资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练55　直线与圆、圆与圆的位置关系
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.过点(0,2)且与直线y=x-2相切,圆心在x轴上的圆的方程为(　　)
A.(x+1)2+y2=3
B.(x+1)2+y2=5
C.(x+2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=8
[错题笔记]
2.(2025·浙江杭州模拟)已知圆O:x2+y2=9,则“点M(a,b)在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
3.(2025·四川绵阳模拟)已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切,则圆M和圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
[错题笔记]
4.(2025·福建模拟)已知直线y=x+t与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2,则|t|=(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
[错题笔记]
5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
[错题笔记]
6.(2026·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2(k∈R)上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为(　　)
A. B.
C.1 D.
[错题笔记]
7.(原创)已知A(-1,3),直线l:(m+2)x-(m+1)y+2m-1=0,过点A作l的垂线,垂足为B,则点B到x轴的距离的最小值为(　　)
A.2-4 B.4-
C.4+ D.8-2
[错题笔记]
8.(多选)(2025·江苏徐州模拟)已知圆O:x2+y2=2,A(0,3),B(-2,1),P为圆O上的动点,则(　　)
A.圆心O关于直线AB的对称点为(-3,3)
B.动点P到直线AB距离的最大值为
C.以AB为直径的圆与圆O有2条公切线
D.分别过A,B两点所作的圆O的切线长相等
[错题笔记]
9.(多选)已知动点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1和圆C2:(x-3)2+(y-4)2=3上,动点P在x轴上,则(　　)
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2相离
C.|PM|+|PN|的最小值为2
D.过点P作圆C1的切线,则切线长最短为
[错题笔记]
10.若一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为　　　　　.
[错题笔记]
11.直线ax+by=1(a,b∈R)与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点Q(0,1)之间距离的最大值是　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
12.若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧AB的长为(　　)
A. B.π C.2π D.3π
[错题笔记]
13.(2025·云南模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P是圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上的动点,B(-2,-4),则tan∠PBC的最大值为(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
14.(原创)已知直线l:x+ay+1=0与圆C:x2+y2+2x-4y-4=0交于A,B两点,设弦AB的中点为M,O为坐标原点,则|OM|的取值范围为(　　)
A.[3-,3+]
B.[-1,+1]
C.[2-,2+]
D.[-1,+1]
[错题笔记]
15.(多选)(2025·江西二模)如图,有一组圆Ck(k∈N*)都内切于点P(-2,0),圆C1:(x+3)2+(y-1)2=2,设直线x+y+2=0与圆Ck在第二象限的交点为Ak,若|AkAk+1|=,则下列结论正确的是(　　)
A.圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上
B.圆C9的方程为(x+7)2+(y-5)2=50
C.若k≥9,则圆Ck与y轴有交点
D.设直线x=-2与圆Ck在第二象限的交点为Bk,则|BkBk+1|=2
[错题笔记]
素养·提升练
16.(2025·福建福州模拟)已知点A(0,0),B(6,0),符合点A,B到直线l的距离分别为1,2的直线方程为　　　　　　　　　　(写出一条即可).
[错题笔记]
参考答案
1.D　设圆心为(a,0),由题意得,
解得a=-2,故圆的半径r==2,所以圆的方程为(x+2)2+y2=8.故选D.
2.A　因为点M(a,b)在圆O:x2+y2=9外,说明点M与圆心距离大于半径,
即a2+b2>9.直线ax+by=1与圆O相交,说明圆心到直线的距离小于半径,即<3,化简得a2+b2>所以a2+b2>9 a2+b2>,a2+b2>a2+b2>9.所以“点M(a,b)在圆O:x2+y2=9外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的充分不必要条件.
3.C　圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)的圆心M(a,0),半径r1=a,
由直线3x+4y+4=0与圆M相切,得=a,解得a=2,a=-(舍去),
圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1,1),半径r2=1,
而|MN|=(1,3),所以圆M和圆N相交.
4.D　设圆心O(0,0)到直线x-y+t=0的距离为d,则由点到直线的距离公式可得d=,因为|AB|=2,圆的半径为2,所以2=2,解得|t|=2.
5.C　因为圆心到直线的距离为=2,圆的半径为3,所以直线与圆相交,如图所示,故圆上到直线的距离为1的点有3个.故选C.
6.D　圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,半径r=1,当圆心(4,0)到直线y=kx-2的距离d≤r+1时,满足题意,圆心在直线上的投影点即满足题意,故有d=2,解得0≤k,即k的最大值为
7.B　由(m+2)x-(m+1)y+2m-1=0,得m(x-y+2)+2x-y-1=0.令解得即l过定点C(3,5),所以点B在以AC为直径的圆M上,其中圆心M(1,4),半径为因为圆心M到x轴的距离为4,
所以点B到x轴的距离的最小值为4-
8.AC　直线AB的斜率kAB==1,直线AB的方程为y=x+3,
对于A,设圆心O(0,0)关于直线AB对称点为(x0,y0),则解得A正确;
对于B,圆心O到直线AB的距离d=,因此动点P到直线AB的距离最大值为,B错误;
对于C,|AB|=2,线段AB中点O'(-1,2),则|OO'|=,以AB为直径的圆半径为,而圆O半径为,且0<|OO'|<,即以AB为直径的圆与圆O相交,有2条公切线,C正确;
对于D,过点A作圆O的切线长为,过点B作圆O的切线长为,D错误.
