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2026全国版高中数学突破练
突破练62　圆锥曲线的定点、定值与定线问题
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.已知点P是椭圆=1(a>b>0)上任意一点(不与左、右顶点重合),则点P与椭圆左、右顶点连线的斜率乘积为(　　)
A.- B. C. D.-
2.(2026·河北衡水开学考试)过原点O的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,D为C的右顶点,若C的渐近线方程为y=±2x,则直线DA与直线DB的斜率之积为(　　)
A.1 B.3
C.4 D.9
3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)是抛物线C上一点,且|PF|=5.设直线l与抛物线C交于A,B两点,若OA⊥OB(O为坐标原点),则直线l过定点(　　)
A.(1,0) B.(2,0)
C.(4,0) D.(3,0)
4.(2025·广东模拟)已知D为双曲线C:-y2=1右支上一点,过点D分别作C的两条渐近线的平行线,与另外一条渐近线分别交于点A,B,则|DA|·|DB|=(　　)
A.2 B.
C. D.
5.(2026·广东开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交C于M,N两点,线段MN的中点为E,过E作线段MN的中垂线交x轴于点R,过M,N两点分别作C的准线的垂线,垂足分别为A,B.线段AB的中点为P,则=(　　)
A.1 B.
C.2 D.
6.(多选)(2025·河北二模)已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线交y轴于点P,抛物线E上一点T(x0,4)到点F的距离为6,点A,B是抛物线C上的两点,点M是AB的中点,则下列说法正确的是(　　)
A.p=4
B.若中点M的横坐标为4,则直线AB的斜率为2
C.若OA⊥OB,则AB恒过点(0,8)
D.若直线AB过点F,则kAP+kBP=0
7.(多选)(2025·云南昆明阶段练习)已知F1,F2分别为双曲线C:y2-=1(b>0)的上、下焦点,且C的一条渐近线方程为y=x,下列说法正确的有(　　)
A.C的焦距为4
B.过原点的直线l与C相交,则l的倾斜角的取值范围为
C.若M为C上支上的一点,N(1,0),则|MN|+|MF2|的最小值为
D.若M为C上的一点,O为坐标原点,则|OM|2-|MF1|·|MF2|恒为定值
8.(原创)已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,其右焦点为F,若直线y=kx与Γ在第一象限的交点为P且PF⊥x轴,则实数k的值为　　　　　.
9.(2025·甘肃白银模拟)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一动点,Q为△PF1F2的内心,若直线OP和PQ的斜率分别为k1,k2,其中O为坐标原点,则=　　　　　.
10.(15分)(2025·陕西三模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点.
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(2)若以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点P(-1,0),试判断直线l是否过定点.若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
(3)设点M是满足(2)的双曲线C上的一个动点,过M分别作C的渐近线的两条垂线,垂足分别为D,E,判断△DEM的面积是否为定值.若是,求出该定值并证明;若不是,请说明理由.
能力·高分练
11.已知椭圆C:=1,点M在椭圆内且与C的焦点不重合,若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=(　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
12.(多选)(2025·吉林延边一模)过点P(4,0)的直线l交抛物线C:y2=4x于A,B两点,线段AB的中点为M(x0,y0),抛物线的焦点为F,下列说法正确的是(　　)
A.以AB为直径的圆过坐标原点
B.若y0=2,则|AF|+|BF|=12
C.若直线l的斜率存在,则斜率为
D.<0
素养·提升练
13.(原创)(多选)已知曲线C的方程为x2=|y2-1|,C与y轴交于A,B两点,在C上任取一点P(不与A,B重合),作PE⊥y轴,垂足为E,则(　　)
A.C关于原点O中心对称
B.C与直线y=x无交点
C.|AE|,|PE|,|BE|成等比数列
D.若直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则|k1k2|=1
14.(15分)(2025·宁夏银川三模)抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形,由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l:y=2过点F,过x轴下方的一点P作C的两条切线l1,l2,且l1,l2分别交x轴于点A,B,交直线l于点M,N.
(1)若△PMN为阿基米德三角形,求∠MPN;
(2)证明:切线三角形PAB的外接圆过定点.
