【解】如图，连接AN，DN.
易证四边形ABNM和
四边形CDMN都是平行四边形．
因为MN∥AB∥CD，
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12．
如图，等边三角形ABC的边长为10 cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B方向以4 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以3 cm/s的速度运动.
(1)若M，N同时出发，则经过几秒，两点第一次相遇？
(2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．那么运动到第几秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出运动的时间，并请指出此时点D的具体位置.
【解】设运动时间为t s．
因为等边三角形ABC的边长为10 cm，
所以AB＝AC＝BC＝10 cm.
①当点M在AB上，点N在AC上，点D在BC上时，
BM＝4t cm，CN＝3t cm.
当四边形ANDM为平行四边形时，
DM＝AN，DM∥AN. 因为△ABC为等边三角形，
所以易得△BMD是等边三角形．所以BM＝DM.
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第1章　四边形
1．5 矩形
1．5.2　矩形的判定
D
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1．
[德阳中考]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　)
A．AB∥CD
B．AB＝BC
C．∠ABC＝∠ADC
D．AC＝BD
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D
2．
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形相框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是(　　)
A．测量对角线是否互相平分
B．测量对角线是否相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量四边形的其中三个角是否都为直角
C
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3．
[临沂模拟]如图，在 ABCD中，DE⊥BC于点E，用尺规在AD上作出点F，使得四边形BEDF为矩形，则下列说法正确的是(　　)
小洛：如图①，连接AC，
BD交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接BF.
小宇：如图②，在AD上截取DF＝BE，连接BF.
A．小洛的作法正确 B．小宇的作法正确
C．两人作法都正确 D．两人作法都不正确
4．
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如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件：____________时，四边形PEMF为矩形.
5．
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24
如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则矩形ABCD的面积是________.
6．
4
如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC的平分线上一点，PM∥AC交AB 于点M，PD⊥AC于点D，若PM＝8，则PD＝________.
【点拨】
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7．
[云南中考]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD，记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
【证明】因为O是AC的中点，所以OA＝OC.
因为OD＝OB，所以四边形ABCD是平行四边形．
因为∠ABC＝90°，所以四边形ABCD是矩形．
(2)若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长.
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8．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为(　　)
【点拨】
延长AB，在AB的延长线上截取BM＝AB，连接CM，过点C作CN⊥AB，交AB的延长线于点N，如图．因为AB∥CD，AB⊥BD，所以CD⊥BD.所以易得四边形BNCD是矩形．
所以BN＝CD＝3，CN＝BD＝4.
【答案】C
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9．
[安徽中考]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是(　　)
【点拨】
由旋转得DE＝DF，∠EDF＝90°.如图①，过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I.又因为∠A＝∠ABC＝90°，所以四边形ABGD是矩形．
所以∠GDA＝∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠EDG＋∠HDF.所以∠ADE＝∠HDF.又因为AD＝DH，DE＝DF，所以△DHF≌△DAE.
【答案】A
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10．
45°
如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB－∠DCE＝________.
【点拨】
如图，取格点H，G，连接BH，GH，BG，设BH，AC交于O.易知四边形ABCH是矩形，所以OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB.因为BC＝GE，BC∥GE，所以四边形BCEG是平行四边形．所以BG∥CE.所以∠GBD＝∠ECD.所以∠ACB－∠DCE＝∠OBC－∠GBC＝∠HBG.
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11．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，0≤t≤5.
(1)试证明：四边形EGFH为平行四边形；
(2)当t＝________时，四边形EGFH为矩形.
0.5或4.5
【点拨】
①如图①，由题意得AE＝CF＝t，
则EF＝5－2t＝4，解得t＝0.5；
②如图②，由题意得AE＝CF＝t，则EF＝5－2(5－t)＝4，
解得t＝4.5.
综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．
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12．
[合肥模拟]如图，铁路(看作线段)上A，B两点相距40千米，C，D为两个村庄(看作两点)，AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝24千米，BC＝16千米.
(1)求两个村庄之间的距离CD；
(2)现要在线段AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请求出BP的长；
【解】设AP＝x千米，则BP＝AB－AP＝(40－x)千米．
在Rt△APD中，根据勾股定理可得PD2＝AP2＋AD2＝x2＋242，
在Rt△BPC中，根据勾股定理可得
PC2＝BP2＋BC2＝(40－x)2＋162.
因为PC＝PD，所以(40－x)2＋162＝x2＋242，解得x＝16.
所以BP＝24千米．
【解】如图②，构造几何图形，使AB＝16，AD⊥AB，AD＝9，BC⊥AB，BC＝3，作点C关于AB的对称点F，连接DF，交AB于点H，过点F作FG⊥DA交DA延长线于点G，连接HC，则∠G＝90°，
HC＝HF，BC＝BF.
