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2026全国版高中数学突破练
突破练58　抛物线
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.一个动圆与定圆F:(x+2)2+y2=1相内切,且与定直线l:x=3相切,则此动圆的圆心M的轨迹方程是(　　)
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=-4x D.y2=-8x
2.(2022·全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)
A.2 B.2 C.3 D.3
3.(2025·湖南长沙一模)已知抛物线C:y=的焦点为F,准线为l,P为C上一点,过P作l的垂线,垂足为M.若|MF|=|PF|,则|PF|=(　　)
A.2 B. C.4 D.2
4.(2026·河北邢台开学考试)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交于点K,点P为抛物线C上一点,若|PF|=2|KF|,则△PKF的面积为(　　)
A. B. C.2 D.4
5.(2025·四川眉山三模)已知点D(4,m)在抛物线Ω:x2=8y上,点A为圆C:x2+(y-2)2=r2(0A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2025·陕西汉中二模)如图1,这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm,口径26 cm,底径10 cm,该碗的轴截面(不含碗底部分)是抛物线的一部分,如图2,则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
图1
图2
A.cm B.cm
C.cm D.cm
7.(多选)已知抛物线x2=y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论正确的是(　　)
A.点F的坐标为
B.若直线MN过点F,则x1x2=-
C.若=λ,则|MN|的最小值为
D.若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x轴的距离为
8.(一题多解)(多选)(2024·新高考Ⅱ,10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,对P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过点P作l的垂线,垂足为B,则(　　)
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
9.(原创)设M(x,y)为抛物线y2=4x上任意一点,若x+2y+m的最小值为1,则m的值为　　　　　.
10.A,B是抛物线x2=2y上的两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为12,则∠AOB=　　　　　.
能力·高分练
11.(2025·海南海口模拟)如图,设抛物线y2=8x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在该抛物线上,点C在y轴上,若|FA|=9,|FB|=4,则=(　　)
A. B.3 C. D.4
12.(2025·安徽安庆模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)
A.焦点F到抛物线C的准线的距离为8
B.
C.若AB的中点的纵坐标为4,则|AF||BF|=8
D.若2|BF|=|AF|,则S△AOF=4
13.(多选)(2025·广东惠州一模)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后,集中于它的焦点.若抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,一条平行于x轴的光线l1从点M射入,经过C上的点A(x1,y1)反射,再经过C上另—点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则(　　)
A.C的准线方程为x=-1
B.y1y2=-4
C.若点M(2,1),则|AB|=
D.设直线OA与C的准线的交点为N,则点N在直线l2上
14.(15分)(原创)如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.
素养·提升练
15.(多选)(2025·山西太原一模)已知动点P(x,y)到点F(0,1)和直线y=4的距离和为5,记其轨迹为曲线C.点M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线C上的两个不同点,点A(0,a)(a∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.曲线C的方程为y=-x2+5
B.对于任意a∈R,都存在点M,N,使得|AM|=|AN|成立
C.当y1≠y2时,若点M,N关于点A对称,则a∈
D.若点M,N关于点A对称,则|AM|+|AN|的取值范围为(0,8]
16.(2025·四川南充三模)用平面截圆锥可得到不同的圆锥曲线.如图,已知圆锥PO的侧面积为2π,它的轴截面为等腰直角三角形.过圆锥底面圆心O作平面α,使圆锥轴PO与平面α成45°角,此时平面α截圆锥侧面所得图形记为抛物线C,则抛物线C的焦点到准线的距离为　　　　　.
参考答案
1.D　设动圆M的半径为r,依题意|MF|=r-1,
点M到定直线x=2的距离为d=r-1,所以动点M到定点F(-2,0)的距离等于到定直线x=2的距离,即M的轨迹为以F为焦点,x=2为准线的抛物线,所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=-8x.
2.B　设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以=4.
