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第9课时 最小公倍数（1）
一、填空．
（1）在100以内的数中，9的倍数有（ ）。
（2）在100以内的数中，6的倍数有（ ）。
（3）在100以内的数中，9和6的公倍数有（ ）。
（4）9和6的最小公倍数是（ ）。
二、．求下面每组数的最小公倍数。
45和60 36和60 42、105和56 24、36和48
三、找出下列每组数的最小公倍数。你能发现什么？
4和8 12和3 5和7 75和25 33和11 12和13 5和9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
我发现：当两个数中较大数是较小数的( )时，这两个数的最小公倍数是( )。当两个数的最大公因数是( )时，这两个数的最小公倍数是( )。
四、把每组分数的分母的最小公倍数填写在括号里。
和 ( ) 和 ( ) 和 ( ) 、和 ( )
五、填一填。
1．已知，，如果和的最大公因数是21，那么是( )，这时和的最小公倍数是( )。
2．m是一个大于0的自然数，且n＝m+1，那么m和n的最小公倍数是( )。
3．如果A÷8＝B，（且A、B是不为0的自然数）， A、B的最小公倍数是( )。
4．a、b、c是三个不同的且不为0的自然数，，则a、b、c这三个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
5.两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48。这两个数可能是( )和( )，也可能是( )和( )。
6.自然数a和b的最小公倍数是140，最大公约数是5，则a＋b的最大值是 。
7.先按要求填表，再说一说你有什么发现。
8和24 6和9 3和7 18和12
最大公因数 ( ) ( ) ( ) ( )
最小公倍数 ( ) ( ) ( ) ( )
最大公因数和最小公倍数的积 ( ) ( ) ( ) ( )
两个数的积 ( ) ( ) ( ) ( )
我发现：两个数的最大公因数和最小公倍数的积( )两个数的积。
根据发现：如果a与b的积是300，它们的最大公因数是5，则这两个数分别是（ ）和（ ），或者是（ ）和（ ）。
六、24可能是哪两个数的最小公倍数？你能写出几组？
七、一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？
八、有一个分数，约分后等于；若分子、分母加上同一个数后，再约分成为；若分子、分母各减去比前面加数大1的数后，约分成为。这个原分数约分前是（ ）。
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2第9课时 最小公倍数（1）
一、填空．
（1）在100以内的数中，9的倍数有（ ）。
（2）在100以内的数中，6的倍数有（ ）。
（3）在100以内的数中，9和6的公倍数有（ ）。
（4）9和6的最小公倍数是（ ）。
【答案】 9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99 6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96 18、36、54、72、90 18
【分析】解答本题的关键是明确找一个数的倍数的方法，即一倍数×倍数=几倍数；对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数.
【详解】1、9×1＝9，9×2＝18，9×3＝27，9×4＝36，9×5＝45，9×6＝54，9×7＝63，9×8＝72，9×9＝81，9×10＝90，9×11＝99
即100以内9的倍数有：9；18；27；36；45；54；63；72；81；90；99.
故答案为9；18；27；36；45；54；63；72；81；90；99.
2、6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36，6×7＝42，6×8＝48，6×9＝54，6×10＝60，6×11＝66，6×12＝72，
6×13＝78，6×14＝84，6×15＝90，6×16＝96
即100以内6的倍数有：6；12；18；24；30；36；42；48；54；60；66；72；78；84；90；96.
故答案为6；12；18；24；30；36；42；48；54；60；66；72；78；84；90；96.
3、9×1＝9，9×2＝18，9×3＝27，9×4＝36，9×5＝45，9×6＝54，9×7＝63，9×8＝72，9×9＝81，9×10＝90，9×11＝99
即100以内9的倍数有：9；18；27；36；45；54；63；72；81；90；99.
6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36，6×7＝42，6×8＝48，6×9＝54，6×10＝60，6×11＝66，6×12＝72，
6×13＝78，6×14＝84，6×15＝90，6×16＝96
即100以内6的倍数有：6；12；18；24；30；36；42；48；54；60；66；72；78；84；90；96.
所以100以内9和6的公倍数有18；36；54；72；90.
故答案为18；36；54；72；90.
