资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练59　直线与圆锥曲线的位置关系
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
2.(2026·湖南开学考试)已知直线l:x=m(y-3)与曲线C:x=有两个公共点,则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为的直线l交双曲线的右支于M,N两点,若△MNF1的周长为36,则双曲线C的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.x2-=1
4.(原创)过椭圆C:=1的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A,B两点,则=(　　)
A. B. C. D.
5.(多选)关于双曲线C:=1,下列说法正确的是(　　)
A.该双曲线与双曲线=1有相同的渐近线
B.过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A,B,若|AB|=5,则满足条件的直线只有一条
C.若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,则直线l的斜率k∈
D.过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
6.(多选)(2022·新高考Ⅰ,11)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　)
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
7.(原创)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线与E的左支交于A,B两点,M为线段AB的中点,若|MF|=4|OF|(O为坐标原点),则双曲线E的离心率是　　　　　.
8.(2023·天津,12)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为　　　　　.
9.(15分)(2025·湖北武汉一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点,过点A(1,0)的直线l与C交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,其中y1>0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l的斜率为,求|MN|的值;
(3)已知M'(4,y1),直线M'N交x轴于点P,若四边形MAPM'为等腰梯形,求直线l的方程.
能力·高分练
10.(2025·天津一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,C上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2.若N(x0,y0)是C上的一个动点,满足<0,则y0的取值范围是(　　)
A.(-5,5) B.(-4,4)
C.(-5,4) D.(-4,5)
11.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,上、下顶点为B,C,直线BF2与椭圆的另一个交点为D,若cos∠F1BF2=-,则直线CD的斜率为(　　)
A. B.
C. D.
12.(2025·四川南充模拟)已知两定点M(-1,0),N(1,0),若某直线上存在点P,使|PM|+|PN|=4,则该直线称为“L型直线”,给出下列直线,其中是“L型直线”的是(　　)
①x+2y-4=0;②x-3=0;③x-y-3=0;④3x-y-6=0.
A.①③ B.①②
C.③④ D.①④
13.(原创)(多选)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,过点F的直线交C于A,B两点,过点A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为D,E,则下列选项中正确的是(　　)
A.以DE为直径的圆经过点F
B.∠ADF=∠BEF
C.|AB|的长度可以为6
D.|AD||BE|≥16
素养·提升练
14.(原创)椭圆E:=1与曲线H:xy=k在第一象限内交于P,Q两点,则直线PQ的斜率为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
15.(15分)(2025·湖南长沙三模)如图,动圆与半圆x2+y2=4(y≥0)相切(内切或外切),也与x轴相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程.
(2)直线l的斜率为,且与(1)中所得的轨迹由左至右分别交于点A,B,C,D,是否存在直线l满足|AD|=2|BC| 若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.C　由直线l:kx+y+1=0,得直线l过定点(0,-1),
因为<1,
所以该点在椭圆C:=1内部,
所以直线l与椭圆C相交.
故选C.
2.D　由x=,得x2=(4-y2)(x≥0),即=1(x≥0),所以C为椭圆=1的右半部分.
当m=0时,直线l:x=0与C有两个公共点;
当m≠0时,直线l:y=x+3,令=k,
将y=kx+3代入=1,得(3k2+4)x2+18kx+15=0,则Δ=(18k)2-60(3k2+4)>0,得k2>,则m2<
由图可知<0,所以m
综上,m的取值范围是
3.D　因为双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以b=a,则双曲线方程为=1(a>0),F1(-a,0),F2(a,0),所以直线l的方程为y=(x-a),设M(x1,y1),N(x2,y2),由得x2-6ax+11a2=0,则x1+x2=6a,x1x2=11a2,所以|MN|==2=16a,因为|MF1|=|MF2|+2a,|NF1|=|NF2|+2a,所以|MF1|+|NF1|=|MF2|+|NF2|+4a=|MN|+4a=20a,因为△MNF1的周长为36,所以|MF1|+|NF1|+|MN|=36,所以20a+16a=36,解得a=1,所以双曲线C的方程为x2-=1.