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第1章　四边形
1．5 矩形
1．5.1　矩形的性质
D
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1．
如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB∥CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
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A
2．
下列性质中，矩形不一定具有的是(　　)
A．对角线互相垂直 　
B．是轴对称图形
C．对角线互相平分且相等 　
D．邻边互相垂直
C
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3．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则AC的长为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
4．
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D
如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是(　　)
A．∠1＝45°－α B．∠1＝α
C．∠2＝90°－α D．∠2＝2α
5．
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3
6．
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5
[内江中考]如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是________.
7．
【解】如图．
[烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长.
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8．
出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD，EG⊥AC，
则EH＋EG的值是(　　)
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
【点拨】
【答案】A
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9．
90°
如图，在矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，F是AE的中点，连接BF，DF，则∠BFD＝________.
【点拨】
如图，延长BF，交DA的
延长线于点M，连接BD. 因为四边形ABCD是矩形，所以MD∥BC，AC＝BD，AD＝BC.所以∠AMF＝∠EBF，∠E＝∠MAF.因为F是AE的中点，所以FA＝FE.所以△AFM≌△EFB.所以AM＝BE，FB＝FM.所以BC＋BE＝AD＋AM，即CE＝MD.因为CE＝AC，所以MD＝BD.又因为FB＝FM，所以BF⊥DF，所以∠BFD＝90°.
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10．
①②
【点拨】
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11．
4或1
在矩形ABCD中，BC＝4，E为AD的中点，点F在射线AB上，BF＝3，过点E作EG⊥CF于点G.EF平分∠AEG，则AB＝________.
【点拨】
根据题意分两种情况讨论．
①当点F在AB边上时，如图①，连接CE.
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝∠B＝90°，AD＝BC＝4.
因为E为AD的中点，所以AE＝DE＝2.
因为EF平分∠AEG，EG⊥CF，∠A＝90°，所以AF＝GF.
又因为EF＝EF，所以Rt△AEF≌Rt△GEF.
所以AE＝EG＝2.所以EG＝ED.
又因为CE＝CE，所以Rt△CDE≌Rt△CGE.所以CD＝CG.
设AF＝FG＝y，则CG＝CF－FG＝5－y，
CD＝AB＝AF－BF＝y－3，所以y－3＝5－y，
解得y＝4.所以AB＝y－3＝1.
综上所述，AB的长为4或1.
【点易错】
当点F在射线AB上时，分点F在线段AB上和点F在AB的延长线上两种情况．分别画出两种情况的示意图，根据矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质及勾股定理等解决问题．
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12．
已知在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF.
(1)如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
【解】因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6.
因为CF＝2BE＝2，所以BE＝1，BF＝BC－CF＝4.
所以AE＝AB－BE＝7.
在Rt△ADE中，DE2＝AE2＋AD2＝72＋62＝85，
在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2＝82＋22＝68，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2＝12＋42＝17，
所以DF2＋EF2＝DE2. 所以△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°.
(2)如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，直接写出BF的长.
【点拨】
如图，作EH⊥DF于点H，则∠EHF＝∠DHE＝90°＝∠A.
因为E是AB的中点，AB＝8，
所以AE＝EB＝4.
因为DE平分∠ADF，
所以∠ADE＝∠HDE.
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13．
小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在 ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连接DE，可以得到AC∥DE.
(1)如图，如果AD与CE相交于点O，求证：AC∥DE；
【证明】因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AD∥BC，AD＝CB.
所以∠DAC＝∠BCA.
由折叠可知∠ACE＝∠BCA，EC＝BC，
所以∠DAC＝∠ACE，EC＝AD.
所以OA＝OC.
(2)如果∠B＝45°，BC＝2，当以A，C，D，E为顶点的四边形是矩形时，求出AC的长；
(3)如果∠B＝30°，AB＝3，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长.
【点拨】
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第1章　四边形
1．3 中心对称和中心对称图形
D
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1．
2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是(　　)
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A
2．
如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是(　　)
B
返回
3．
如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是(　　)
A．∠ABC＝∠A′B′C′
B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB A′B′
D．OA＝OA′
4．
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线段、正方形、圆
在线段、等边三角形、平行四边形、等腰梯形、正方形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有_________________.
5．
返回
4
6．
返回
9
将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是________cm2.
7．
1如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A′BD 与△ACD关于点D成中心对称．若AB＝5，AC＝3，则线段AD的取值范围是________.
【点拨】
易知AD＝A′D，所以AA′＝2AD.因为AC＝A′B，AC＝3，所以A′B＝3.在△AA′B中，AB－A′B返回
8．
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【解】如图，对称中心O和三角形A′B′C′即为所求．
如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，并补全三角形A′B′C′.