参考答案
1.D　设P(x0,y0)(x0≠±a),则=1(a>b>0),
所以点P与椭圆左、右顶点连线的斜率乘积为=-
2.C　因为双曲线C的渐近线方程为y=±2x,所以=2,设点A(m,n),因为直线l过原点,则B(-m,-n),
又因为双曲线的右顶点为D(a,0),
则kDA·kDB=, ①
又因为A(m,n)在双曲线上,则=1,所以n2=b2, ②
②代入①化简可得kDA·kDB==4.
3.C　∵P(4,m)是抛物线C上一点,且|PF|=5,+4=5,解得p=2,即抛物线C的方程为y2=4x.设直线l的方程为x=ty+s,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-4ty-4s=0,则y1+y2=4t,y1y2=-4s.
因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0.
则y1y2=-16.由-4s=-16得s=4,所以直线l的方程为x=ty+4,
所以直线l经过定点(4,0).
4.C　设坐标原点为O,D(x0,y0),易知C的渐近线的方程为y=±x,
联立
解得
不妨取A,
同理可得B,
则|OA|=
,|OB|=,
因为四边形OADB是平行四边形,所以|DA|·|DB|=|OB|·|OA|=x0+y0x0-y0=,
由于点D在C上,所以=1,因此|DA|·|DB|=,故C正确.
5.A　设直线MN:x=ty+,联立则y2-2pty-p2=0,
所以则x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,得线段MN的中点为E,
即E,线段MN的中垂线方程为x=-(y-pt)+pt2+,令y=0,得x=pt2+p.所以R,所以|RF|=pt2+p,又|EP|=(MA+NB)=(x1+x2+p)=pt2+p,所以|RF|=|EP|.
又RF∥EP,所以四边形EPFR为平行四边形,因此|ER|=|PF|,所以=1.
6.ACD　对于A,由题意可知,点T(x0,4)到点F的距离为4+=6,解得p=4,故A正确;对于B,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式作差得=8(y1-y2),所以直线AB的斜率为=1,故B错误;对于C,设AB:y=kx+b(b>0),联立直线和抛物线则x2-8kx-8b=0,x1+x2=8k,x1x2=-8b,所以y1y2==b2.因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以-8b+b2=0,解得b=8,所以直线AB恒过点(0,8),故C正确;
对于D,由A得F(0,2),P(0,-2),可设AB:y=kx+2,联立直线和抛物线
则x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16,
所以kAP+kBP=
=
==0,故D正确.
7.ABD　对于A,双曲线C:y2-=1(b>0)的渐近线方程为y=±x,则,解得b=,所以双曲线C的方程为y2-=1,所以焦距2c=2=4,A正确;
对于B,由双曲线C的渐近线方程为y=±x,若过原点的直线l与双曲线相交,则必与左支、右支各有一个交点,则直线l的斜率k满足|k|>,则直线l的倾斜角的取值范围为,B正确;
对于C,F1(0,2),F2(0,-2),|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+2a≥|NF1|+2=+2,当且仅当点M为线段NF1与双曲线的交点时等号成立,C错误;
对于D,由对称性不妨设M为C上支上的任意一点,当点M为双曲线的上顶点时,|OM|2-|MF1|·|MF2|=12-(2-1)(2+1)=-2;
当点M不在双曲线的上顶点时,因为∠MOF1+∠MOF2=π,
则cos∠MOF1=-cos∠MOF2,由余弦定理得=-,
又|OF1|=|OF2|=2,所以|MF2|2+|MF1|2=2|OM|2+8,
因为|MF2|-|MF1|=2a=2,
则(|MF2|-|MF1|)2+2|MF1|·|MF2|=2|OM|2+8,
即|OM|2-|MF1|·|MF2|=-2.
综上,|OM|2-|MF1|·|MF2|恒为定值-2,D正确.
8　因为双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
依题意有,即b=a,
则c=2a,
又因为右焦点为F(c,0),且PF⊥x轴,所以P,
所以k=kOP=
9　由题知,F1(-1,0),F2(1,0),|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2,
设Q(x1,y1),△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T,则|F1T|=|F1M|,|PN|=|PM|,|NF2|=|TF2|,所以|F1T|+|PN|+|NF2|==3,即|F1T|+|PF2|=3,
因为|PF2|==2-x0,
所以|F1T|=1+x0=x1+1,所以x1=x0,(4+2)|y1|=2|y0|,易知y1与y0同号,所以y1=,
所以k2=k1,
所以
10.解 (1)由e2==1+=3知,,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.