4.C　由=1,得a2=5,b2=4,c2=a2-b2=1,左焦点为(-1,0),则过左焦点F,倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+1.代入=1,得9x2+10x-15=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-,x1+x2=-,又因为y1y2=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-,根据弦长公式得|AB|=,
且|AF||BF|==2|y1y2|=,
5.ACD　双曲线C:=1的渐近线方程与双曲线=1的渐近线方程都是y=±x,故A正确;由于双曲线的实轴长为2a=4,所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4,+∞),存在关于x轴对称的两种情况,使其弦长为5,另外当直线垂直于x轴时,经计算可得弦长是5,故满足条件的直线有三条,故B错误;由于双曲线的渐近线的斜率为±,焦点在x轴上,所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,则直线l的斜率k,故C正确;
由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方,如图所示,故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点,其中两条与渐近线平行,另外两条与双曲线相切,故D正确.
6.BCD　∵点A(1,1)在抛物线C上,∴1=2p,∴p=,∴抛物线C的方程为x2=y.∴抛物线C的准线为y=-,故A错误;
∵点A(1,1),B(0,-1),∴直线AB的方程为y=2x-1,联立抛物线C与直线AB的方程,得消去y整理得x2-2x+1=0,Δ1=(-2)2-4×1×1=0,∴直线AB与抛物线C相切,故B正确;
由题意可得,直线PQ的斜率存在,则可设直线PQ的方程为y=kx-1,联立直线PQ与抛物线C的方程,得消去y整理得x2-kx+1=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则
∴|k|>2,y1y2=(x1x2)2=1,
又|OP|=,|OQ|=,∴|OP|·|OQ|==|k|>2=|OA|2,故C正确;
∵|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|,
∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.故选BCD.
7　设双曲线E的半焦距为c,则F(-c,0),直线AB方程为y=x+c,
由消去y得(a2-b2)x2+2a2cx+a2(c2+b2)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,y1+y2=x1+x2+2c=-,
于是点M,|MF|==4c,解得,所以双曲线E的离心率e=
8.6　易知切线的斜率存在,设其方程为y=kx,k≠0,则由题意,得圆C的圆心为(-2,0),半径r=由,解得k=±由圆与抛物线的对称性,不妨取直线y=x.直线y=x与曲线y2=2px(p>0)交于点P,则由得P因为|OP|=8,所以=64,解得p=6.
9.解 (1)将点代入椭圆方程=1,
得
化简为=m,=n,则解得即a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)直线l过A(1,0)且斜率为,方程为y=(x-1),联立消去y得=1,整理得2x2-2x-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=1,x1x2=-,由弦长公式|MN|=(k为直线斜率),k=,代入得|MN|=
(3)由四边形MAPM'为等腰梯形,且A,P均在x轴上,MM'∥x轴,设点P坐标为(xP,yP),故∠NAP=∠NPA,故NM=|NM'|.取AP的中点G,连接NG,则G,则直线NM'的方程为y=(x-4)+y1,
令y=0,xP=+4=,
设直线l:x=ty+1,联立
消去x得(t2+4)y2+2ty-3=0,
则y1+y2=-,y1y2=-,
则ty1y2=(y1+y2),xP=,所以x2=,则y2=-=-,因此N,又因为A(1,0),所以直线t==-,
所以直线l的方程为x=-y+1.