9．
返回
D
如图，△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O任作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.下列结论：
①点E和点F、点B和点D分别关于点O成中心对称；
②直线BD必经过点O；
③四边形ABCD是中心对称图形；
④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
⑤△AOE与△COF成中心对称.
其中正确的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
10．
如图是三个小正方形组成的图形，请你在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形、中心对称图形的个数分别是(　　)
A．3，2
B．3，3
C．4，2
D．4，3
【点拨】
【答案】D
如下图，补画完的图形是轴对称图形，一共有4个．

如下图，补画完的图形是中心对称图形，一共有3个．
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11．
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E
一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于360°)后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．下列图形中不是旋转对称图形的有________，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有________，旋转72°能够完全重合的图形有________.
A，C
B，D
12．
【解】因为△AOB绕点O旋转180°得到△COD，
所以OA＝OC，OB＝OD.因为BE＝DF，
所以OF＝OE，所以四边形AFCE是平行四边形．
如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且BE＝DF，连接AF，FC，CE，EA．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形.
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13．
中心
如图，网格中每个小正方形的边长为1，观察图①中的三个图案，解答下列问题：
(1)这三个图案都具有以下共同特征：都是________对称图形，都不是________对称图形.
轴
(2)请在图②中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，且不能与图①中所给出的图案相同.
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14．
经过对称中心
【问题探究】(1)如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______________的直线将它分成面积相等的两部分.
(2)图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线EF将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．(不写画图过程，保留画图痕迹)
【解】如图①，直线EF即为所求．
【总结规律】(3)由两个中心对称图形组合成的图形，________________________________的直线将它分成面积相等的两部分.
经过两个中心对称图形的对称中心
【拓展应用】(4)如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植(分成面积相等的两部分)，请你帮助他们用一条直线MN分开．(不写画图过程，保留画图痕迹)
【解】如图②，直线MN即为所求．
(答案不唯一)
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第1章　四边形
1.1 多边形
第2课时 多边形的外角和
C
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1．
四边形具有不稳定性，当改变四边形的形状时，发生变化的是(　　)
A．边长
B．周长
C．某些角的大小
D．内角和
返回
A
2．
[遂宁中考]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(　　)
A．10
B．11
C．12
D．13
B
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3．
图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图②是从图①的冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，AB∥CD，
则∠1＋∠2＋∠3＝(　　)
A．100° B．180°
C．210° D．270°
4．
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①③
如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形，有下列结论：
①变成五边形后外角和不发生变化；
②变成五边形后内角和增加了360°；
③通过图中条件可以得到∠1＋∠2＝240°；
④变成五边形后，周长变大.
其中正确的是________(填序号).
5．
请根据对话信息回答问题：
(1)多加的外角是________°，这个凸多边形的边数是________；
(2)这个多边形的内角和是________°，有________条对角线.
44
13
1 980
65
【点拨】
(1)因为n边形的内角和是(n－2)×180°，所以多边形的内角和一定是180°的正整数倍．因为2 024°÷180°＝11……44°，所以多加的外角是44°，这个凸多边形的边数是11＋2＝13.
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6．
如图，小聪从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了72米，则θ的度数为(　　)
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
【点拨】
【答案】A
因为第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，所以正多边形的边数为72÷6＝12.又因为多边形的外角和为360°，所以θ＝360°÷12＝30°.
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7．
12
如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n＝________.
【点拨】
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8．
105°
如图，BE，DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，∠BAD＝α，∠BCD＝β.
(1)如图①，若α＋β＝105°，则∠MBC＋∠NDC＝________；
【点拨】
因为四边形ABCD的内角和为360°，所以α＋β＝∠A＋∠BCD＝360°－(∠ABC＋∠ADC)．因为∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，所以∠MBC＝180°－∠ABC，∠NDC＝180°－∠ADC.所以∠MBC＋∠NDC＝180°－∠ABC＋180°－∠ADC＝360°－(∠ABC＋∠ADC)＝α＋β＝105°.
(2)如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系；
【解】β－α＝90°.
【点拨】
(3)如图②，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由.
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第1章　四边形
1．6 菱形
1．6.1　菱形的性质
B
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1．
要使 ABCD为菱形，还需添加的条件是(　　)
A．AB＝CD
B．AB＝BC
C．AD＝BC
D．AC＝BD
返回
C
2．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(　　)
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠DAC＝∠BAC
D
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3．
如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　　)
4．
【点拨】
【答案】A
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5．
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2:1(或1:2)
6．
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中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得BD＝6 cm，AB＝5 cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则线段EF的长为________cm.
