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2026全国版高中数学突破练
突破练57　双曲线
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·新高考Ⅰ,3)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　)
A. B.2 C. D.2
[错题笔记]
2.(2025·新疆模拟)“m>4”是“方程=1表示双曲线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
3.(2025·青海一模)已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C的右支上,且|PF1|=1+,则△PF1F2的面积为(　　)
A.-1 B.6 C.3 D.+1
[错题笔记]
4.(2025·贵州铜仁模拟)设O为坐标原点,直线x=b与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A,B两点,若△OAB的面积为8,则双曲线C焦距的最小值为(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
[错题笔记]
5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2+8x+7=0相切,且双曲线的左焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
[错题笔记]
6.(2025·江苏苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中,设直线l:x+y+1=0与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧,则双曲线C的离心率e的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(1,)
C.(0,) D.(1,)
[错题笔记]
7.(多选)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线=1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF,则△PFO的面积为
D.|PF|的最小值为2
[错题笔记]
8.(多选)(2025·新高考Ⅱ,11)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　　)
A.∠A1MA2=
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为
D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8
[错题笔记]
9.(原创)若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴,则它们互为共轭双曲线.已知双曲线E的标准方程为x2-=1,则E的共轭双曲线的离心率为　　　　　.
[错题笔记]
10.(2025·海南三亚一模)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线C交于异于原点的A,B两点,若∠AFB=120°,则双曲线的渐近线方程是　　　　　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(2023·全国甲,理8)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(　　)
A. B.
C. D.
[错题笔记]
12.(多选)(2025·江西模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为3,F1,F2分别为C的左、右焦点,P为C上一点,若△F1PF2的面积等于16,且cos∠F1PF2=,则(　　)
A.b=2a
B.焦距为3
C.焦点到渐近线的距离为2
D.双曲线C的方程为x2-=1
[错题笔记]
13.(多选)(2025·宁夏一模)双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作渐近线的垂线l,垂足为N,l与另一条渐近线交于点M,且M,N都在x轴上方,=2,点P(2,)在E上,则(　　)
A.双曲线的渐近线方程为y=±x
B.双曲线的离心率e=2
C.直线PF1与PF2的斜率之积是2
D.双曲线在点P处的切线与x轴交于点I,则=3
[错题笔记]
14.(2025·北京朝阳二模)若直线y=x与双曲线C:y2-=1(b>0)没有公共点,则双曲线C的离心率的一个取值为　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(2025·四川达州模拟)已知在平面直角坐标系xOy中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),数学上,我们常把|AB|=定义为欧几里得距离,把D(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|定义为曼哈顿距离.分别记E,F为双曲线C:=1的右顶点和右焦点,若D(F,A)=|EF|,则点A的轨迹与双曲线C的公共点个数是　　　　　.
[错题笔记]
16. (原创)已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,CC1=k,空间四边形ABC1A1绕AA1旋转得到一封闭容器,该容器中A1C1,BC1,AB旋转而成的面分别称为顶面、侧面、底面,容器内恰可放置一球,该球与顶面、侧面、底面都有公共点,则k2的值为　　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.D　设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,
由题知,b=a,于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2,则c=2a,即e==2
2.A　=1表示双曲线时,等价于(m-1)(m-4)>0,解得m>4或m<1.因为由m>4可推出m>4或m<1,但是由m>4或m<1,不能推出m>4,
所以“m>4”是“方程=1表示双曲线”的充分不必要条件.
3.C　点P在双曲线右支上,a=1,b=,c=2,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=1+,两式联立得|PF2|=-1.
又|F1F2|=4,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16,即△PF1F2为直角三角形,
所以|PF1||PF2|=3.
4.B　根据题意,联立
解得不妨令A(b,a),B(b,-a),则|AB|=2a,AB边上的高为b,所以2a×b=8,即ab=8,
故C的焦距2c=22=2=8.
5.D　因为圆C:x2+y2+8x+7=0的圆心为C(-4,0),半径r=3,又因为双曲线=1的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,双曲线的左焦点(-c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d==b,
由题意可知c=4,b=3,可得a2=c2-b2=7,所以该双曲线的方程为=1.
6.B　因为双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,又l:x+y+1=0与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧,由图知,->-1,即<1,所以离心率e=,又e>1,所以17.ABC　因为a=2,b=,所以c=,所以e=,故A正确;
双曲线=1的渐近线方程为y=±x,双曲线C的渐近线方程为y=±x,故B正确;
因为PO⊥PF,点F(,0)到渐近线x-2y=0的距离d=,所以|PF|=,所以|PO|==2,所以△PFO的面积为2=,故C正确;
|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离,即|PF|min=,故D不正确.故选ABC.