9.BD　圆C1的圆心C1(1,2),半径r1=1,圆C2的圆心C2(3,4),半径r2=,
对于A,圆C2的半径为,A错误;
对于B,|C1C2|=2>1+,圆C1和圆C2相离,B正确;
对于C,圆C1关于x轴对称的圆为C0:(x-1)2+(y+2)2=1,C0(1,-2),连接C0C2交x轴于点P1,连接P1C1,由圆的性质得|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-=|PC0|+|PC2|-1-|C0C2|-1-=2-1-,当且仅当点P与P1重合,且M,N是
线段P1C1,P1C2分别与圆C1和圆C2的交点时取等号,C错误;
对于D,设点P(t,0),过点P的圆C1的切线长|PA|=,当且仅当t=1,即P(1,0)时,等号成立,D正确.
10.-或-　设点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A'(2,-3),
故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),化为kx-y-2k-3=0,
因为反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以圆心(-3,2)到直线的距离d==1,化为24k2+50k+24=0,所以k=-或k=-
11.2　因为直线ax+by=1与圆O:x2+y2=2相交于两点A,B,
所以OA=OB=,又△AOB是直角三角形,所以点O到直线ax+by=1的距离=1,所以3a2+b2=1.所以点P(a,b)与点Q(0,1)之间的距离|PQ|=,因为3a2=1-b2≥0,所以-1≤b≤1,所以当b=-1时,|PQ|max==2.
12.B　直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,则当x-1=0且y-1=0,所以直线恒过定点M(1,1),设圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2=2=2,
此时弦AB所对的圆心角为,
所以劣弧AB的长为2=π.故选B.
13.C　因为点P是圆(x-1)2+(y-2)2=4上的动点,当直线PB与此圆相切时,tan∠PBC的值最大,
又BC==3,PC=2,
则PB=,
则tan∠PBC=
14.D　圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,则圆心为C(-1,2),半径r=3,
直线l:x+ay+1=0恒过定点(-1,0),记为D,且点D在圆C内,CD⊥x轴,
又直线l的斜率不为0,所以点M的轨迹是以CD为直径的圆,且不过点D,所以点M轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=1,y≠0.
设圆心为N,圆(x+1)2+(y-1)2=1的圆心为N(-1,1),半径r1=1,
又|ON|=,所以|ON|-r1≤|OM|≤|ON|+r1,
即-1≤|OM|+1,即|OM|的取值范围为[-1,+1].
15.ABC　圆C1的圆心C1(-3,1),直线PC1的方程为y=(x+2),即x+y+2=0,由两圆内切连心线必过切点,得圆Ck的圆心都在直线PC1上,即圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上,故A正确;
显然|PAk|=(k+1),设点Ak(xk,yk),则而xk<-2,
解得xk=-k-3,yk=k+1,因此圆Ck的圆心Ck,半径为(k+1),圆Ck的方程为,则圆C9的方程为(x+7)2+(y-5)2=50,故B正确;
圆Ck的圆心为Ck,半径rk=,圆心到y轴的距离为,由两边平方得,k2-6k-23=(k-3)2-32≥0,k≥3+4,而k∈N*,所以当k≥9时,圆Ck与y轴有交点,C选项正确;
在中,令x=-2,得点Bk的纵坐标为k+1,因此|BkBk+1|=1,故D错误.
16.x+y+6=0(答案不唯一)
由题意可知直线l是圆x2+y2=1与圆(x-6)2+y2=4的公切线,两圆圆心距为6>1+2,则两圆为外离关系,所以满足条件的直线l有四条,
①如图,当直线l是两圆的公切线时,有OA⊥PB,BC⊥PB,则△PAO∽△PBC,
所以,则PC=2OP,即O为PC的中点,则P(-6,0),
设直线l的方程为x=my-6,则=1,解得m=±,
此时直线l的方程为x+y+6=0或x-y+6=0;
②如图,当直线l是两圆的公切线时,根据对称性,可得∠FDO=∠EDC,又OF⊥FD,CE⊥DE,则△OFD∽△CED,所以,则CD=2OD=4,即D(2,0),
设直线l的方程为x=ny+2,则=1,解得n=±,此时直线l的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.
综上所述,所求直线方程为x+y+6=0或x-y+6=0或x+y-2=0或x-y-2=0.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