7．
【证明】因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝AD，∠B＝∠D.
因为AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
所以∠AEB＝∠AFD＝90°.
所以△ABE≌△ADF.所以AE＝AF.
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
【解】因为四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
所以∠BAD＝120°.
因为∠AEB＝90°，∠B＝60°，所以∠BAE＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，所以∠BAE＝∠DAF＝30°.
所以∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.又因为AE＝AF，
所以△AEF是等边三角形．所以∠AEF＝60°.
【点方法】
利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质，可解决实际问题中有关菱形边、角的计算(或证明线段、角的相等)问题，一般是根据菱形的性质，将有关的边、角的求解问题，转化到三角形中(或证明三角形的全等)，再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等)，从而解决问题．
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8．
如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE＋CF的长度(　　)
A．逐渐增加
B．先减小再增加
【点拨】
【答案】D
如图，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠C＝∠A＝60°，所以△ABD，△CDB是等边三角形，所以∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD.因为∠EBF＝60°，所以∠EBD＋∠DBF＝∠CBF＋∠DBF＝60°，所以∠CBF＝∠EBD.又因为∠C＝∠EDB＝60°， 所以△CBF≌△DBE，所以CF＝DE，所以AE＋CF＝AE＋DE＝AD＝4，故选D.
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9．
【点拨】
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10．
[连云港中考]如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点， 四边形DAEF为平行四边形，则BE＋BF的最小值为________.
【点拨】
因为四边形DAEF为平行四边形，所以EF＝AD，DF＝AE，DF∥AE.如图，过点B作AC的平行线MN, 作点E关于MN的对称点E′，EE′交MN于点H.由对称性得BE＝BE′，EE′⊥BH，EH＝E′H，所以BE＋BF＝BE′＋BF≥E′F，当且仅当E′，B，F三点共线时，BE＋BF取得最小值，最小值为E′F的长，
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11．
【证明】因为四边形ABCD是菱形，
所以CD＝CB，∠DCA＝∠BCA.又因为CP＝CP，
所以△DCP≌△BCP，所以PD＝PB.
[福州月考]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD，PB．
(1)求证：PD＝PB；
(2)将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？
所以∠PMA＝∠PNA＝90°，PM＝PN，
所以∠MPA＝∠NPA＝30°.所以∠MPN＝60°.
由旋转可得PD＝PQ，所以Rt△PND≌Rt△PMQ.
所以∠DPN＝∠QPM.
所以∠DPN－∠QPN＝∠QPM－∠QPN，
即∠DPQ＝∠MPN＝60°.
所以∠DPQ的大小不发生变化．
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12．
BP＝CE
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是线段BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化.
(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE.判断：BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是____________，
请写出证明过程.
CE⊥AD
证明：连接AC，交BD于点O.
因为四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝BC，∠ABD＝30°，BC∥AD.
所以△ABC为等边三角形．
所以∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.
因为△APE为等边三角形，
所以AP＝AE，∠PAE＝60°，
所以∠BAC－∠PAC＝∠PAE－∠PAC，即∠BAP＝∠CAE.
(2)若AB＝4，点Q为CD的中点，则线段EQ的长的最小值为________.
1
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第1章　四边形
1．4 三角形的中位线定理
C
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1．
[山西中考]如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　)
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C
2．
[广东中考]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　)
A．20°
B．40°
C．70°
D．110°
3．
如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】
【答案】B
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4．
[长沙天心区月考]如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，下列结论成立的是(　　)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．四边形ABCR的面积不变
【点拨】
【答案】A
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5．
30°
如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE＝________.
【点拨】
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6．
8
如图，在 ABCD中，点E，F分别为AD，AB的中点，AC与BD交于点O，已知四边形AFOE的周长为4，则 ABCD的周长为________.
【点拨】
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7．
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，∠BAD＝60°，AC平分∠BAD．试判断△BMN的形状.
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8．
如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的取值范围为(　　)
A．0＜EF＜1
B．2＜EF≤3
C．0.5＜EF≤2.5
D．1＜EF≤5
【点拨】
【答案】C
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9．
如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF的长为(　　)
A．2.5
B．2
C．1.5
D．1
【点拨】
【答案】C
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10．
【点拨】
返回
11．
27－n
如图，△ABC的周长为64，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点，A′，B′，C′分别为EF，EG，GF的中点．如果△ABC，△EFG，△A′B′C′分别为第1，2，3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么
第n个三角形的周长是________.
【点拨】
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12．
90
【点拨】
所以△ACE≌△BCD.所以∠CAE＝∠CBD.所以∠BAD＋∠CBD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAB＝45°.所以∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CBD＋∠CBA＝90°.所以∠BDA＝90°.
