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2026全国版高中数学突破练
突破练61　圆锥曲线的最值与范围问题
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(一题多解)(2021·全国乙,文11)设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　)
A. B. C. D.2
2.已知实数x,y满足mx2+2y2=4(m>0),若|x+2y|的最大值为4,则m=(　　)
A. B. C. D.
3.(2026·安徽阜阳模拟)双曲线C与双曲线=1有相同的渐近线,双曲线C与椭圆+y2=1有相同的焦点,点P为双曲线C上的点且在第一象限内,双曲线C的左、右焦点为F,F',点A(0,1),当点P的位置变化时,△PAF的周长的最小值为(　　)
A.4 B.4
C.6+ D.4+
4.已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,其中F1为左焦点,点P为两曲线在第一象限的交点,e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率,若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,则e2-e1的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.(1,+∞)
5.(多选)已知椭圆C:=1,且两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上任意一点,以下结论正确的是(　　)
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
6.(多选)(2025·重庆模拟预测)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),F1,F2为C的左、右焦点,点B1(0,-b),B2(0,b),过F2作实轴的垂线l与C从下到上依次交于A,B两点,线段AB与C的虚轴长相等,则(　　)
A.双曲线C的离心率e=
B.以AB为直径的圆与C的渐近线相切
C.若点P是C上任意一点,则直线PB1,PB2的斜率之积的范围是[-1,1]
D.若点P是C上任意一点,l分别与PB1,PB2交于点E,F,则|AB|2=|AF|2+|BE|2
7.(原创)已知点P是椭圆C:+y2=1上的动点,则点P到直线x+y-3=0距离的最大值为　　　　　.
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与以D(2,0),E(2,6)为直径两端点的圆相切,过抛物线C的焦点F的动直线l与抛物线交于A,B两点,则|AF|-的最小值为　　　　　.
9.(15分)(2026·湖北荆州开学考试)已知焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点,且位于x轴上方,T(t,0)为x轴上一点,O为坐标原点.
(1)当点Q在y轴上,t=1,且△QOT的面积为时,求椭圆C的离心率.
(2)若点P在第一象限,A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点,直线PA,PB分别与x轴和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S1,S2,若S1-S2为定值2,求椭圆C的标准方程.
(3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以点T为直角顶点的等腰直角三角形 若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
能力·高分练
10.(多选)(2025·河北模拟)已知点P是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,过C的焦点F的两条互相垂直的直线l1,l2分别与C交于点A,B和点D,E,其中点A,D均在x轴的上方,过点P分别作l1,l2的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法正确的是(　　)
A.|PF|=3
B.若=3,则直线l1的倾斜角为
C.为定值
D.四边形PMFN的周长的最大值为6
11.(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔一模)已知点F(2,0),直线l:x=,动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的2倍,若某直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论中正确的是(　　)
A.点P的轨迹方程是x2-=1
B.直线m:x-y=0是“最远距离直线”
C.圆M的方程为(x-2)2+y2=,其上一动点Q,则|PQ|的最小值为
D.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0没有交点
12.已知等腰三角形ABC的底边端点A,B在双曲线=1的右支上,顶点C在x轴上,且AB不垂直于x轴,则顶点C的横坐标t的取值范围是　　　　　.
13.(15分)(2022·全国甲,理20)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程;
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.
素养·提升练
14.(原创)已知抛物线方程为y2=8x,F为焦点,P为抛物线准线上一点,Q为线段PF与抛物线的交点,定义:d(P)=.已知点P(-2,8),则d(P)=　　　　　;设点P(-2,t)(t>0),若4d(P)-|PF|-k>0恒成立,则k的取值范围为　　　　　.
参考答案
1.A　(方法1)由椭圆方程可得a=,b=1,故椭圆的上顶点为B(0,1).
设P(x,y),则有+y2=1,故x2=5(1-y2),由椭圆的性质可得-1≤y≤1.
则|PB|2=x2+(y-1)2=5(1-y2)+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4(y2+)+6=-4(y+)2+
因为-1≤y≤1,所以当y=-时,|PB|2取得最大值,且最大值为,所以|PB|的最大值为
(方法2)由题意可设P(cos θ,sin θ)(θ∈R),又B(0,1),则|PB|2=5cos2θ+(sin θ-1)2=5cos2θ+sin2θ-2sin θ+1=-4sin2θ-2sin θ+6,
于是当sin θ=-时,|PB|2最大,
此时|PB|2=-4-2+6=-+6=,
故|PB|的最大值为
2.D　令x+2y=t,则t2≤16,当m>0时,由整理得(4m+2)y2-4mty+mt2-4=0,
则Δ=(4mt)2-4(4m+2)(mt2-4)≥0,
整理得t2,
则=16,
解得m=
3.D　由题意,可设所求的双曲线C的方程为=λ(λ≠0),
即=1(λ≠0).
