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2026全国版高中数学突破练
突破练66　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(原创)小张需要乘坐某班次高铁去北京,已知此次高铁列车的车票还剩下二等座4张,一等座10张,商务座5张,则小张的购票方案种数为(　　)
A.19 B.20 C.40 D.200
2.用0,1,2,3,4可组成无重复数字的三位奇数的个数为(　　)
A.48 B.36 C.24 D.18
3.如图,从A→C(图中不能折返回A)不同的走法有(　　)
A.8种 B.6种 C.4种 D.2种
4.(原创)为提升学生的数学素养,某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“微积分学习指导”五门选修课程,要求每名同学每学年至多选四门,高一到高二两学年必须将五门选修课程选完,则每名同学不同的选修方式有(　　)
A.30种 B.20种
C.15种 D.10种
5.如图,要让电路从A处到B处只有一条支路接通,则不同的路径有(　　)
A.5种 B.6种 C.7种 D.9种
6.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.4个不同的小球,放入3个不同的盒中,共有81种不同的放法
B.4个不同的小球,放入3个不同的盒中,不能有空盒,共有12种不同的放法
C.6个相同的小球,放入3个不同的盒中,不能有空盒,共有10种不同的放法
D.6个相同的小球,放入3个不同的盒中,共有28种不同的放法
7.(多选)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字,可以组成(　　)
A.180个无重复数字的三位数
B.75个无重复数字且为奇数的三位数
C.30个无重复数字且能被25整除的四位数
D.480个无重复数字且比1 300大的四位数
8.某中学校园有一排长条形区域用来栽种鲜花(如图所示),该区域被分为n个部分(n∈N*且n≥3),现有三种花,分别为牡丹、茉莉、玫瑰,分别在每个区域选择一种进行种植,要求相邻区域不能用同一种花,将总的栽种方案记作an,则an=　　　　　.
9.用1,3,5组成数字可以重复的自然数,并按照从小到大的顺序排列,依次得到1,3,5,11,13,15,31,33,35,51,53,55,…,则3 135是这组数的第　　　　　项.
能力·高分练
10.九宫格火锅把火锅分为三个层次,不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度,其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同):
“中间格”火力旺盛,不宜久煮,适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物;
“十字格”火力稍弱,但火力均匀,适合煮食,长时间加热以锁住食材原香;
“四角格”属文火,火力温和,适合焖菜,让食物软糯入味.
现有6种不同食物(足够量),其中1种适合放入中间格,3种适合放入十字格,2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物,且每格只放1种,若同时可以吃到这6种食物(不考虑位置),则不同的放法种数为(　　)
A.108 B.36
C.9 D.6
11.(2025·安徽芜湖模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析,5人的名次排列可能情况种数为(　　)
A.27 B.54
C.108 D.324
[错题笔记]
12.由两个半径相等的圆柱体呈直角相交(如图1)而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”(如图2),牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为1,2,3,4,然后每个曲面染一种颜色,相邻(有公共边)的两面颜色不能相同,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法种数为(　　)
图1
图2
A.24 B.48 C.60 D.84
[错题笔记]
13.(2025·江西南昌模拟)数列{an}共有11项,a1=2 026,a11=2 030,且|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,10),则满足这种条件的不同数列的个数为　　　　　.
[错题笔记]
14.(2025·四川广安模拟)给n个自上而下相连的正方形涂黑色或白色.当n≤4时,在所有不同的涂色方案中,黑色正方形互不相连的涂色方案如图所示,由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的涂色方案共有　　　　　种(结果用数值表示).
[错题笔记]
素养·提升练
15.(多选)将图中A,B,C,D,E五块区域涂上颜色,现有4种不同的颜色可供选择,则下列说法正确的是(　　)
A.若每块区域任意涂上一种颜色,则共有45种不同涂法
B.若只用3种不同颜色,且相邻区域不同色,则共有24种不同涂法
C.若4种不同颜色全部用上,B,D同色,且相邻区域不同色,则共有48种不同涂法
D.若4种不同颜色全部用上,B,D不同色,且相邻区域不同色,则共有48种不同涂法
[错题笔记]
16.(2025·安徽合肥模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在3×3的方格表中,要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变大.若将5填在如表所示的位置上,则填写方格表的方法数为　　　.