(2)若F为BC的中点，求EG的长.
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13．
(1)如图①，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG.猜想FG与△ABC三边有怎样的数量关系．(提示：分别延长AF，AG与直线BC相交)
(2)如图②，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG.线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
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第1章　四边形
1.1 多边形
第1课时 多边形及其内角和
A
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1．
下列图形中属于多边形的有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3个 B．4个 C．5个 D．2个
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D
2．
下列说法不正确的是(　　)
A.正多边形的各边都相等
B.正多边形的各内角都相等
C.从n(n>3)边形的一个顶点引出的对角线可以将该多边形分割成(n－2)个三角形
D.正多边形的各对角线相等
D
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3．
如图，三个正方形的一些顶点处标出了角的度数，则x的值为(　　)
A．30
B．39
C．40
D．41
4．
返回
A
如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝(　　)
A．280°
B．260°
C．240°
D．220°
5．
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7
从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m＋n＝________.
6．
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9
[扬州中考]若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________.
7．
返回
2
[成都中考]正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为________.
8．
110°
(1)一个n边形，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2 770°，则这个内角的度数为________.
【点拨】
设这个内角的度数为x，
则(n－2)×180°－x＝2 770°，
即180°·n＝3 130°＋x.
又因为n为正整数，0°＜x＜180°，所以n＝18.
所以这个内角的度数为180°×(18－2)－2 770°＝110°.　
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角的度数是多少？
【解】设多加的这个内角的度数为α，
则(n－2)·180°＝1 380°－α.
因为1 380°＝7×180°＋120°，多边形的内角和应是180°的正整数倍，所以n＝9，α＝120°.
答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角的度数是120°.
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9．
D
一多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　　)
A．7　 　
B．7或8　 　
C．8或9　 　
D．7或8或9
【点易错】
解此题时，易因考虑问题不全面而导致漏解．
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10．
如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，∠A与∠1，∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　　)
A．∠A＝∠1－2∠2
B．∠A＝2∠1－∠2
C．2∠A＝2∠1－∠2
D．2∠A＝∠1－∠2
【点拨】
【答案】D
如图，设AE，CD交于点F，因为四边形BCFE中，∠CFE＝360°－∠B－∠C－∠1，∠AFD＝180°－∠2－∠A，∠CFE＝∠AFD，所以360°－∠B－∠C－∠1＝180°－∠2－∠A，即360°－(∠B＋∠C)－∠1＝180°－∠2－∠A.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠B＋∠C＝180°－∠A.
所以360°－(180°－∠A)－∠1＝
180°－∠2－∠A，整理，得180°＋∠A－∠1＝180°－∠2－∠A，即∠1－∠2＝2∠A.
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11．
如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2的度数是(　　)
A．108°　　　
B．36°　　　
C．72°　　　
D．144°
【点拨】
【答案】C
如图，延长AB交l2于点M.
易得∠ABC＝108°，所以∠MBC＝72°.
因为l1∥l2，所以∠2＝∠BMD.因为∠1＝∠BMD＋∠MBC，所以∠1－∠BMD＝∠MBC.所以∠1－∠2＝72°.
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12．
120°
近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图是一个帐篷酒店入口的结构示意图，若AB∥CD，BE∥FG，ED∥HI，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，则∠E的度数为________.
【点拨】
如图，延长FG交ED于点M，延长IH交GM于点N，连接PK.由题意，得∠P＋∠K＝180°.因为八边形PAFGHICK的内角和是(8－2)×180°＝1 080°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝(1 080°－180°)÷6＝150°.
因为∠3＋∠NGH＝180°，
∠4＋∠NHG＝180°，所以∠NGH＝30°，
∠NHG＝30°. 所以∠GNH＝180°－∠NGH－∠NHG＝120°.又因为ED∥HI，所以∠GMD＝∠GNH＝120°.又因为BE∥FG，所以∠E＝∠GMD＝120°.
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13．
36
如图所示，五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝120°，且AB＝4，BC＝4，CD＝8，则该五边形的周长为________，面积为________.
【点拨】
如图所示，分别延长ED，BC相交于点N，延长EA，CB相交于点M.因为∠EAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝120°，∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°，所以∠MAB＝∠MBA＝∠NCD＝∠NDC＝∠E＝∠M＝∠N＝60°.所以△MEN，△DCN，△ABM均为正三角形．因为AB＝4，BC＝4，CD＝8，所以AM＝BM＝AB＝4，DN＝NC＝CD＝8.
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14．
6
剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成2张纸片；从这2张中任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成2张纸片，这样共有4张纸片；…，如此下去，若最后得到10张纸片，其中有
1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________.
