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2026全国版高中数学突破练
突破练56　椭圆
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.已知椭圆=1的两个焦点为F1,F2,过F2的直线交椭圆于M,N两点,则△F1MN的周长为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
[错题笔记]
2.若椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
3.(2025·江西新余模拟)已知椭圆C:=1(0A.1 B.2 C. D.3
[错题笔记]
4.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,且满足∠F1MF2=90°,MF2延长线交椭圆于另一点C,|MF2|=2|F2C|=2,则椭圆的方程为(　　)
A.+y2=1 B.+y2=1
C.=1 D.=1
[错题笔记]
5.设F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限,若△MF1F2为等腰三角形,则△MF1F2的面积为(　　)
A.3 B.12
C.4 D.16
[错题笔记]
6.(2025·江苏苏州四市统考)已知椭圆C:=1(0A. B.
C. D.
[错题笔记]
7.(多选)椭圆C:=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,直线AF1与C的另一个交点为B,若∠F1AF2=,则(　　)
A.C的焦距为2
B.C的短轴长为2
C.C的离心率为
D.△ABF2的周长为8
[错题笔记]
8.(多选)(2025·广东模拟)设F1,F2为椭圆C:x2+2y2=2的左、右焦点,P为椭圆C上一点且在第一象限.若△PF1F2的面积为,则下列说法正确的是(　　)
A.△PF1F2的周长为2+2
B.以F1F2为直径的圆经过点P
C.点P的坐标为
D.直线PF1的斜率为
[错题笔记]
9.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,若F2为线段AB的中点,则△AF1B的面积为　　　　　.
[错题笔记]
10.(2025·甘肃定西模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作平行于y轴的直线与C交于A,B两点,F1B与y轴交于点D,AD⊥F1B,且|AD|=4,则C的方程为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(原创)已知椭圆C:=1的两个焦点分别为F1,F2,P是C上任意一点,则下列不正确的是(　　)
A.C的离心率为
B.|PF1|的最小值为2
C.|PF1|·|PF2|的最大值为16
D.可能存在点P,使得∠F1PF2=90°
[错题笔记]
12.(多选)(2025·广西模拟)已知以F1,F2为左、右焦点的椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,点P是椭圆C上的一个动点,且点P到F2的最大距离是点P到F2的最小距离的3倍,连接PF2,并延长PF2与椭圆C相交于点Q,其中说法正确的是(　　)
A.椭圆的方程为=1
B.△PF1F2的面积的最大值为2
C.△PQF1的周长为8
D.=2
[错题笔记]
13.(原创)在平面直角坐标系中,已知动点A和C,定点B(3,0)和M(2,2),若|BC|=6,且△ABC的周长恒为16,则|AB|+|AM|的最小值为　　　　.
[错题笔记]
14.(2025·广东广州三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上存在一点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且∠PF2F1为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围为　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(2025·江西南昌模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F1,F2,其离心率e=,点P是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,线段PF1与y轴交于M点,若|MF1|=|PF2|,则cos∠F1PF2=　　　　　.
[错题笔记]
16.(2025·安徽滁州二模)已知F1,F2是椭圆E的两个焦点,点P在E上,|PF1|,|PF2|,|F1F2|为从小到大连续的三个正整数,且∠F1PF2=2∠PF2F1,则E的离心率为　　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.D　由=1得a=2.因为M,N是椭圆上的点,F1,F2是椭圆的焦点,所以|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,因此△F1MN的周长为|MF1|+|MN|+|NF1|=|MF1|+|MF2|+|NF2|+|NF1|=2a+2a=4a=8.
2.C　依题意可知,c=b,又a=c,所以椭圆的离心率e=故选C.
3.D　依题意,|MF2|=a-c,故|NF2|=2a-2c,故|NF1|=2c,在△NF1F2中,|F1F2|=2c,且∠NF1F2=60°,故△NF1F2为等边三角形,故2a-2c=2c,得a=2c,则m=a2-c2=a2=3.
4.C　因为点M在椭圆上,MF2延长线交椭圆于另一点C,且|MF2|=2|F2C|=2,
所以|MF1|=2a-2,|CF1|=2a-1,
则|CM|=3,由于∠F1MF2=90°,
所以|MF1|2+|CM|2=|CF1|2,
即(2a-2)2+9=(2a-1)2,解得a=3,
所以|MF1|=2a-2=4,则|F1F2|==2,
则c=,b2=a2-c2=4,
所以椭圆方程为=1.
5.C　由椭圆C:=1可得a=6,b=2,c=4,因为M为C上一点且在第一象限,则|MF1|>|MF2|,由△MF1F2为等腰三角形,则可得|MF1|=|F1F2|=2c或|MF2|=|F1F2|=2c,当|MF1|=|F1F2|=2c=8时,|MF2|=2a-|MF1|=12-8=4,此时△MF1F2的面积为4=4;当|MF2|=|F1F2|=2c=8时,|MF1|=2a-|MF2|=12-8=4<|MF2|,不合题意,舍去.