所以|AB|==2
3.C　由抛物线的定义知|PF|=|PM|,又|MF|=|PF|,
所以△PMF为等边三角形,∠FMN=30°(N为准线与y轴的交点),抛物线y=的焦点F(0,1),准线l:y=-1,p=2,故|MF|==2p=4,故|PF|=4.
4.C　对于抛物线C:y2=4x,其焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1,
准线与x轴的交点K的坐标为(-1,0),则|KF|=1-(-1)=2,设点P的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义可知|PF|=x0+1,已知|PF|=2|KF|,则x0+1=4,解得x0=3.因为点P为抛物线C上一点,将x0=3代入抛物线方程可得=12,解得y0=±2在△PKF中,|KF|=2,点P到x轴的距离即为△PKF中KF边上的高,即高h=|y0|=2,因此△PKF的面积S△PKF=|KF|×|y0|=2×2=2
5.A　根据题意得42=8m,解得m=2,即D(4,2),
因为圆心C(0,2)恰好为抛物线Ω的焦点,则|CD|=m+2=4,又|CD|=4>r,所以点D在圆C的外部,所以|AD|的最小值为|CD|-r=4-r=3,解得r=1.
6.B　以该碗轴截面的对称轴为y轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图,
设该抛物线的方程为x2=2py(p>0)(x,y的单位均为cm),点A的纵坐标为h(单位:cm),则A(5,h),B(13,h+10),于是解得
故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.
7.BCD　易知点F的坐标为,故A错误;
根据抛物线的性质知,直线MN过焦点F时,x1x2=-p2=-,故B正确;
若=,则线段MN过点F,则|MN|的最小值即抛物线通径的长,为2p,即,故C正确;
抛物线x2=y的焦点为,准线方程为y=-,过点M,N,P分别作准线的垂线MM',NN',PP',垂足分别为M',N',P'(图略),所以|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|.所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=,所以线段|PP'|=,所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|-,故D正确.
8. ABD　准线l的方程为x=-1,与☉A相切,A正确;
A(0,4),当P,A,B三点共线时,P(4,4),|PA|=4,|PQ|=,B正确;
当|PB|=2时,P(1,±2),PA与AB显然不垂直,C错误;
(方法1)当|PA|=|PB|时,设P(x,y),则,即(y-4)2=2x+1,又y2=4x,即y2-16y+30=0,解得y=8±,对应x的值有两个,所以点P有2个,D正确.
(方法2)焦点F(1,0),由|PB|=|PF|,|PB|=|PA|,即|PF|=|PA|,则点P在线段AF的垂直平分线上,此垂直平分线的方程为y=x+,与抛物线方程联立有两组解,所以点P有两个,D正确.
故选ABD.
9.5　因为M(x,y)为抛物线y2=4x上任意一点,所以x=,y∈R,所以x+2y+m=+2y+m=(y+4)2+m-4,
所以当y=-4时x+2y+m取得最小值m-4,依题意可得m-4=1,所以m=5.
10.60°　如图,因为|OA|=|OB|,所以A,B两点关于y轴对称,设A(-a,),B(a,),所以S△AOB=2a=12,解得a=2,所以B(2,6),设OB与y轴正方向夹角为θ,所以tan θ=,所以θ=30°,
所以∠AOB=2θ=60°.