【点拨】
由题意可知，每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，最后得到10张纸片，故剪了9次，即增加的度数为360°×9.设还有一张多边形纸片的边数为n，可得(5－2)×180°＋3×180°＋(4－2)×180°×5＋(n－2)×180°＝360°＋360°×9，解得n＝6.
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15．
【解】∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
证明：因为∠AOB＋∠A＋∠B＝180°，
∠COD＋∠C＋∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
所以∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
如图，AD与BC交于点O.
(1)如图①，判断∠A＋∠B与∠C＋∠D的数量关系，并证明你的结论.
(2)如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠M的度数为________.
540°
【点拨】
连接AB，由(1)得，∠OBA＋∠OAB＝∠C＋∠D，所以∠OAM＋∠OBE＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠M的度数为(5－2)×180°＝540°.
(3)如图③，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF与DE交于点M，∠E＋∠F＝50°，求∠A＋∠B的度数.
【点方法】
本题属于“8字模型”，当两个三角形中有两个角为对顶角时，就会构成“8字模型”，“8字模型”往往会有角度的关系．如题图①中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D.在题图②中，连接AB，利用“8字模型”，把求∠OAM＋∠OBE＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠M的度数转化为求五边形ABEFM的内角和的问题，进而求解．
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16．
(2n＋1)
(1)在图①中，互不重叠的三角形共有3个，在图②中，互不重叠的三角形共有5个，在图③中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有________个；(用含n的代数式表示)
(2)若在如图④所示的n边形中，P是A1An边上的点，分别连接PA2，PA3，PA4，…，PAn－1，得到(n－1)个互不重叠的三角形．请根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式；
【解】设n边形的内角和为m，则由题意，得m＝(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.
(3)若在四边形内部有n个不同的点，按照(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系.
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第1章　四边形
1．2 平行四边形
1．2.1　平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
C
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1．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AC＝BD
C．OB＝OD
D．∠ABC＝∠BAC
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C
2．
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，
BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为(　　)
A．8
B．10
C．15
D．30
16
(答案不唯一)
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3．
已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，
BD＝8，则△OCD的周长可能为________．(写出一个即可)
4．
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如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝________.
【点拨】
5．
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8 cm
已知 ABCD的周长为26 cm，对角线AC，BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长多3 cm，则BC的长度为________.
6．
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30
如图，P是 ABCD内部的任意一点，连接AP，DP，BP，CP.若△PAB的面积为S1，△PDC的面积为S2，且S1＋S2＝15，则 ABCD的面积是________.
7．
【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，OA＝OC.
所以∠EAO＝∠FCO.
又因为∠AOE＝∠COF，所以△AEO≌△CFO.
所以OE＝OF.
[教材P11例4] 如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长.
【解】因为OE＝OF，OE＝3.5，所以EF＝2OE＝7.
又因为EF⊥AD，S ABCD＝63，
所以AD·EF＝63，所以AD＝9.
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8．
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C
如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E，F分别是OC，AB的中点，连接BE，FE，若∠ABE＝42°，则∠AEF＝(　　)
A．42°
B．45°
C．46°
D．48°
【点拨】
【答案】D
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10．
4
【点拨】
返回
11．
【点拨】
返回
12．
45°
【点拨】
(2)在(1)的条件下，连接AF，求△ADF的周长.
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13．
如图， ABCD中，AC与BD交于点O，AF平分∠DAB，DE⊥AF，交AB于E，交CB的延长线于H，DP⊥BC于P，交AF于点G，连接OE.
(1)求证：AD＝FD；
【证明】因为AF平分∠DAB，
所以∠DAF＝∠BAF. 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，所以∠DFA＝∠BAF，
所以∠DAF＝∠DFA，所以AD＝FD.
(2)若AD＝DP，探究BP，DG，CF之间的数量关系.
【解】因为AD＝DF，DE⊥AF，所以∠ADH＝∠HDC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC，所以∠ADH＝∠H，DF＝BC，所以∠CDH＝∠H，所以CD＝CH.所以BH＝CF.因为AD∥BC，DP⊥BC，所以∠ADP＝∠DPC＝∠DPH＝90°，所以∠ADE＋∠HDP＝90°.因为DE⊥AF，所以∠DAG＋∠ADE＝90°.所以∠DAG＝∠HDP.又因为AD＝DP，所以△ADG≌△DPH，所以DG＝PH＝PB＋BH＝PB＋CF.
(3)记△COD的面积为S1，四边形OEBC的面积为S2，若AD＝mAB(0＜m＜1)，S2＝nS1，请直接写出m＋n的值.
【解】m＋n＝2.