综上,可得△MF1F2的面积为4
6.B　设椭圆C的右焦点为F'(c,0),由椭圆的定义,得|MF|+|MF'|=2a=4,所以|MF|=4-|MF'|,所以|MN|+|MF|=|MN|-|MF'|+4≤|NF'|+4,当且仅当M,N,F'三点共线时等号成立,则由题意,知此时|NF'|+4=6,即|NF'|==2,解得c=1,所以e=故选B.
7.ABD　由于∠F1AF2=,所以∠F1AO=∠OAF2=,故cos∠F1AO=cos,因此,故m2=3,所以椭圆C:=1,a=2,b=,c=1.
对于A,焦距为2c=2,故A正确;
对于B,短轴长为2b=2,故B正确;
对于C,离心率为e=,故C错误;
对于D,△ABF2的周长为4a=8,故D正确.故选ABD.
8.ACD　已知椭圆C的方程为x2+2y2=2,两边同时除以2可得+y2=1,
所以a2=2,a=,b2=1,b=1,c2=a2-b2=1,c=1,|F1F2|=2c=2;
对于A,根据椭圆的定义,椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于2a,
因此△PF1F2的周长为|F1F2|+|PF1|+|PF2|=2c+2a=2+2,选项A正确;
对于B,设点P的坐标为(xP,yP)(xP>0,yP>0),则|F1F2|×yP=2×yP=yP=,将yP=代入椭圆方程得=1,=1,,解得xP=或xP=-(舍去),因此点P的坐标为,
F1,F2两点的中点为原点O,可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,将P的坐标代入圆的方程的左边得1,因此以F1F2为直径的圆不经过点P,选项B错误;对于C,由选项B的分析过程可得点P的坐标为,选项C正确;
对于D,点P的坐标为,点F1的坐标为(-1,0),则直线PF1的斜率为,选项D正确.
9　由题意可知F1(-,0),F2(,0),因为点F2为线段AB的中点,所以AB⊥F1F2,所以|AB|==1,所以|AB|·|F1F2|=
10=1　如图所示,连接AF1,因为OD∥AB,O为F1F2的中点,
所以D为F1B的中点,又因为AD⊥F1B,则|AF1|=|AB|,又|AF1|=|BF1|,
所以△AF1B为等边三角形,设F2(c,0),则yA=±,所以|AB|=
则由椭圆的定义可知|AF1|=|BF1|=2a-,即=2a-,得
因为|AD|=4,且△AF1B为等边三角形,所以|F1F2|=|AD|=4,解得c=2,所以a2-b2=12,所以a2=36,b2=24,所以C的方程为=1.
11.D　椭圆C:=1中a=4,b=2,c==2,
对于A,C的离心率e=,A正确;
对于B,由得a-c≤|PF1|≤a+c,因此|PF1|min=a-c=2,B正确;
对于C,|PF1|·|PF2|=a2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时取等号,C正确;
对于D,当P不在x轴上时,cos∠F1PF2=
=-1=-1-1=,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,当P在x轴上时,cos∠F1PF2=1,上述不等式成立,因此∠F1PF2最大为60°,D错误.
12.AC　如图,对于选项A,由于解得可得椭圆的方程为=1,所以A正确;对于选项B,2c·b=,所以B错误;对于选项C,△PQF1的周长=|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=4a=8,所以C正确;对于选项D,当直线PQ方程为x=1时,由通径的概念可得|PF2|=|QF2|=,所以=2,所以=2不能恒成立,故D错误.
13　由题意知,点C在以B为圆心,6为半径的圆上运动,点A在以B,C为焦点,长轴长为10的椭圆上运动(长轴两端点除外).
为方便计算,可将B,C视为定点,则点M在以B为圆心,为半径的圆上运动,以BC的中点O为坐标原点,直线BC为x轴建立如图的直角坐标系,设点B(3,0)和C(-3,0),则点A的轨迹方程为=1(x≠±5),由图可知|AB|+|AM|≥|BM|=,当M,A,B三点共线时(A在B,M之间或A,M重合),等号成立.
14　设椭圆=1(a>b>0)焦距的一半为c,则F1(-c,0),F2(c,0),因为△PF1F2为等腰三角形,且∠PF2F1为钝角,则|PF2|=|F1F2|=2c,
设点P(x,y),则=(x-c,y),=(-2c,0),则=-2c(x-c)<0,可得x>c,又因为-a=
==a-x,所以a-c<2c<,化简得出15　根据已知条件e=,可知,
设a=5t,c=3t,线段|MF1|=l,
则在△PF1F2中有cos∠F1PF2=,在△PMF2中有cos∠F1PF2=,
可得到方程,化简得l=t,代入cos∠F1PF2=
16　由题意设|PF1|=n-1,|PF2|=n,|F1F2|=n+1,n≥1且n∈N,
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以2a=2n-1,2c=n+1,
设∠F1PF2=2∠PF2F1=2θ,
由余弦定理可得(n-1)2=n2+(n+1)2-2n(n+1)cos θ,可得cos θ=,
由余弦定理可得(n+1)2=n2+(n-1)2-2n(n-1)cos 2θ,可得cos 2θ=,
又因为cos 2θ=2cos2θ-1,代入cos θ并化简可得n=5,所以2a=2n-1=9 a=,2c=n+1 c=3,所以离心率e=
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