资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练68　二项式定理
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(原创)二项式(x-y)6的展开式中x4y2和x2y4的系数之和为(　　)
A.15 B.20 C.30 D.45
2.若=a0+x+x2+x3+x4+x5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.32
3.设a为非零实数,若二项式的展开式中含x3与含x6的项的系数相等,则实数a的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.(2025·陕西西安模拟)函数f(x)=x9+x8+x7+…+图象的对称中心为(　　)
A.(0,-1) B.(0,1)
C.(1,0) D.(-1,0)
5.(2025·江苏南通模拟)的展开式的各二项式系数之和等于256,则展开式中二项式系数最大的项为(　　)
A.1 120x2 B.-1 120x2
C.1 792 D.1 792x5
6.(多选)(2025·浙江宁波模拟)在二项式的展开式中,前3项的系数成等差数列,则下列结论正确的是(　　)
A.n=8
B.展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128
C.常数项为
D.展开式中系数最大的项为第3项和第4项
7.(多选)(2026·山西长治模拟)已知函数f(x)=(3x-10)10=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a10(x-2)10,则(　　)
A.a0+a1+a2+…+a10=710
B.a1+a3+a5+…+a9=
C.f(13)的个位数字是9
D.a9=-40×39
8.(2026·广东广州开学考)已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则=　　　　.
[错题笔记]
9.(2025·江西新余模拟)已知2+22+…+2n=728,则二项式的展开式中含x项的系数为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
10.(2026·山东济南模拟)(a+2x)(1+x)4的展开式中x的奇数次项的系数和为32,则a=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
[错题笔记]
11.(2025·江苏镇江期末)在的展开式中,所有的二项式系数之和为128,所有项的系数和为-1,则38n+a被13除的余数是(　　)
A.0 B.3 C.10 D.11
[错题笔记]
12.(原创)(多选)在(x-2y-z)5的展开式中,下列说法正确的是(　　)
A.所有项的系数和为-32
B.xy2z2的系数为120
C.含x3的所有项的系数和为100
D.不含字母z的所有项的系数和为1
[错题笔记]
13.(2025·湖北襄阳模拟)已知(a+b)n的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等,则=　　　　　.
[错题笔记]
14.(15分)(2026·江苏镇江模拟)已知f(x)=(x-2)n,n∈N*.
(1)当n=10时,f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,求a0,a1,a2,…,an中的最大值;
(2)若f(x)=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n,求rbr.
素养·提升练
15.(15分)我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式,例如,.请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究.
(1)计算+()2+()2,()2+()2+()2+()2,并与进行比较,你有什么发现
(2)写出(1)的一般性结论并证明.
(3)证明:(-1)k=(-1)n.
参考答案
1.C　二项式(x-y)6的展开式的通项为Tk+1=x6-k(-y)k,k=0,1,2,3,4,5,6.当k=2时,x4y2的系数为(-1)2=15;当k=4时,x2y4的系数为(-1)4=15.因此,x4y2和x2y4的系数之和为30.故选C.
2.D　由题意知=a0+x+x2+x3+x4+x5,令x=-2,得=a0+(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)4+(-2)5,化简得a0-a1+a2-a3+a4-a5=25=32.故选D.
3.C　二项式的展开式的通项为Tr+1=arx18-3r.令18-3r=3,得r=5,含x3项的系数为a5;令18-3r=6,得r=4,含x6项的系数为a4.因为含x3与含x6的项的系数相等,所以a5=a4,解得a=1.故选C.
4.D　由题意得f(x)=x9+x8+x7+…+=(x+1)9.因为y=x9为奇函数,函数图象关于原点(0,0)对称,所以f(x)=(x+1)9图象的对称中心为(-1,0).故选D.
5.A　因为2n=256,所以n=8,二项展开式的通项为Tk+1=(2x)8-k28-k(-1)k,k=0,1,2,…,8.二项式系数最大的项为T5=24(-1)4x2=1 120x2.故选A.
6.ABD　的展开式的通项为Tk+1=,前3项的系数分别为对于A,由题意可得2,即n=1+,解得n=8或n=1(舍去),所以n=8,A正确;对于B,的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为=128,B正确;对于C,的展开式的通项为Tk+1=xk-4.令k-4=0,得k=4,所以常数项为,C错误;对于D,设展开式中第r+1项的系数最大,则有解得r=2或r=3,所以展开式中系数最大的项为第3项和第4项,D正确.故选ABD.