8.ACD　因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-=,A正确;
以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x,由设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2,所以B错误;
所以|A1M|=,由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=,所以C正确;
因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2,所以=2=2·2a·b=2ab=22=8,所以D正确.故选ACD.
9　由题意可知,双曲线E的标准方程为x2-=1,所以共轭双曲线为-x2=1,所以共轭双曲线的离心率为e=
10.y=±2x或y=±x　当A,B在焦点左侧时,因为渐近线关于x轴对称,所以∠AFO=60°,过A作AD⊥OF交x轴于D点,设|DF|=t,则|AD|=t,|AF|=2t,由抛物线定义得|OD|=2t-,因为|OF|=,所以|OD|+|DF|=2t-+t=|OF|=,所以p=3t,因为kAO==2,所以渐近线方程为y=±2x;
当A,B在焦点右侧时,过A作AD⊥OF交x轴于D点,所以∠AFD=60°,设|DF|=t,则|AD|=t,|AF|=2t,由抛物线定义得|OD|=2t-,
因为|OF|=,
所以|OD|-|DF|=2t--t=|OF|=,所以p=t,因为kAO=,所以渐近线方程为y=±x.
11.D　由e=,得c=a,所以b==2a.所以双曲线C的渐近线的方程为y=±x=±2x.
由题意知,双曲线C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,所以满足条件的渐近线为y=x=2x.
又圆心(2,3)到渐近线2x-y=0的距离d=,圆的半径r=1,所以|AB|=2=2故选D.
12.ACD　对于A选项,因为双曲线的离心率为3,所以e2==1+=9,解得b=2a,故A正确;
对于B选项,设a=m,c=3m(m>0),则C的方程为=1,由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2m,|F1F2|=2c=6m,在△F1PF2中,cos∠F1PF2=,
由余弦定理有-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,
所以|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos∠F1PF2),
即36m2=4m2+|PF1||PF2|,
解得|PF1||PF2|=40m2.
又因为cos∠F1PF2=,
所以sin∠F1PF2=,则40m2=16,解得m=1,所以2c=6m=6,故B错误,
对于C选项,渐近线方程为y=±2x,
焦点F(3,0)到渐近线y=2x的距离d==2,故C正确;
对于D选项,由a=m=1,b=2a=2,所以双曲线C的方程为x2-=1,故D正确.
13.AD　由题设F2(c,0),且渐近线方程为y=±x,若l垂直于y=x,则MN:y=-(x-c),可得x=x=c xN=,同理得xM=,
由=2,则=2,整理得3a2-c2=0,可得e=,B错误;
所以b2=c2-a2=2a2,故渐近线方程为y=±x,A正确;
P(2,)在双曲线上,则=1 a2=3,则E:=1,
所以F1(-3,0),F2(3,0),则=-,C错误;
点P处的切线为y-=k(x-2),联立2x2-y2=6,得2x2-[k(x-2)+]2=6,所以(k2-2)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k+8=0,则Δ=(2k-4k2)2-4(k2-2)(4k2-4k+8)=0,所以k2-4k+8=0,则k=2,故切线为y=2x-3,令y=0,则xI=,故=3,D正确.
14.3(答案不唯一)　C:y2-=1(b>0)的渐近线为y=±x,且焦点在y轴上,由题意知,因为b>0,解得0故离心率的一个取值可以为3.
15.1　设C:=1的焦距为2c(c>0),A(x,y),则E(a,0),F(c,0),|EF|=c-a,
可得D(F,A)=|x-c|+|y|=c-a.
当x≥c,y≥0时,可得x-c+y=c-a,即x+y=2c-a;当x≥c,y<0时,可得x-c-y=c-a,即x-y=2c-a;当x又因为-(c-a)=>0,即>c-a.可知当点A在点F正上方或正下方时,|AF|=c-a<,所以点A的轨迹与双曲线C仅有1个公共点E.
16.2+2　如图,设M为BC1上任意一点,作MQ⊥BC,垂足为Q,作MH⊥AA1,垂足为H,连接AQ,则AQMH为矩形,
下面先求旋转成的侧面被平面ABB1A1截得的曲线方程,以A为坐标原点,方向为x轴正方向,方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,
设点M旋转成的圆与平面ABB1A1的交点坐标为(x,y),则|x|=|AQ|,|y|=|MQ|,
所以,即|BQ|=,代入|AQ|2=|BQ|2+1中,得x2=+1,即x2-=1,
可知侧面被平面ABB1A1截得的曲线为双曲线的一部分,其中0≤y≤k,封闭容器内可放置一球,轴截面图形如图所示,
则圆心为S,半径r=,双曲线上的动点T(x0,y0)到点S距离的最小值为,即|ST|2=+1+-ky0++1的最小值为设h(y0)=-ky0++1,0≤y0≤k,
因为0<-21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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