10.B　设MF2与渐近线y=x的交点为P,则P为MF2的中点,且OP⊥MF2,又O为F1F2的中点,所以OP∥MF1,即∠F2MF1=,所以=0,
要使<0,则点N在以O为圆心,|OF2|=|OM|为半径的圆的内部,
根据对称性可知-411.B　根据题意,由cos∠F1BF2=-,可得cos2∠OBF2=,即cos∠OBF2=,则tan∠OBF2=,即,所以kBD=-
取CD的中点为E,可知OE∥BD,
设C(x1,y1),D(x2,y2),作差可得)+)=0,即-,即kCD·kOE=-,可得kCD·kBD=-,所以kCD=
12.D　由题意可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设椭圆方程为=1(a>b>0),且c=1,a=2,则b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为=1,
对于①,把x+2y-4=0代入=1并整理得,4y2-12y+9=0,因为Δ=122-4×4×9=0,所以方程4y2-12y+9=0有一个解,所以直线x+2y-4=0称为“L型直线”,故①正确;
对于②,把x-3=0代入=1得,=1-=-<0,无解,所以直线x-3=0不是“L型直线”,故②错误;
对于③,把x-y-3=0代入=1并整理得,7y2+18y+15=0,因为Δ=182-4×7×15=-96<0,所以方程7y2+18y+15=0无解,所以直线x-y-3=0不是“L型直线”,故③错误;
对于④,把3x-y-6=0代入=1并整理得,13x2-48x+44=0,因为Δ=482-4×13×44=16>0,所以方程13x2-48x+44=0有两个解,该直线3x-y-6=0称为“L型直线”,故④正确.
13.AD　对于A,当直线AB的斜率不存在时,AD=BE=4,此时点F在以DE为直径的圆上,当斜率存在时,设直线AB的斜率为k,D(-2,y1),E(-2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB的方程为y=k(x-2),所以=(-4,y1),=(-4,y2),即=16+y1y2,联立可得y2-y-2k=0,由韦达定理可得y1y2=-16,所以=0,故A正确;
对于B,因为=(x1+2,0),=(4,-y1),所以cos∠ADF=,同理得cos∠BEF=,因为不一定相等,所以∠ADF=∠BEF不恒成立,故B错误;
对于C,联立直线方程与抛物线方程得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,由韦达定理得x1+x2=4+,x1x2=4,根据弦长公式|AB|=|x1-x2|>6,即|AB|的长度不可能为6,故C错误;
对于D,由抛物线定义得,|AD|=x1+2,|BE|=x2+2,结合韦达定理得|AD|·|BE|=x1x2+2(x1+x2)+4=4+2+4=16+16,故D正确.
14.D　不妨设P(x1,y1),Q(x2,y2)(0又kPQ<0,所以kPQ=-
15.解 (1)设动圆圆心为M(x,y),作MN⊥x轴于点N.
①若动圆与半圆外切,则|MO|=2+|MN|,=y+2,两边平方得x2+y2=y2+4y+4,化简得y=x2-1(y>0).
②若动圆与半圆内切,则|MO|=2-|MN|,=2-y,两边平方得x2+y2=y2-4y+4,化简得y=-x2+1(y>0).
综上,当动圆与半圆外切时,动圆圆心的轨迹方程为y=x2-1(y>0);
当动圆与半圆内切时,动圆圆心的轨迹方程为y=-x2+1(y>0).
动圆圆心的轨迹如图所示.
(2)假设满足题意的l存在,可设l的方程为y=x+b.
依题意,可得l与曲线y=x2-1(y>0)交于A,D两点,与曲线y=-x2+1(y>0)交于B,C两点.
由
消去y整理得3x2-4x-12b-12=0, ①
与3x2+4x+12b-12=0, ②
设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA+xD=,xAxD=-4b-4,xB+xC=-,xBxC=4b-4.
因为|AD|=|xA-xD|,|BC|=|xB-xC|,且|AD|=2|BC|,所以|xA-xD|=2|xB-xC|,即(xA+xD)2-4xAxD=4[(xB+xC)2-4xBxC],得+16b+16=4[-16b+16],解得b=将b=代入方程①,得xA=-2,xD=因为函数y=x2-1(y>0)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),所以假设不成立,即不存在满足题意的直线l.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