椭圆+y2=1的焦点坐标为(,0),(-,0),
所以双曲线C的焦点为F(-,0),F'(,0),所以3λ+2λ=3,λ=,
所以双曲线C的方程为=1,
则|PF|=|PF'|+,|AF|==2,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|++|PA|+2.
当F',P,A三点共线时,|PF'|+|PA|有最小值,最小值|AF'|=2,
故△PAF的周长的最小值为4+
4.B　设双曲线的焦距为2c,
则依题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2a1-2c=2a2+2c,a2=a1-2c,e1=,e2=由
于是又e2=,
则e2-e1=-e1.
设1-2e1=t,由由f(t)=-1在区间上为减函数,得f(t)的值域为
所以e2-e1的取值范围为
5.BD　椭圆C:=1,
则a=4,b=2,c==2,
对于A,e=,故A错误;
对于B,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;
对于C,|PF1|的最小值为a-c=2,故C错误;
对于D,|PF1|·|PF2|=a2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时,等号成立,故D正确.
6.ABD　由题设F2(c,0),则l:x=c代入双曲线,有=1,可得y=±,所以|AB|==2b,可得a=b,故e=,A正确;
以AB为直径的圆的圆心为F2(c,0),半径为r==b,且渐近线为y=±x,
所以F2(c,0)到bx±ay=0的距离d==b,即d=r,B正确;
设P(m,n)且=1,c=a=b,
则PB1:y=x-b,PB2:y=x+b,m2-n2=b2,
所以=1-,
又m2≥1,b>0,则<1,显然取不到1,C错误;
令x=c,
则yE=-b,yF=+b,
又yA=b,yB=-b,则|AB|2=4b2,|AF|2=,|BE|2=,所以|AE|2+|BF|2==4b2,所以|AB|2=|AF|2+|BE|2,D正确.
故选ABD.
7　设与x+y-3=0平行的直线l':y=-x+m(m≠3),联立得4x2-6mx+3m2-3=0,
所以Δ=36m2-16(3m2-3)=0,所以m=±2,
所以l':x+y-2=0或l':x+y+2=0,取l':x+y+2=0,此时l':x+y+2=0与x+y-3=0的距离为d=,所以点P到直线x+y-3=0距离的最大值为
8.-3　抛物线C的准线方程为x=-,由D(2,0),E(2,6)知|DE|=6,
以DE的中点(2,3)为圆心,DE为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=9.
由题意得2-=3,解得p=2,故C:y2=4x,且F(1,0).
设直线l的方程为x=my+1,
当m=0时,直线l方程为x=1,则|AF|=|BF|=2,
则|AF|-=2-=-;
当m≠0时,将x=my+1与抛物线方程联立并消去x可得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以x1+x2=4m2+2,x1x2==1.
从而=1,
故|AF|-=|AF|+-9≥6-9=-3,
当且仅当|AF|=3时等号成立.
综上,|AF|-的最小值为-3.
9.解 (1)由题意知Q(0,b),T(1,0),
由△QOT的面积为,得b×1=,则b=,
而a=2,故c==1,
所以椭圆C的离心率为e=
(2)设P(x0,y0),由题意知A(0,b),B(2,0),
则直线PA的方程为y=x+b,
令y=0,则x=,
即得M,
直线PB的方程为y=(x-2),
令x=0,
则y=,即得N,
故S1-S2=S△PMN-S△PAB=S△MBN-S△MBA=|BM|(|ON|-|OA|)=|BM||AN|=2,
即=2,
即得=4,
则=4,又b2+4=4b2,故=4,即4b=4,
∴b=1,故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(3)假设存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形,
由题意知,直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+m,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),y1>0,y2>0,
联立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=64k2-16m2+16>0,得4k2>m2-1,
则x1+x2=-,x1x2=,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=>0,y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=+m2=>0,
故m2>4k2且m>0,故>m>2|k|≥0,当k=0时,y1=y2=m且|x1|=|x2|=m,则m=(0,1),此时T(0,0),满足题意;
当k≠0时,PQ的中点为U(-),又T(t,0),故kTU==-,则t=-=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=0,
则+t2++t2=0,
则5m2-4k2-4+8kmt+(1+4k2)t2=0,
即5m2(1+k2)=4(4k4+1)(1+k2),
∴m2=(4k2+1),结合m2>4k2,则(4k2+1)>4k2,∴0故t
综上可知存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形,t
10.ACD　由题意有9=2p=3p,解得p=3,所以y2=6x,所以F,所以|PF|=3,故A正确;
对于B,设直线l1的方程为x=my+,联立得y2-6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6m>0,y1y2=-9,由=3得y1=-3y2,所以解得m=,设直线l1的倾斜角为θ,则tan θ=,解得θ=,故B错误;
对于C,由|AB|=|y1-y2|==6(m2+1),由直线l2与直线l1垂直,则可设直线l2的方程为x=-y+,同理有|DE|=6,所以,故C正确;
对于D,由|PM|2+|PN|2=|PF|2=9,所以|PM|2+|PN|2≥2|PM||PN|,即|PM||PN|,当且仅当|PM|=|PN|=时,等号成立,
又|PM|2+|PN|2=(|PM|+|PN|)2-2|PM||PN|,得(|PM|+|PN|)2≤18 |PM|+|PN|≤3,所以四边形PMFN的周长的最大值为6,故D正确.