【点拨】
由(1)(2)知∠ADH＝∠HDC，因为AB∥DC，所以∠AED＝∠EDC，所以∠ADH＝∠AED，所以AE＝AD.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.所以S△AOB＝S△COB＝S△COD＝S1.因为AD＝mAB(0＜m＜1)，所以AE＝mAB，所以BE＝AB－AE＝(1－m)AB，所以S△EOB＝(1－m)S△AOB＝(1－m)S1，所以S2＝S△EOB＋S△COB＝(2－m)S1.又因为S2＝nS1，所以n＝2－m，即m＋n＝2.
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14．
【解】(答案不唯一)作图如图所示．
在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)请在图①中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线；
(2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有______组．由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是___________________________________________；
无数
两条直线都经过平行四边形对角线的交点
(3)拓展延伸：如图②，将一张平行四边形的纸片ABCD沿过对角线AC的中点O的直线EF折叠，折痕交边AD，BC于点E，F，点A落在点A1处，点B落在点B1处．设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，I.求证：EI＝FG.
【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，O为AC的中点，
所以∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，OA＝OC.
所以∠OAE＝∠OCF. 又因为∠AOE＝∠COF，
所以△AOE≌△COF. 所以AE＝CF.
由折叠的性质得AE＝A1E，∠A1＝∠BAD，∠B1＝∠B，
所以A1E＝CF，∠A1＝∠BCD，∠B1＝∠D.
因为∠DHI＝∠B1HG，所以∠DIH＝∠B1GH.
又因为∠A1IE＝∠DIH，∠B1GH＝∠CGF，
所以∠A1IE＝∠CGF. 所以△A1IE≌△CGF.所以EI＝FG.
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第1章　四边形
1．2 平行四边形
1．2.2　平行四边形的判定
第2课时 由对角线、角的关系判定平行四边形
A
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1．
如图，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是(　　)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
返回
A
2．
[南京模拟]一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是(　　)
A．82°，98°，82°
B．102°，88°，102°
C．82°，98°，98°
D．92°，78°，92°
3．
下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠3.
因为∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，所以①________.
又因为∠4＝∠5，MA＝MC，
所以△MAD≌△MCB(②________)．
所以MD＝MB．
所以四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确，①，②应分别为(　　)
A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA
D
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4．
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1
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有________个.
5．
如图，已知AC是 ABCD的一条对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，求证：四边形BMDN是平行四边形.
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【证明】如图，连接BD交AC于O.
因为BM⊥AC，DN⊥AC，
所以∠AND＝∠CMB＝90°.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OB＝OD，OA＝OC，AD＝BC ，AD∥BC，
所以∠DAN＝∠BCM. 所以△ADN≌△CBM.
所以AN＝CM，所以OA－AN＝OC－CM，
即ON＝OM. 所以四边形BMDN是平行四边形．
6．
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A
如图， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是(　　)
　　
A．甲、乙、丙　　 B．甲　　
C．甲、丙　　 D．乙、丙
7．
如图，E是 ABCD的边AB上的点，Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3 cm2，S△BQC＝7 cm2，则阴影部分的面积为(　　)
A．24 cm2
B．17 cm2
C．13 cm2
D．10 cm2
【点拨】
【答案】B
所以△BEQ≌△FCQ.所以BQ＝FQ，所以四边形BCFE为平行四边形．所以S△BEF＝2S△BQC＝14 cm2.因为AB－BE＝CD－CF，即AE＝FD，且AE∥FD，所以四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF＝S△APD＝ 3 cm2.所以阴影部分的面积＝S△BEF＋S△PEF＝14＋3＝17(cm2)．故选B.
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8．
24
【点拨】
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9．
如图，∠AOB＝30°，OA＝4，点D为OA的中点，点P是射线OB上一动点，连接AP，DP，作△ADP关于直线DP的对称图形，点A的对应点为A′.当△A′DP与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为________.
【点拨】
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10．
(1)求证：四边形AFCE为平行四边形.
(2)若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长.
【解】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC.所以∠DAC＝∠BCA.
因为CA平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DCA.
所以∠DCA＝∠DAC.所以AD＝CD.
因为OA＝OC，所以OE⊥AC.
所以OE是AC的垂直平分线．所以AE＝CE.
因为∠AEC＝60°，所以△ACE是等边三角形．
所以AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm.
由(1)可知，四边形AFCE为平行四边形，
所以C四边形AFCE＝2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40(cm)．
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11．
10
如图①，在△ABC中，∠A＝50°，AC＝2AB＝10 cm，将△ABC绕着BC的中点O旋转180°得到△DCB，点E为AC的中点．点P从点A出发沿折线AB－BD以每秒1 cm的速度向终点D运动，连接PE，设点P的运动时间为t秒.
