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2026全国版高中数学突破练
突破练64　用样本估计总体
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·江西新余模拟)芳芳高考前5次数学模拟成绩分别为126,135,142,132,145,则其平均数为(　　)
A.132 B.134 C.136 D.138
2.某社会实践基地,在实践结束后对学生进行考核评分,某班学生得分的条形图如图所示,则该班学生成绩的第75百分位数为(　　)
A.79 B.83 C.87 D.88
3.(2025·山东聊城模拟)已知数据x,9,7,9的中位数和平均数相等,那么x的值为(　　)
A.5 B.7
C.5或9 D.7或11
4.(2025·辽宁鞍山二模)已知互不相等的数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,t的平均数为t,方差为,数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的方差为,则(　　)
A.
B.
C.
D.的大小关系无法判断
5.(多选)下列统计量中,能度量样本x1,x2,…,xn的离散程度的是(　　)
A.样本x1,x2,…,xn的标准差
B.样本x1,x2,…,xn的中位数
C.样本x1,x2,…,xn的极差
D.样本x1,x2,…,xn的平均数
6.(多选)(2023·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
7.(2025·四川泸州模拟)已知数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是4,数据的平均数是20,则2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的方差为　　　　　.
8.(2025·河南安阳一模)某学校统计了所有在职教师(只有一级教师和高级教师)的工资情况,其中一级教师80人,平均工资为4.5千元,方差为0.04,高级教师20人,平均工资为6.5千元,方差为0.44,则该校所有在职教师工资的方差为　　　　　.
能力·高分练
9.(2025·吉林长春模拟)某唱歌比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到8个有效评分.8个有效评分与10个原始评分相比,一定不变的数字特征是(　　)
A.众数 B.中位数
C.平均数 D.标准差
10.(2025·湖南长沙二模)国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试.从2000年开始,每3年进行一次测试评估.在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分,赋分范围是40至100分,如图是2024年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图.根据图中数据,下面说法正确的是(　　)
A.该地学生成绩的中位数一定大于75
B.该地学生成绩的平均数一定小于65
C.该地学生成绩的极差介于40至60之间
D.该地学生成绩没有超过60分的学生所占比例为30%
11.(原创)已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均数为80,方差为20,则这9名学生成绩的中位数的最大值为　　　　　.
12.(原创)每年4月23日为“世界读书日”,某小学为鼓励学生进行课外阅读,拓宽学生眼界,对热爱课外阅读的班级进行表彰,规定从班级中随机抽取5名同学,统计他们一学年内阅读课外书籍的本数,若抽取的5名同学在一学年内阅读课外书籍的本数都不低于10,则该班级被评选为“优阅班级”.以下是4个班级抽取的5名同学的统计数据:
六(1)班:中位数为11,众数为10;
六(2)班:众数为12,极差为3;
六(3)班:平均数为12,极差为3;
六(4)班:平均数为12,方差为2.
根据以上信息,不一定被评为“优阅班级”的是　　　　　.
13.(15分)(2021·全国乙,理17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为,样本方差分别记为.
(1)求;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).
素养·提升练
14.(15分)新高考模式下,学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义.某校为了解高一年级1 800名学生物理科目的学习情况,将他们某次物理测试成绩(满分100分)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求1 800名学生中物理测试成绩在[50,60)内的频数并补全频率分布直方图;
(2)学校建议,本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目,若学校希望高一年级恰有70%的学生选择物理为高考考试科目,试求a的估计值(结果精确到0.1);
(3)已知落在[60,70)的学生成绩的平均数为,方差=4,落在[70,80)的学生成绩的平均数为,方差=6,若两组学生成绩的平均数之差不大于6,求落在[60,80)的学生成绩的方差s2的最大值.
参考答案
1.C　126,135,142,132,145的平均数为=136.故选C.
2.B　由样本共有20个数据,知0.75×20=15,故该班成绩的第75百分位数为第15个与第16个数据的平均数,故该班成绩的第75百分位数为=83.故选B.
3.D　平均数为,将这组数据排序,若x,7,9,9,则中位数为=8,所以=8,解得x=7,符合题意;
将这组数据排序,若7,x,9,9,则中位数为,所以=8,解得x=7,符合题意;
若7,9,9,x,则中位数为9,所以=9,解得x=11,符合题意.
综上所述,x的值为7或11.故选D.
4.C　根据已知条件,第一组数据的个数为7,且=t,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=6t,+(x4-t)2++(t-t)2]=],第二组数据的个数为6,且平均数=t,],
因为>0,所以故选C.
5.AC　由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度;由中位数的定义可知,中位数考查的是数据的集中趋势;由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度;由平均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势.故选AC.
6.BD　对于选项A,如1,2,2,2,2,5的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;
对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,故B正确;
对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值,所以x1,x2,…,x6的数据波动更大,故C错误;
对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.
故选BD.
7.16　数据xi(i=1,2,3,4,5)的方差s2=-5)=(20×5-5×42)=4,所以数据2xi-1(i=1,2,3,4,5)的方差为22×4=16.