11.AC　对于A,设P(x,y),则有=2,整理可得x2-=1,故点P的轨迹方程是x2-=1,故A正确;
对于B,由点P的轨迹方程是x2-=1知,双曲线x2-=1的渐近线为y=±x,可得直线m:x-y=0为其一条渐近线,故直线m与点P的轨迹方程没有交点,则直线m:x-y=0不是“最远距离直线”,故B错误;
对于C,圆M的方程为(x-2)2+y2=,其圆心M(2,0),半径为,由点与圆的位置关系可知,|PQ|min=|PM|-,根据点与双曲线的位置关系可得|PM|min=|PF|min=c-a=2-1=1,故|PQ|min=1-,故C正确;
对于D,联立圆C与点P的轨迹方程,有可得4x2-2x-3=0,Δ=(-2)2-4×4×(-3)=52>0,故点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0有交点,故D错误.
故选AC.
12　设A(x1,y1),B(x2,y2),依题意,弦AB的垂直平分线与x轴的交点即点C(t,0),记AB的中点M(x0,y0),则x0>,
根据题意
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-2(y1+y2)(y1-y2)=0.
于是x0(x1-x2)-2y0(y1-y2)=0,
即x0-=x0-2y0kAB=0,即kAB=,又kMC=,由kMC·kAB==-1,
所以x0+2(x0-t)=0,t=
13.解 (1)由题可知,当x=p时,y2=2p2,则y=±p.
∵MD垂直于x轴,
∴点M的坐标为(p,p)或(p,-p).
则|MD|=p,|FD|=
在Rt△MFD中,|FD|2+|DM|2=|FM|2,
即+(p)2=9,解得p=2.
则抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).
由题意知当直线MN的倾斜角为90°时,直线AB的倾斜角也是90°,此时α-β=0.
当α≠90°时,显然β≠90°.
由(1)可知F(1,0),D(2,0),则tan α=kMN=,
同理可得tan β=
又M,D,A三点共线,当直线AM的斜率存在时,直线MD的斜率kMD和直线DA的斜率kDA满足kMD=kDA,即,
则得y1y3=-8,即y3=
当直线AM的斜率不存在时,由AM过点D(2,0)得y2=4×2=8,∴y1y3=-8,即y3=
同理,由N,D,B三点共线可得y4=
则tan β=
由题意可知,直线MN的斜率不为0,
不妨设lMN:x=my+1(m≠0),
由消去x,整理得y2-4my-4=0,Δ>0显然成立,
则有
则tan α=,tan β=
由抛物线的对称性可知α-β≠90°,
则tan(α-β)=
当m>0时,2m+2,当且仅当m=时,等号成立,则0当m<0时,2m+-2,当且仅当m=-时,等号成立,则-tan(α-β)<0.由题意知-<α-β<,
由正切函数的性质知当tan(α-β)=时,α-β最大,此时m=
直线AB的方程为y-y3=(x-x3),即4x-(y3+y4)y+y3y4=0,
y3+y4==8m=4,y3y4==-16,
则直线AB的方程为4x-4y-16=0,
即x-y-4=0.
14.4　(-∞,4)　如图所示,过点Q作抛物线准线的垂线QE,垂足为点E,
设∠PFO=θ,则θ为锐角,
设抛物线y2=8x的准线与x轴的交点为M,则|MF|=4,由抛物线的定义可知|QF|=|QE|,|PF|=
因为∠PFO=∠PQE=θ,所以cos θ=,
所以,
当点P的坐标为(-2,8)时,|PF|==12,则cos θ=,
此时d(P)==4.
当点P(-2,t)(t>0)时,若4d(P)-|PF|-k>0恒成立,
则k<4d(P)-|PF|,4d(P)-|PF|==4,
所以k<4.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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