(1)BD＝________cm，∠ABD＝________；
130°
(2)当PE将四边形ABDC的周长分成2：3两部分时，求t的值；
(3)如图②，在点P从A点到B点的运动过程中，作点A关于直线PE的对称点A′，连接A′E，当A′E与四边形ABDC的边垂直时，请直接写出∠AEP的度数.
【解】∠AEP的度数为20°或45°.
【点拨】
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第1章　四边形
1．6 菱形
1．6.2　菱形的判定
B
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1．
如图，△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
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A
2．
依据所标数据，下列平行四边形不是菱形的是(　　)
B
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3．
[德阳中考]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，HF＝6，则GH＝(　　)
A．4
B．5
C．8
D．10
4．
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菱形
四边形ABCD为矩形，过点A，C作BD的垂线，过点B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为________.
5．
如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉形成的锐角为60°，则四边形ABCD的周长为________cm.
【点拨】
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6．
80
[永州期末]如图，E，F分别在BC和CD上，AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D＝________°.
【点拨】
因为AB＝BC＝CD＝AD，所以四边形ABCD为菱形．所以∠B＝∠D，AD∥BC.所以∠C＋∠D＝180°.因为AD＝AF，所以∠D＝∠AFD.因为∠AFC＋∠AFD＝180°，所以∠AFC＝∠C.同理∠C＝∠AEC，所以∠C＝∠AEC＝∠AFC.易得△AEF是等边三角形，所以∠EAF＝60°.又因为∠EAF＋∠AEC＋∠C＋∠AFC＝360°，所以∠AEC＋∠C＋∠AFC＝300°.所以∠C＝100°.所以∠D＝180°－100°＝80°，故答案为80.
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7．
【证明】因为AF⊥AB，CE⊥CD，
所以∠BAF＝∠DCE＝90°.
因为AB∥CD，所以∠ABF＝∠CDE.
因为BE＝EF＝FD，所以BF＝DE.
所以△ABF≌△CDE.
[遂宁中考]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
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8．
用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是(　　)
【点拨】
选项A，由作图可知AC是BD的垂直平分线，所以AB＝AD.设AC与BD的交点为O，则OB＝OD.易知AD∥BC，所以∠ADO＝∠CBO.又因为∠AOD＝∠COB，所以△AOD≌△COB.所以AD＝BC.所以四边形ABCD是平行四边形．又因为AB＝AD，所以四边形ABCD是菱形，不符合题意；选项B，由作图可知AB＝BC，AD＝AB，所以BC＝AD.又因为BC∥AD，所以四边形ABCD是平行四边形．
【答案】C
又因为AB＝BC，所以四边形ABCD是菱形，不符合题意；选项C，由作图可知AB，CD是角平分线，只能得出四边形ABCD是平行四边形，符合题意；选项D，因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠CBD，∠CAD＝∠ACB.由作图可知AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，所以∠CBD＝∠ABD，∠BAC＝∠CAD.所以∠ADB＝∠ABD，∠BAC＝∠ACB.所以AB＝AD，AB＝BC.所以易知四边形ABCD是菱形，不符合题意．故选C.
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9．
7.8
如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分
别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N.连接PB，在点P运动过程中，PM＋PN＋PB的最小值为________.
【点拨】
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10．
菱形
[东莞期末]将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图①；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE，DF，如图②，解决下列问题：
(1)四边形AEDF的形状是________；
【点拨】
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11．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设点D，E运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC，连接DE，EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.
【解】能．因为∠B＝90°，∠A＝60°，所以∠C＝30°.
因为DF⊥BC，DC＝4t cm，所以DF＝2t cm，AE∥DF.
又因为AE＝2t cm，所以AE＝DF.
所以四边形AEFD为平行四边形．
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60－4t＝2t，解得t＝10. 所以当t＝10时，四边形AEFD为菱形.
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？
①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
所以EF∥AD.所以∠ADE＝∠DEF＝90°.
因为∠A＝60°，所以∠AED＝30°.
所以AD＝AE＝t cm.
又因为AD＝(60－4t)cm，所以60－4t＝t，解得t＝12；
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12．
某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每名学生持有两张宽为6 cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图①所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°角，将该纸条从右往左平移.
(1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状.
【解】在平移过程中，重叠部分的形状可能为三角形、
梯形、菱形、五边形，如图①②③④所示．
(2)当重叠部分的形状为如图②所示的四边形ABCD时，
①求证：四边形ABCD是菱形；
【证明】分别过点B，D作BE⊥CD
于点E，DF⊥CB于点F，如图⑤，
所以∠BEC＝∠DFC＝90°.
因为两纸条等宽，
所以BE＝DF＝6 cm.
②求菱形ABCD的面积.
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