4、9＝3×3，6＝2×3，2×3×3＝18，即9和6的最小公倍数为18
故答案为18
二、．求下面每组数的最小公倍数。
45和60 36和60 42、105和56 24、36和48
【答案】180；180；
840；144
【分析】求几个数的最小公倍数的方法：这几个数的公有的因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。由此解决问题即可。
【详解】（1）45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，最小公倍数：2×2×3×5×3＝180；
（2）36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5，最小公倍数：2×2×3×3×5＝180；
（5）42＝2×3×7，105＝3×5×7，56＝2×2×2×7，最小公倍数：2×3×2×2×5×7＝840；
（6）24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3，48＝2×2×2×2×3，最小公倍数：2×2×2×2×3×3＝144。
【点睛】熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数以及求三个数最小公倍数方法。
三、找出下列每组数的最小公倍数。你能发现什么？
4和8 12和3 5和7 75和25 33和11 12和13 5和9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
我发现：当两个数中较大数是较小数的( )时，这两个数的最小公倍数是( )。当两个数的最大公因数是( )时，这两个数的最小公倍数是( )。
【答案】 8 12 35 75 33 156 45 倍数 较大数 1 这两个数的积
【分析】先找出每组数的最小公倍数，再观察每组中两个数的特点，然后探究每组中两个数的最小公倍数与这两个数之间的关系，归纳总结出求两个数最小公倍数的两种特殊情况的规律。
【详解】4＝2×2
8＝2×2×2
所以4和8的最小公倍数是2×2×2＝8；
12＝3×4
所以12和3的最小公倍数是3×4＝12
5和7都是质数，所以5和7的最小公倍数是5×7＝35；
75＝3×5×5
25＝5×5
所以75和25的最小公倍数是3×5×5＝75；
33＝3×11
所以33和11的最小公倍数是3×11＝33；
12和13互质，所以12和13的最小公倍数是12×13＝156；
5和9互质，所以5和9的最小公倍数是5×9＝45；
发现：当两个数中较大数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是较大数。当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是这两个数的积。
【点睛】本题主要考查最小公倍数的求法。
四、把每组分数的分母的最小公倍数填写在括号里。
和 ( ) 和 ( ) 和 ( ) 、和 ( )
【答案】 18 24 36 40
【分析】求两个数的最小公倍数，先把每个数分解质因数，再把这两个数公有的一切质因数和其中的每个数独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。求三个数的最小公倍数，先找前两个数的最小公倍数，再用这两个数的最小公倍数和第三个数求最小公倍数。
【详解】和，分母分别是6和9，6＝2×3，9＝3×3，6和9的最小公倍数是：2×3×3＝18；
和，分母分别是8和6，8＝2×2×2，6＝2×3；8和6的最小公倍数是：2×2×2×3＝24；
和，分母分别是4和9，4＝2×2，9＝3×3，4和9的最小公倍数是：2×2×3×3＝36；
、和，分母分别是2、8、10；注意到2和8是倍数关系，最小公倍数是8，只需要求8和10的最小公倍数即可；8＝2×2×2，10＝2×5，8和10的最小公倍数是：2×2×2×5＝40。
【点睛】熟练掌握求最小公倍数的方法是解题关键。一般用短除法或分解质因数法。
五、填一填。
1．已知，，如果和的最大公因数是21，那么是( )，这时和的最小公倍数是( )。
【答案】 7 210
【分析】因为A和B公有的质因数有3和M，根据A和B最大的公因数是21，据此可以求出M的值；再把A和B公有的质因数和独有的质因数相乘，就可求出A和B的最小公倍数。
【详解】由题可知，和的最大公因数为，所以，
和的最小公倍数是。
【点睛】此题主要考查利用两个数分解质因数的方法求最大公因数和最小公倍数。
2．m是一个大于0的自然数，且n＝m+1，那么m和n的最小公倍数是( )。
【答案】mn
【详解】由n＝m+1（m是一个大于0的自然数），可知m和n是相邻的自然数，可知m和n是相邻的自然数，相邻的自然数是互质数，所以m和n的最小公倍数是mn．
故答案为：mn．
3．如果A÷8＝B，（且A、B是不为0的自然数）， A、B的最小公倍数是( )。
【答案】A
【详解】略
4．a、b、c是三个不同的且不为0的自然数，，则a、b、c这三个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 c a
【分析】a除以b等于2，说明a是b的倍数，b除以c等于3，说明b是c的倍数，那么a最大，c最小，a、b、c的最小公倍数是a，最大公因数是c。
【详解】c既是b的因数，也是a的因数，也是自己的因数，所以c是a、b、c的最大公因数；
a既是b的倍数，也是c的倍速，也是自己的倍数，所以a是a、b、c的最小公倍数。
【点睛】一个数的因数的因数一定是这个数的因数，一个数的倍数的倍数一定是这个数的倍数。
5.两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48。这两个数可能是( )和( )，也可能是( )和( )。
【答案】 8 48 16 24
【分析】求两个数的最大公因数、最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。又因为48是8的倍数，当两个数成倍数关系时，较小的数是最大公因数，较大的数是最小公倍数。据此解答。
