资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练60　圆锥曲线的求值与证明问题
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·山东菏泽一模)已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=4x上,三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,若=1,则点A的坐标为(　　)
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(2,-1) D.(2,1)
2.已知椭圆+y2=1,直线l:y=2x+m,若椭圆上存在关于直线l对称的两点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-1,1) B.
C.(-) D.
3.已知点P为抛物线x2=8y上一点,过点P作圆C:x2+(y-5)2=1的两条切线,切点分别为M,N,则cos∠MPN的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·河南驻马店模拟)已知椭圆C:=1的左、右顶点分别为A,B,位于x轴上方的点P是C上的一点,坐标原点为O,直线AP与过点B且垂直于x轴的直线交于点Q,则直线OQ与直线BP的斜率之积为(　　)
A.1 B.- C. D.-1
5.(原创)已知椭圆E:=1(a>b>0)经过点(2,),右焦点为F(2,0),A,B分别为椭圆E的上顶点和下顶点,若过(0,1)且斜率存在的直线l与椭圆E交于C,D两点,直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2,则的值为(　　)
A.1 B.3
C.2 D.
6.(多选)(2025·黑龙江一模)设F1,F2分别为双曲线C:x2-=1的左、右焦点,P(x0,y0)为C上一点,则(　　)
A.C的焦距为2
B.当P在C的右支上,且y0=4时,|PF1|=6
C.当x0=1时,点P到C的两条渐近线距离之和为
D.当y0=时,△PF1F2为直角三角形
7.(多选)(2025·安徽蚌埠二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线E:y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为E上的任意三点(异于O点),且=0,则下列说法正确的是(　　)
A.|FA|+|FB|+|FC|=6
B.存在点A,使得|FA|>3
C.若直线AB,AC,BC的斜率分别为k1,k2,k3,则=0
D.
8.(2025·湖北襄阳模拟)如图,斜率为的直线与椭圆C:=1(09.(2025·陕西咸阳模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F为右焦点,点A,B在右支上,设点D为点A关于原点O的对称点,且DF⊥AB.若=λ,则λ=　　　　　.
10.(15分)(2025·湖南永州模拟)抛物线C:y2=2px(0(1)求抛物线C的方程;
(2)求证:bndn=-1(n≥1);
(3)取an=22n-1,并记Tn为C上分别以Pn与Qn为切点的两条切线的交点,求|FT1|+|FT2|+…+|FTn|的值(用含n的式子表示).
能力·高分练
11.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0)的左、右焦点,M是该双曲线右支上一点,N在线段F1M上,),=0,离心率为,则下列结论正确的为(　　)
A.实轴长为4
B.|NF1|-|NO|=1
C.△F1MF2的面积为3
D.|MF1|+|MF2|=2
12.(多选)(2025·甘肃金昌二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C的上顶点,过点F1的直线l交椭圆C于A,B两点,则下列结论正确的有(　　)
A.△PF1F2为等边三角形
B.直线AP,BP的斜率之积为-
C.|PA|≤2b
D.当直线l的斜率不存在时,直线AP,BP的斜率之积与当直线l斜率为0时,直线AP,BP的斜率之积互为相反数
13.(多选)(2025·河北邯郸一模)如图,“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C:x2=2py(p>0)绕坐标原点分别旋转,π,后所得三条曲线与C共同围成的区域(阴影区域),A,B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点,若|AB|=8,阴影部分的面积为S,则(　　)
A.p=1
B.△AOB的面积为16
C.S的值比32小
D.直线y=x+b截第二象限“花瓣”的弦长可能为1.4
素养·提升练
14.(原创+模块外融通)(多选)已知a>0,F1(-a,0),F2(a,0),若平面内动点P(x,y)满足|PF1||PF2|=a2,则称点P的轨迹为“双纽线”,下列结论正确的是(　　)
A.“双纽线”是轴对称图形
B.△PF1F2的面积的最大值为
C.|PF1|+|PF2|=2a
D.直线y=0.9x与“双纽线”有三个交点
[错题笔记]
参考答案
1.B　设B,C,A,则k1=,k2=,k3=,
所以=1,解得y3=2,故x3==1,故点A的坐标为(1,2).