5
[错题笔记]
参考答案
1.A　由分类加法计数原理,可得小张的购票方案种数为4+10+5=19.故选A.
2.D　用0,1,2,3,4组成无重复数字的三位奇数,个位数字有2种情况,百位数字有3种情况,十位数字有3种情况,所以三位奇数的个数为2×3×3=18种情况.故选D.
3.A　分为两类,不经过B点有2种走法,经过B点有2×3=6种走法,共有2+6=8种走法.故选A.
4.A　由题意,每门选修课程被安排到高一到高二两学年都有2种安排方法,共有25=32种安排方法,其中五门选修课程安排到同一学年的情况有2种,则每名同学不同的选修方式为32-2=30种.故选A.
5.C　由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知,不同的路径有1+2×3=7种.故选C.
6.ACD　对于A,共有34=81种不同的放法,故A正确;对于B,先确定2个小球在同一个盒子,有种排法,再进行排列,有种排法,共有=36种不同的放法,故B不正确;对于C,有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)3种分组方式,共有+1=10种不同的放法,故C正确;对于D,相当于找到方程x1+x2+x3=6的非负整数解的数目,令yi=xi+1(i=1,2,3),则问题相当于找到方程y1+y2+y3=9的正整数解的数目,相当于在9个球中间产生的8个空格插入两个隔板,故所求为=28,故D正确.故选ACD.
7.AB　对于A,无重复数字的三位数的个数为6×6×5=180,故A正确;对于B,为奇数的三位数的个位可选的数字有1,3,5,则无重复数字且为奇数的三位数的个数为3×5×5=75,故B正确;对于C,能被25整除的四位数的最后两位有25,50,则无重复数字且能被25整除的四位数的个数为4×4+5×4=36,故C错误;对于D,千位比1大的无重复数字的四位数的个数为5×6×5×4=600;千位为1且百位比3大的无重复数字的四位数的个数为1×3×5×4=60;千位为1、百位为3且十位比0大的无重复数字的四位数的个数为1×1×4×4=16;千位为1、百位为3、十位为0且个位比0大的无重复数字的四位数的个数为4.综上可得,无重复数字且比1 300大的四位数的个数为600+60+16+4=680,故D错误.故选AB.
8.3×2n-1(n≥3)　第一个区域有三种选法,之后的每个区域都有两种选法,由分步乘法计数原理得an=3×2n-1(n≥3).
9.72　当组成的数字为一位数时,有1,3,5,共3个;当组成的数字为两位数时,十位和个位都可以从1,3,5中任意选一个数字,所以两位数的个数为3×3=9;当组成的数字为三位数时,百位、十位和个位都可以从1,3,5中任意选一个数字,所以三位数的个数为3×3×3=27;当组成的数字为四位数且比3 135小时,千位是1的四位数,百位、十位和个位都有3种选择,所以个数为3×3×3=27,千位是3的四位数,百位是1,十位是1,个位有3种选择,千位是3的四位数,百位是1,十位是3,个位有2种选择,所以个数为3+2=5.因为3+9+27+27+5=71,所以3 135是这组数的第72项.
10.C　由题可知中间格只有1种放法;十字格有四个位置,3种适合放入,所以有1种放两个位置,共有3种放法;四角格有四个位置,2种适合放入,可分为1种放三个位置,另1种放一个位置,有2种放法,或每1种都放两个位置,有1种放法,故四角格共有3种放法.所以不同放法共有1×3×3=9种.故选C.
11.B　分三步完成,冠军有种可能,乙的名次有种可能,余下三人有种可能,所以5人的名次排列有=54种不同情况.故选B.