11.A　如图所示,设A(xA,yA),B(xB,yB),|FA|=9,|FB|=4,
由y2=8x可知准线方程为x=-2,根据抛物线定义可得xA+2=9,xB+2=4,故xA=7,xB=2,
过点A,B分别作y轴的垂线AG,BM,垂足为G,M,过点B作AG的垂线,垂足为E,明显△ABE∽△BCM,所以
12.D　抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线l:x=-2,所以焦点F到抛物线C的准线的距离为4,A错误;
设A(x1,y1),B(x2,y2),
当直线AB垂直于y轴,可得x1=x2=2,所以|AF|=|BF|=4,得;
当直线AB不垂直于y轴,设方程为x=my+2,由得y2-8my-16=0,则x1x2==4,,B错误;
对于C,AB的中点的纵坐标为4,则y1+y2=8m=8,则m=1,可得x1+x2=y1+2+y2+2=8+4=12,|AF|+|BF|=x1+x2+4=16,又因为,
所以|AF||BF|=32,C错误;
对于D,不妨设点A在第一象限,分别过点A,B作AA1,BB1垂直于准线,垂足分别为A1,B1,如图所示,直线AB与准线交于点E,准线与x轴交于点H,
设|AF|=2|FB|=2m,则|BB1|=m,|AA1|=2m,
因为BB1∥AA1,则,得|BE|=3m,则cos∠EBB1=,则tan∠EBB1=2,故直线AB的斜率为2,直线AB的方程为x=y+2,与y2=8x联立得y2-2y-16=0,解得y1=4,y2=-2,所以A(4,4),所以S△AOF=2×4=4,D正确.
13.ABD　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A正确;
设直线AB的方程为x=my+1,与抛物线的方程y2=4x联立,可得y2-4my-4=0,则y1y2=-4,故B正确;
若点M(2,1),则A,B(4,-4),|AB|=,故C错误;
直线OA的方程为y=x,又=4x1,即y=x,令x=-1,可得y=-=y2,即N(-1,y2),而直线l2的方程为y=y2,则点N在直线l2上,故D正确.
14.(1)解 由抛物线定义可得|AF|=2+=3,解得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)证明 因为点A(2,m)在抛物线E上,
所以m2=4×2,解得m=±2,
由题图知A(2,2),又F(1,0),
所以直线AF的方程为y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,
解得x=2或,所以B又因为G(-1,0),所以kGA=,kGB=-,
所以kGA+kGB=0,所以∠AGF=∠BGF,
故GF为∠AGB的平分线.
15.BCD　对于A,根据题意,列方程+|y-4|=5.
当y≤4时,化简可得x2=4y;
当y>4时,化简可得y=-x2+5,故A错误;
对于B,由选项A,作出曲线C如图所示,
可知曲线C关于y轴对称,所以对于任意a∈R,都存在点M,N,只要x1+x2=0,y1=y2,就能使得|AM|=|AN|成立,故B正确;
对于C,因为y1≠y2,所以M,N一定分别在曲线y=-x2+5(y>4)和x2=4y(y<4)上.不妨设M,N(-4对于D,若y1=y2,因为M,N关于A(0,a)对称,所以当M,N分别对应点(4,4)和(-4,4),A(0,4)时,|AM|+|AN|=8取得最大值;当M,N接近曲线C的上下顶点时,|AM|+|AN|接近于0;
若y1≠y2,由C可知,|AM|+|AN|=|MN|,且|MN|2=(2x1)2+(-+5-)2=+25,0<16,
所以5≤|MN|2<64|AM|+|AN|=|MN|<8.
综上,0<|AM|+|AN|=|MN|≤8,故D正确.
16.1　设圆锥底面半径为r,因为轴截面为等腰直角三角形,所以|PO|=r,母线长为|PA|=r,所以侧面积为2πrr=2,解得r=,如图,
取PB的中点M,过O作CD⊥AB,连接OM,易知OM⊥PB,由圆锥的结构特点易知CD⊥PO,又PO,AB为平面PAB内两条相交直线,所以CD⊥平面PAB,又因为PB在平面PAB内,所以CD⊥PB,又因为OM,CD为平面CDM内两条相交直线,所以PB⊥平面CDM,所以∠POM即为圆锥轴PO与平面α成45°角,即∠POM=45°,O为AB的中点,M是PB的中点,所以OM为中位线,所以PA∥OM,PB⊥OM,所以|OM|=|PA|=1.又因为|OD|=,以M为原点,MO为x轴建立坐标系如图所示,则D(1,).可设抛物线y2=2px,把D(1,)代入抛物线方程可得2=2p,所以抛物线为y2=2x,焦点F,所以焦点到准线的距离为1.
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