2.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线l:y=2x+m对称,
所以直线AB的方程可以设为y=-x+t,
联立化为x2-2tx+2t2-2=0,Δ=4t2-4(2t2-2)>0,
解得-而x1+x2=2t,所以x0=t,y0=-x0+t=-t+t=t,即M,
代入直线l:y=2x+m可得=2t+m,所以-即实数m的取值范围是
3.D　因为∠MPN=2∠MPC,sin∠MPC=,
设P,则|PC|2=t2++25=(t2-8)2+24,
当t2=8时,|PC|min=2,此时∠MPN最大,cos∠MPN最小,且(cos∠MPN)min=1-2sin2∠MPC=1-2
4.D　由C的方程知,A(-2,0),B(2,0),
设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,P(x0,y0),
所以k1=,k2=,
所以k1k2=,
因为点P在C上,
所以=1,
故-4=-2,
所以k1k2==-,
故kOQk2=2k1k2=-1.
5.B　由题意可知a2=8,b2=4,椭圆E的标准方程为=1.
设直线CD:y=kx+1,联立直线CD和椭圆方程得(2k2+1)x2+4kx-6=0,Δ=16k2-4×(-6)×(2k2+1)=64k2+48>0,记C(x2,y2),D(x1,y1),则
由题意知A(0,2)和B(0,-2),
则k2=,k1=,
则
=
=
==3,
所以=3.
6.ABD　由双曲线C:x2-=1可知a=1,b=2,∴c=,得C的焦距为2,故A正确;
由P在双曲线C的右支上,且y0=4可得x0=,从而P(,4),又因为F2(,0),此时PF2⊥x轴,即|PF2|=4,所以|PF1|=|PF2|+2=6,故B正确;
C的渐近线方程为2x±y=0,当x0=1时,P(1,0),故点P到C的两条渐近线距离之和为,故C错误;
由y0=可得x0=±,而F1(-,0),取P,则=0,所以∠F1PF2=90°,因此△PF1F2为直角三角形,由对称性可知当x0=-时也成立,故D正确.
7.ACD　因为A,B,C为E上的任意三点,且=0,
所以F为△ABC的重心,F(1,0),
所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,
所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+3=6,故A正确;
因为=(y2+y3)2≤2(),
所以x1≤2(x2+x3)=2(3-x1),
解得x1≤2,
所以|FA|=x1+1≤3,故B错误;
因为=4x1,=4x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以k1=,
同理可得k2=,k3=,
所以=0,故C正确;
不妨设y1≥0,y2≥0,y3<0,则y1=2,y2=2,y3=-2,代入y1+y2+y3=0,得2+2-2=0,
所以,
由得x1x2=(x1+x2-)2,所以=(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x2x3+x3x1)=9-2x1x2-2x3(x1+x2)=9-2(x1+x2-)2-2[3-(x1+x2)](x1+x2)=9-2(x1+x2)2+6(x1+x2)--6(x1+x2)+2(x1+x2)2=,故D正确.
8.2　设A(x1,y1),B(x2,y2),
又因为|AN|=|NM|=|MB|,
所以M(-x1,0),N,
则B,
则两式相减得=0,
即=-,
因为,所以,
所以=1,=-=-,
所以=-,
解得b=1,所以c=,
所以椭圆C的焦距为2
9　由双曲线C:=1的离心率为,
设a=2m(其中m>0),则c=m,可得b=m,再设F1为双曲线C的左焦点,且|FA|=r,
因为=,可得|FB|=,根据双曲线的定义,可得|F1A|=r+2a=r+4m,
又由双曲线的对称性,可得四边形AF1DF为矩形,所以|F1A|2+|FA|2=|F1F|2,
即(r+4m)2+r2=(2c)2=40m2,解得r=2m,连接BF1,设|FB|=t,则|F1B|=t+4m,由于|AB|2+|F1A|2=|F1B|2,即(t+4m)2=(2m+t)2+36m2,解得t=6m,
因为=,解得λ=
10.(1)解 设该点坐标为(x0,2),
则x0+,且4=2px0,
则=x0,则,
化简得p2-5p+4=(p-4)(p-1)=0,
解得p=4或p=1,
又0(2)证明 F,设直线FPn的方程为x=my+,
联立
则有y2-2my-1=0,Δ=4m2+4>0恒成立,
则bndn==-1,即得证.
(3)解 由Pn(an,bn)在第一象限,则Qn(cn,dn)在第四象限,
则点Pn在函数y=上,y'=,
则抛物线C上以Pn为切点的切线为y-bn=(x-an),
又=2an,
则bny=x+,
点Qn在函数y=-上,y'=-,
则抛物线C上以Qn为切点的切线为y-dn=-(x-cn),
又=2cn,则dny=x+,
令
解得
即Tn,
由bndn=-1,an=22n-1,
则bn==2n,dn=-2-n,
即Tn(-),则|FTn|=,故|FT1|+|FT2|+…+|FTn|==2n-
11.ACD　由题意知,,解得a=2,所以实轴长为4,故A正确;
因为),所以N是线段F1M的中点,因为O是线段F1F2的中点,所以ON∥F2M,|ON|=|MF2|,由双曲线定义知,|MF1|-|MF2|=2a=4,所以|NF1|-|NO|=(|MF1|-|MF2|)=2,故B错误;
因为=0,所以NF1⊥ON,所以MF1⊥MF2,所以|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2=28,所以(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=28-2|MF1||MF2|=16,所以|MF1||MF2|=6,所以△F1MF2的面积为|MF1||MF2|=3,故C正确;
所以(|MF1|+|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=28+12=40,所以|MF1|+|MF2|=2,故D正确.
