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2026全国版高中数学突破练
突破练69　随机事件与概率
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球、4个白球和若干个黑球,每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中.经过大量重复试验后,发现摸到黑球的频率稳定在0.4,则袋中约有黑球(　　)
A.6个 B.7个
C.8个 D.9个
2.王老师从甲、乙、丙三名同学中随机抽选两名进行家访.事件P表示“抽中甲、乙两名同学”,事件Q表示“抽中甲、丙两名同学”,则(　　)
A.P是必然事件 B.Q是不可能事件
C.P与Q是互斥事件 D.P与Q是对立事件
3.(一题多解)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况,分别从高三年级中的20个班一共抽取40人进行调查,其中各班人数均为50,则某个班级中某名学生被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2026·湖北武汉开学考)高三(1)班班主任从4名男同学和2名女同学中随机选出3人参加志愿服务活动,则选出的3人中至少有2名男生的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1,2,3的三个号签,乙袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签,记事件A=“从甲袋中抽取号签1”,事件B=“从乙袋中抽取号签5”,事件C=“抽取的两个号签和为4”,事件D=“抽取的两个号签编号不同”,则下列说法正确的是(　　)
A.P(A)=2P(B) B.P(C)=
C.事件C与D互斥 D.P(C∩D)=
6.(原创)(多选)柜子里有2双不同款式的鞋,从中随机取出2只,记事件A=“取出的鞋不成双”,事件B=“取出的鞋都是左脚的”,事件C=“取出的鞋都是同一只脚的”,事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚但不成双”,则下列结论成立的是(　　)
A.D A B.A=C∪D
C.B与D互斥 D.C与D对立
7.(2026·山东青岛开学考)如图为竖平面内的一些通道(图中线条均表示通道),一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落下,则落入B处的概率是　　　　　　　.
8.(2025·山东临沂三模)苏轼,字子瞻,号东坡居士,北宋文学家、书画家,与父苏洵、弟苏辙合称“三苏”.为纪念苏轼,某中学开展“苏轼文化竞赛”活动,最终有7名同学进入决赛,且进入决赛的同学都有奖,奖项设置为一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于1,获得二等奖的人数不少于2,获得三等奖的人数不少于3,则恰有2人获得二等奖的概率为　　　　　.
能力·高分练
9.(2026·山东聊城开学考)如图,E,F,G,H四个开关控制着五盏灯,其中开关E控制着1,2,3号灯,开关F控制着2,3,4号灯,开关G控制着3,4,5号灯,开关H控制着1,4,5号灯.开始时五盏灯均亮,现先后按动E,F,G,H这四个开关中两个不同的开关,则2号灯亮的概率为(　　)
A. B.
C. D.
10.有一个开盲盒游戏,共有6个外观完全相同的盲盒,每个盲盒中分别装有1个玩偶,其中A款玩偶1个、B款玩偶2个、C款玩偶3个.游戏参与者随机打开盲盒(一次只能开一个),则装有C款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为(　　)
A. B. C. D.
11.(多选)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次,分别记录每次抛掷的结果,记事件A=“正面向上的次数大于反面向上的次数”,事件Bi=“第i次抛掷的结果为正面向上”(其中i=1,2),则有(　　)
A.事件B1与事件B2不是对立事件
B.事件A与事件B1是互斥事件
C.P(A∪B1)D.P(A∩B1)=P(B1∩B2)
12.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等,其描述为:任一正整数x,如果是奇数就乘3再加1,如果是偶数就除以2,反复计算,最终都将会得到数字1.例如,给出正整数5,进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1,即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6,7,8,9,10中任取2个数按照上述运算规律进行运算,则运算次数均为偶数的概率为　　　　　.
素养·提升练
13.(2026·四川南充开学考)将连续正整数1,2,3,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n,F(n)为这个数的位数,例如,当n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,则F(12)=15.现从这个数中随机取一个数字,P(n)为恰好取到0的概率,则P(101)为(　　)
A. B. C. D.
14.(15分)(原创)某中学开展爱国主义教育活动.活动结束后,学校通过问卷调查收集学生对教育活动的满意度,将结果量化为取值于[40,100]的分数(满分100,最低分40分),并进一步划分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六个子区间.采用简单随机抽样方法,从所有回收问卷中抽取100份有效问卷构建样本,样本分数的频数分布如下表所示.
分数区间 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
样本频数/份 5 10 20 30 25 10
假设样本具有充分代表性,依据“频率估计概率”的统计思想,解答以下问题.