7.BD　令x=3,得a0+a1+a2+…+a10=(3×3-10)10=1,A错误;令x=1,得a0-a1+a2-…+a10=(3×1-10)10=710,所以2(a1+a3+a5+…+a9)=1-710,即a1+a3+a5+…+a9=,B正确;由f(13)=2910=(20+9)10,展开式的通项为Mk+1=2010-k9k,k=0,1,…,10.显然个位数字由910=815决定,个位数字是1,C错误;f(x)=[3(x-2)-4]10,展开式的通项为Tr+1=[3(x-2)]10-r(-4)r=310-r(-4)r(x-2)10-r,r=0,1,…,10.当r=1时,a9=39×(-4)=-40×39,D正确.故选BD.
8　(x+1)6=[(x-1)+2]6,展开式的通项为Tk+1=(x-1)6-k2k,k=0,1,2,3,4,5,6.当6-k=0,即k=6时,a0=26=64;当6-k=4,即k=2时,a4=22=60.所以
9.-560　由题意知,+2+22+…+2n=(1+2)n=1+728=36,所以n=6,则二项式的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r=(-1)r27-rx7-2r.令7-2r=1,得r=3,则含x项的系数为(-1)3×24=-560.
10.B　(1+x)4的展开式的通项为Tr+1=xr,r=0,1,2,3,4,则(a+2x)(1+x)4的展开式中x的奇数次项的系数和为a+a+2+2+2=8a+16,故8a+16=32,解得a=2,故选B.
11.C　由所有的二项式系数之和为2n=128,得n=7.令x=1,得(1+a)7=-1,解得a=-2.38n+a=387-2=(39-1)7-2,由二项式定理可知(39-1)7=397+396(-1)+…+39(-1)6+(-1)7,展开式中前面7项都是13的倍数,最后一项为-1,由此可知387-2被13除的余数是10.故选C.
12.AB　对于A,令x=y=z=1,得展开式的所有项的系数和为-32,A正确;
对于B,xy2z2可以看成从5个相同因式(x-2y-z)的乘积中,选择1个x,2个-2y,2个-z,所以xy2z2的系数为(-2)2(-1)2=120,B正确;
对于C,含x3的项是从5个相同因式中选择3个x,剩余2个选择-2y或-z,系数和为(-2)2+(-1)2+(-2)1(-1)1]=90,C错误;
对于D,不含字母z的项即为(x-2y)5的各项,令x=y=1,即可得出(x-2y)5的展开式的各项系数和为-1,D错误.故选AB.
13.286　由题意得,所以n=3+5=8.因为,所以=286.
14.解 (1)当n=10时,f(x)=(x-2)10=(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.(2-x)10的展开式的通项为Tr+1=(-2)10-rxr,则ar=(-2)10-r,r=0,1,2,…,10.
当r为奇数时,ar<0;当r为偶数时,ar>0.
故当ar取到最大值时,r为偶数.
a0=210=1 024,a2=(-2)8=11 520,a4=(-2)6=13 440,a6=(-2)4=3 360,a8=(-2)2=180,a10=(-2)0=1,所以最大值为13 440.
(2)f(x)=(x-2)n=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n,f'(x)=n(x-2)n-1=b1+2b2(x+1)+…+nbn(x+1)n-1.
令x=0,得n(-2)n-1=b1+2b2+…+nbn,所以rbr=n(-2)n-1.
15.(1)解 ()2+()2+()2=1+4+1=6,()2+()2+()2+()2=1+9+9+1=20.
对比发现()2+()2+()2=,()2+()2+()2+()2=
(2)解 +…+,证明如下:
(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n,等式左侧展开式中xn的系数为,等式右侧展开式中xn的系数为+…++…+,左右两侧展开式中xn的系数相等,所以+…+
(3)证明 =(1-x)2n(1+x)2n,等式左侧展开式中x2n的系数为(-1)n,等式右侧展开式中x2n的系数为(-1)0+(-1)1+…+(-1)2n-1+(-1)2n=(-1)0+(-1)1+…+(-1)2n-1+(-1)2n(-1)k,
左右两侧展开式中x2n的系数相等,
所以(-1)k=(-1)n
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