12.D　根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的,将一个牟合方盖的四个曲面编号为1,2,3,4,故可转化为有公共点的4个区域,如图所示,
1 2
3 4
1号小方格可以从4种颜色中任取一种涂色,有4种不同的涂法.①当2号、3号小方格涂不同颜色时,有3×2=6种不同的涂法,4号小方格有2种不同的涂法,故由分步乘法计数原理,可知有4×6×2=48种不同的涂法.②当2号、3号小方格涂相同颜色时,有3种不同的涂法,4号小方格也有3种不同的涂法,故由分步乘法计数原理,可知有4×3×3=36种不同的涂法.综上,由分类加法计数原理,可得共有48+36=84种不同的涂法.故选D.
13.120　∵|ak+1-ak|=1,∴ak+1-ak=1或ak+1-ak=-1.∵a11-a1=(a11-a10)+(a10-a9)+(a9-a8)+…+(a2-a1),设上式中有x个ak+1-ak=1,则有10-x个ak+1-ak=-1,∴4=x+(10-x)·(-1),解得x=7,∴这样的数列个数为=120.
14.21　由题意知黑色正方形互不相连,当n=1时,有全黑或全白2种;当n=2时,有白黑、黑白、全白3种;当n=3时,有黑白黑、白白黑、白黑白、黑白白、全白共5=2+3种;当n=4时,有白黑白黑、黑白白黑、白白白黑、黑白黑白、白白黑白、白黑白白、黑白白白、全白共8=3+5种;当n=5时,有黑白黑白黑、黑白白白黑、黑白白黑白、黑白黑白白、白黑白白黑、白黑白黑白、白白黑白黑、黑白白白白、白黑白白白、白白黑白白、白白白黑白、白白白白黑、全白共13=5+8种.故当n=6时,黑色正方形互不相邻的涂色方案共有8+13=21种结果:黑白黑白黑白、黑白黑白白黑、黑白白黑白黑、白黑白黑白黑、黑白白白白黑、黑白白白黑白、黑白白黑白白、黑白黑白白白、白黑白白白黑、白黑白白黑白、白黑白黑白白、白白黑白白黑、白白黑白黑白、白白白黑白黑、黑白白白白白、白黑白白白白、白白黑白白白、白白白黑白白、白白白白黑白、白白白白白黑、全白.
15.AB　每块区域任意涂上一种颜色,即每块区域都有4种选择,则有4×4×4×4×4=45种不同涂法,故选项A正确;若只用3种不同颜色,且相邻区域不同色,则B和D同色,A和E同色,则共有=24种不同涂法,故选项B正确;因为4种不同颜色全部用上,B,D同色,相邻区域不同色,故可以先涂B,D区域,有种涂法,因为A,C,E三块区域都与B,D相邻,故只需将余下的3种颜色在A,C,E上全排,有种涂法,则共有=24种涂法,故选项C错误;按照A,B,C的顺序涂,每块区域需要一种颜色,此时有4×3×2=24种涂法,因为B,D不同色(D只有一种颜色可选),此时A,B,C,D四块区域所用颜色各不相同,E只能与A同色,此时共有24种涂法,故选项D错误.故选AB.
16.18　由题意可得9只能排在第三行第三列,1只能排在第一行第一列,
1 a b
c 5 d
e f 9
从而得2只能排在a,c处,当c=2,e=3时,
1 a b
2 5 d
3 f 9
则a=4,且8只能排在f,d处,当f=8时,只能是b=6,d=7;
当d=8时,则有b=6,f=7或b=7,f=6,此时共3种排列法;
当c=2,e=4时,
1 a b
2 5 d
4 f 9
则a=3,且8只能排在f,d处,当f=8时,只能是b=6,d=7;当d=8时,则有b=6,f=7或b=7,f=6,此时共3种排列法;
当c=2,e=6时,
1 a b
2 5 d
6 f 9
则a=3,b=4,且8只能排在f,d处,当f=8时,只能是d=7;当d=8时,只能是f=7,此时共2种排列法;
当c=2,e=7时,
1 a b
2 5 d
7 f 9
则a=3,b=4,且8只能排在f,d处,此时只能是f=8,d=6,此时共1种排列法.
所以当c=2时,共有3+3+2+1=9种排法;同理,当a=2时,也有9种排法.
故一共有9+9=18种排法.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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