【详解】先分解质因数，8＝2×2×2，48＝2×2×2×2×3；公有质因数是2、2、2；各自独有质因数分别是2和3。2×2×2×2＝16，2×2×2×3＝24。所以这两个数可能是8和48，也可能是16和24。
【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的互逆关系，有多种可能性，要细心解答。
6.自然数a和b的最小公倍数是140，最大公约数是5，则a＋b的最大值是 。
【答案】145
【分析】将140分解质因数：140＝22 ×5×7；a、b的最小公倍数是140，表示a、b都是由2、2、5、7这四个质因数组合而成的，a、b的最大公约数是5，表示a、b都含有质因数5，且其中一个就是5（“最大”公约数是5）；要取a＋b的最大值，则另一个数要尽可能的大，所以，另一个数应该是140，那么a＋b的最大值就是5＋140＝145。
【详解】由分析知：a和b其中一个是140，一个是5，所以：a＋b的最大值就是5＋140＝145；
故答案为145。
【点睛】解答此题应先进行分解质因数，然后结合题意，根据最大公约数和最小公倍数的知识进行解答。
7.先按要求填表，再说一说你有什么发现。
8和24 6和9 3和7 18和12
最大公因数 ( ) ( ) ( ) ( )
最小公倍数 ( ) ( ) ( ) ( )
最大公因数和最小公倍数的积 ( ) ( ) ( ) ( )
两个数的积 ( ) ( ) ( ) ( )
我发现：两个数的最大公因数和最小公倍数的积( )两个数的积。
根据发现：如果a与b的积是300，它们的最大公因数是5，则这两个数分别是（ ）和（ ），或者是（ ）和（ ）。
【答案】 8 3 1 6
24 18 21 36
192 54 21 216
192 54 21 216
等于
20 15 60 5
【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1 ，最小公倍数即这两个数的乘积，由此求出两个数的最大公因数和最小公倍数即可，进而求出它们最大公因数和最小公倍数的积；通过观察发现，两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于两个数的积。
【详解】8＝2×2×2；
24＝2×2×2×3；
8和24的最大公因数是2×2×2＝8；
8和24的最小公倍数是2×2×2×3＝24；
8和24最大公因数和最小公倍数的积为8×24＝192；
两个数的积为：8×24＝192；
6＝2×3；
9＝3×3；
6和9的最大公因数是3；
6和9的最小公倍数是2×3×3＝18；
6和9最大公因数和最小公倍数的积为3×18＝54；
两个数的积为：6×9＝54；
3和7的最大公因数是1；
3和7的最小公倍数是3×7＝21；
3和7最大公因数和最小公倍数的积为3×7＝21；
两个数的积为：3×7＝21；
18＝2×3×3；
12＝2×2×3；
18和12的最大公因数是2×3＝6；
18和12的最小公倍数是2×3×3×2＝36；
18和12最大公因数和最小公倍数的积为6×36＝216；
两个数的积为：18×12＝216；
我发现：两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于两个数的积。
300÷5＝60
300＝2×2×3×5×5
2×2×5＝20
3×5＝15
2×2×3×5＝60
如果a与b的积是300，它们的最大公因数是5，则这两个数分别是20和15，或者是60和5。
【点睛】本题是在巩固求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，探索两个数的最大公因数和最小公倍数的积与两个数的积的关系。
六、24可能是哪两个数的最小公倍数？你能写出几组？
【答案】8组
① 1和24 ②2和24 ③3和24 ④4和24
⑤ 6和24 ⑥8和24 ⑦12和24 ⑧3和8
【分析】求两个数的最小公倍数，先把这两个数分解质因数，找出公有的质因数与各自独有的质因数，再把公有质因数与独有质因数连乘，求得乘积即可。
【详解】24＝2×2×2×3
2×2＝4
2×3＝6
2×2×2＝8
2×2×3＝12
所以24可能是1和24，2和24，3和24，4和24，6和24，8和24，12和24，3和8共8组。
【点睛】本题考查对最小公倍数的认识。
七、一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？
【答案】107
【分析】这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即：这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。
【详解】[3、5、7]＝105
105＋2＝107
答：这个数最小是107。
【点睛】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。
八、有一个分数，约分后等于；若分子、分母加上同一个数后，再约分成为；若分子、分母各减去比前面加数大1的数后，约分成为。这个原分数约分前是（ ）。
【答案】
【难度】0.4
【来源】第1届决赛试题（小六）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（小学版）
【知识点】约分的认识及应用、通分的认识及应用
【分析】根据分数的意义，可知分数的两次变化，分子和分母的差不变，据此可知，这个差是（11－8）、（9－5）的最小公倍数，也就是3和4的最小公倍数，即12，所以差（3－2）份就是12，也就是1份是12，据此可知2份是24，3份是36，这个原分数是。
【详解】11－8＝3
9－5＝4
3×4＝12
＝
这个原分数约分前是。
【点睛】本题考查了约分的灵活应用，明确分子和分母的差不变是解答本题的关键。
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