8.0.76　设一级教师的平均工资和方差为,高级教师的平均工资和方差为,因为一级教师的占比ω1=,高级教师的占比ω2=,则全校教师的平均工资为=ω1+ω24.5+6.5=4.9(千元),则教师工资的方差为s2=ω1[]+ω2[]=[0.04+(4.5-4.9)2]+[0.44+(6.5-4.9)2]=0.76.
9.B　设10位评委评分按从小到大排列为x1≤x2≤x3≤x4≤…≤x8≤x9≤x10,对于A,可能存在两个一样的最低分,且仅最低分为原始评分众数,则去掉1个最低分后,其众数发生了变化,故A错误;对于B,原始评分中位数为,去掉最低分x1、最高分x10后剩余x2≤x3≤x4≤…≤x8≤x9,中位数仍为,故B正确;对于C,平均数受极端值影响较大,∴平均数可能改变,不一定相同,故C错误;对于D,原始评分标准差为s=,有效评分标准差为
s'=,两者可能不相等,故D错误.故选B.
10.C　对于选项A,分数在[40,50)的频率为0.05,分数在[50,60)的频率为0.15,分数在[70,80)的频率为0.3,分数在[80,90)的频率为10a,分数在[90,100]的频率为0.1,由题图知,0.15<10a<0.3,所以分数在[80,100]的频率为10a+0.1,且0.25<10a+0.1<0.4,0.55<10a+0.4<0.7,所以中位数在[70,80)之间,但不一定大于75,所以选项A错误;
对于选项B,由题意可知,分数在[60,70)的频率为0.4-10a,所以该地学生成绩的平均数为=45×0.05+55×0.15+65×(0.4-10a)+75×0.3+85×10a+95×0.1=68.5+200a,由题图可知a∈(0.015,0.03),所以=68.5+200a∈(71.5,74.5),所以选项B错误;
对于选项C,设学生成绩的最低分为n,最高分为m,则40≤n≤50,90≤m≤100,所以40≤m-n≤60,故学生成绩的极差介于40至60之间,所以选项C正确;
对于选项D,由选项A知,学生成绩没有超过60分的学生所占比例为20%,所以选项D错误.
故选C.
11.84　设这9名学生成绩从低到高依次为x1,x2,…,x9,即x1≤x2≤…≤x9,则这9名学生成绩的中位数为x5,设x1,x2,x3,x4的平均数为m,方差为s,x5,x6,x7,x8,x9的平均数为n,方差为t,依题意,=80,则m=,
因此20=,
当且仅当s=t=0时等号成立,即20,整理得(n-80)2≤16,解得76≤n≤84,即当x1=x2=x3=x4=m,且x5=x6=x7=x8=x9=n时,76≤n≤84,此时n,也就是x5的最大值为84,则当n=84,m==75时,9名学生成绩的中位数的最大值为84.
12.六(2)班　对于六(1)班,设这5名同学的阅读课外书籍的本数为x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照从小到大顺序),因为中位数为11,则x3=11,又众数为10,则x1=x2=10,所以该班级一定被评为“优阅班级”;对于六(2)班,举反例,如这5名同学的阅读课外书籍的本数为9,10,11,12,12,满足众数为12,极差为3,但六(2)班不能评为“优阅班级”;对于六(3)班,设这5名同学的阅读课外书籍的本数为x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照从小到大顺序),由平均数=12,极差为3,即x5-x1=3,若x1≤9,则x5-3≤9,解得x5≤12,此时<12,这与=12矛盾,故x1≥10,故六(3)班一定能评上“优阅班级”;对于六(4)班,设这5名同学的阅读课外书籍的本数为x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照从小到大顺序),设平均数=12,方差s2=2,则2=[(x1-12)2+],=10,若x1≤8,则16>10,与上式不符,不合题意,若x1=9,由=12,则x5>12,上式不成立,不合题意,所以x1≥10,故六(4)班一定能评上“优阅班级”.
13.解 (1)由题中数据可得,(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2+(10.0-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036;
[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)因为=10.3-10=0.3,
2=2=20.174,所以>2,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
14.解 (1)由频率分布直方图可得物理测试成绩在[50,60)的频率为1-10×(0.01+0.015+0.03+0.025+0.005)=0.15,频数为1 800×0.15=270,所以1 800名学生中物理测试成绩在[50,60)内的频数为270,补全频率分布直方图如图所示.
(2)易得前两段频率之和为0.25<0.3,前三段频率之和为0.4>0.3,则有a∈[60,70),满足(a-60)×0.015=0.3-0.25=0.05,所以a≈63.3.
(3)成绩在[60,70)的频数为270,xi,成绩在[70,80)的频数为540,yi,所以落在[60,80)的学生成绩的平均数为xi+yi)=
由方差公式知270,540,所以落在[60,80)的学生成绩的方差为s2=]=(yi-)2]=+270+2((xi-)++2((yi-)]=[270+540+270+540()2]=,所以s2的最大值为
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