(2)由,根据P(-1,0)可得a=1,则b=,双曲线C的方程为x2-=1,
联立得(k2-2)x2+2kmx+(m2+2)=0,所以Δ=(2km)2-4×(m2+2)(k2-2)=4(m2+2-k2)>0,则k2>m2+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,
则x1+x2=,x1x2=
因为=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,即(x1+1)(x2+1)+(kx1+m)(kx2+m)=0,展开得(k2+1)x1x2+(km+1)(x1+x2)+(m2+1)=0,即(k2+1)+(km+1)+(m2+1)=0,
即3k2-2km-m2=0,(3k+m)(k-m)=0,解得m=k或m=-3k.
当m=k时,直线l:y=k(x+1)过点P(-1,0),不符合题意,舍去;
当m=-3k时,直线l:y=k(x-3)过定点(3,0).
(3)由(1)知,双曲线C的两条渐近线方程为x+y=0和x-y=0.
设M(x0,y0),有=1,即2=2,则|MD|·|ME|=
设渐近线y=x的倾斜角为θ,则tan θ=,sin 2θ=,
所以△DEM的面积S=|MD|·|ME|sin(π-2θ)=,
即△DEM的面积为定值,定值为
11.A　记椭圆的左、右两焦点分别为F,F',由椭圆方程得a=3,如图所示,
连接AM,BM,
焦点F,F'分别是线段AM,BM的中点,
设线段MN的中点为P,连接PF,PF',
则线段PF,PF'分别是△AMN和△BMN的中位线,则|AN|+|BN|=2(|PF|+|PF'|)=4a=12.
12.ACD　由题意可知直线l斜率不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+4,
联立得y2-4my-16=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-16,x1+x2=m(y1+y2)+8=4m2+8,
对于A选项,x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16=16,因为=x1x2+y1y2=0,所以OA⊥OB,所以以AB为直径的圆过坐标原点,A说法正确;
对于B选项,若y0=2==2m,则m==1,由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x1+x2+p=14,B说法错误;
对于C选项,因为M(x0,y0)为线段AB中点,所以M(2m2+4,2m),若直线l的斜率存在,则m≠0,直线l:y=x-的斜率k=,C说法正确;
对于D选项,=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=-4m2-8<0,D说法正确.
13.ACD　由题意得,当y2-1≥0,即y≥1或y≤-1时,曲线方程为y2-x2=1,此时曲线为双曲线,当y2-1≤0,即-1≤y≤1时,曲线方程为x2+y2=1,此时曲线为圆,
其图象如图所示,所以选项A正确,B错误;
对于C,设P(x0,y0),则|PE|=|x0|,|AE||BE|=|(1-y0)(-1-y0)|=|-1|,
所以|PE|2=|AE||BE|,所以C正确;
对于D,由|k1k2|==1,所以D正确.
14.(1)解 由题意得=2,则p=4,所以抛物线C的方程为x2=8y.因为△PMN为阿基米德三角形,所以l1,l2分别与抛物线C切于点M,N,不妨设点M在y轴左侧,则M(-4,2),N(4,2).
由x2=8y,得y=x2,则y'=x,
所以l1的斜率为-1,l2的斜率为1,则l1⊥l2,所以∠MPN=90°.
(2)证明 由(1)可知抛物线C:x2=8y,设l1,l2分别与抛物线C切于点Q,R,x1,x2≠0,由(1)可知直线PQ的斜率为x1,直线PR的斜率为x2,
所以直线PQ的方程为y-(x-x1),即y=x-,直线PR的方程为y-(x-x2),即y=x-,所以P,A,B
设△PAB外接圆的圆心为G(m,n),
则圆心G在线段AB的垂直平分线上,所以m=,则圆G的半径为|GA|=,
所以圆G的方程为+(y-n)2=+n2,又因为点P在圆G上,所以+n2,即=0,所以n=,
所以,整理得x2-x+y2-y+=0,即x2+y2-2y-x+=0,令
所以△PAB的外接圆过定点(0,2).
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