12.ACD　因为椭圆的离心率e=,所以a=2c,即a2=4c2,则b2=a2-c2=3c2,又因为|PF1|=|PF2|=a,|F1F2|=2c=a,所以△PF1F2为等边三角形,故A正确;
对于选项B,当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my-c,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l和椭圆的方程,得整理可得(4+3m2)y2-6mcy-9c2=0,因此y1+y2=,y1y2=-,所以kAP·kBP=,化简可得,kAP·kBP=,因此kAP·kBP随着m的变化而变化,故B错误;
对于选项C,设A(x1,y1),因为=1,a2=4c2,b2=3c2,则a2=4c2=b2,所以|PA|2=+(y1-b)2=a2+(y1-b)2=b2+(y1-b)2=-(y1+3b)2+b2,又因为-b≤y1≤b,且-3b<-b,所以|PA=-(-b+3b)2+b2=4b2,所以|PA|≤2b成立,故C正确;
对于选项D,当直线l的斜率不存在,即m=0时,kAP·kBP=,当直线l的斜率为0时,设A(-a,0),B(a,0),所以kAP·kBP==-=-,故D正确.
13.BCD　设抛物线C绕原点顺时针旋转,π,后得到的三条曲线分别为C1,C2,C3.抛物线C的焦点为,故C1的焦点为,C2的焦点为,C3的焦点为故C1:y2=2px,C2:x2=-2py,C3:y2=-2px,p>0.
对于A,A为曲线C与C1交点,联立方程解得即A(2p,2p).
B为曲线C与C3交点,
联立方程解得即B(-2p,2p).
又因为|AB|=8=|2p-(-2p)|=4p,故p=2.故A错误.
对于B,由A选项可得,A(4,4),B(-4,4),△ABO的面积为8×4=16.故B正确.
对于C,由对称性,则阴影部分在四个象限的图形全等,故只讨论第一象限部分.
第一象限部分依然根据对称性,可分为两份,以下只讨论曲线C与直线y=x围成的部分.
设该阴影部分面积为S',显然S=8S'.
设函数f(x)=x2,则f'(x)=x.故过A点的切线斜率为2.
因此过A点的切线方程为y=2x-4.该切线与x轴交于M,故M(2,0).
S'对于D,第二象限的“花瓣”图形由曲线C和曲线C3围成,两者关于y=-x对称.
直线y=x+b与曲线C相交,联立方程化简得x2-4x-4b=0,且交点在第二象限,
所以x<0,故x=2-2,所以交点坐标为(2-2,2-2+b).
由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域,故-4≤2-20,即13.
由于C3与C关于直线y=-x对称,直线y=x+b也关于直线y=-x对称,所以直线y=x+b与C3的交点坐标为(2-2-b,2-2).故弦长l=|4+b-4|,
设=m,则1≤m≤3,故l=|m2-4m+3|=|(m-2)2-1|.
因此当m=1或3,即b=0或8时,直线y=x+b与两曲线交于一点,弦长为0;
当m=2,即b=3时,弦长最长,此时l=>1.4.故弦长的取值可能为1.4,故D正确.
14.AD　对于A,由|PF1||PF2|==a2,则曲线方程为x4+y4-2a2x2+2a2y2+2x2y2=0,由(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),显然当(x,y)满足方程时,(x,-y)也满足方程,则“双纽线”关于x轴对称,故A正确;
对于B,由方程x4+y4-2a2x2+2a2y2+2x2y2=0,整理可得关于x2的方程(x2)2+(2y2-2a2)x2+y4+2a2y2=0,由Δ=(2y2-2a2)2-4(y4+2a2y2)≥0,解得-y,由|F1F2|·|y|,则其最大值为2a,故B错误;
对于C,当点P不在原点时,则构成△PF1F2,则|PF1|+|PF2|>|F1F2|=2a,故C错误;
对于D,将y=0.9x代入方程x4+y4-2a2x2+2a2y2+2x2y2=0,
整理可得x2(1.812x2-0.38a2)=0,
解得x=0或x=±a,故D正确.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