(1)依据分数对满意度进行三级分类:定义分数区间[40,60)对应“不满意”(记为类别A),[60,80)对应“基本满意”(记为类别B),[80,100]对应“非常满意”(记为类别C).从该校全体学生中随机抽取1名,求该学生对教育活动的满意度属于“类别B”或“类别C”的概率估计值.
(2)依据上述样本数据,结合统计学相关知识,设定某一“满意分数段”(需从[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]及相邻区间的并集中选取),设校内任意1名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率为P.若从该校全体学生中随机抽取2名时,恰有1名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率不低于0.48,
①求P的取值范围;
②设定符合条件的“满意分数段”对应的分数区间.
参考答案
1.C　设袋中约有黑球x个,利用频率估计概率,可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4,由题意可得=0.4,解得x=8,所以袋中约有黑球8个.故选C.
2.C　从甲、乙、丙三名同学中随机抽选两名,所有等可能的基本事件有{(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)}.对于A,P不一定发生,故不是必然事件;对于B,Q可能发生,故不是不可能事件;对于C,P与Q不能同时发生,故P与Q是互斥事件;对于D,P与Q不能同时发生,但P∪Q未包含全部基本事件,故不是对立事件.故选C.
3.B　(方法1)高三年级总人数为20×50=1 000,共抽取40人,则某名学生被抽到的概率为
(方法2)平均每个班抽取的人数为40÷20=2,单个班级有50人,则单名学生被抽到的概率为故选B.
4.C　从6名学生中任选3人,共有=20种方法,其中最多有1名男生的情况有=4种,故所求概率为1-故选C.
5.ABD　根据题意,样本空间共有=18个样本点,列举如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6).则P(A)=,P(B)=,所以P(A)=2P(B),A正确;事件C包含的样本点有(1,3),(3,1),(2,2),共3个,则P(C)=,B正确;事件D包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),共15个,显然事件C与D不互斥,C错误;C∩D={(1,3),(3,1)},P(C∩D)=,D正确.故选ABD.
6.ABC　选项A,事件A=“取出的鞋不成双”,事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚但不成双”,D发生时A一定发生,所以D A,A正确;
选项B,事件C=“取出的鞋都是同一只脚的”,包含“都是左脚”和“都是右脚”两种情况,事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚但不成双”,二者无重叠且共同构成事件A(取出的鞋不成双),故A=C∪D,B正确;
选项C,事件B(都是左脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)不可能同时发生,所以B与D互斥,C正确;
选项D,事件C(都是同一只脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)的并集为A(不成双),不包含“取出的鞋是一双”的情况,所以C与D不对立,D错误.
故选ABC.
7　钢珠每次从竖直通道出来都有向左或向右2种等可能选择,当钢珠从入口进入第4层竖直通道时,共有3次选择机会,23=8种等可能的路径,其中落入B处的路径有3种(左左右、左右左、右左左),所以落入B处的概率为
8　设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为a,b,c(a,b,c∈N*),则a+b+c=7,且所有符合条件的人数分配组合为(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3).先选一等奖,再选二等奖,剩余为三等奖,则组合(1,2,4)中有=7×15=105种分配方案;组合(1,3,3)中有=7×20=140种分配方案;组合(2,2,3)中有=21×10=210种分配方案.所以恰有2人获得二等奖的概率为P=
9.B　先后按动E,F,G,H这四个开关中两个不同的开关,有=12种方法.2号灯亮有两类情形:第一类,按第一个开关后2号灯灭,按第二个开关后2号灯亮,此时对应的方法有=2种(E,F两个开关进行全排列);第二类,按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关,此时对应的方法有=2种(G,H两个开关进行全排列).故所求事件的概率为故选B.
10.B　记事件A=“前3次打开盲盒,取到的全是C款玩偶”,记事件B=“前3次打开盲盒,有2次取到C款玩偶,1次取到B款玩偶,且第4次取到C款玩偶”,记事件E=“装有C款玩偶的盲盒最先被全部打开”,易知P(A)=,P(B)=,则P(E)=P(A+B)=P(A)+P(B)=故选B.
11.ACD　根据题意,所有等可能的基本事件为{(正,正),(正,反),(反,反),(反,正)},A={(正,正)},B1={(正,正),(正,反)},B2={(正,正),(反,正)}.对于A,B1∩B2={(正,正)},所以事件B1与事件B2不是对立事件,A正确;对于B,A∩B1={(正,正)},二者有可能同时发生,所以事件A与事件B1不是互斥事件,B错误;对于C,P(A∪B1)=P(A)+P(B1)-P(A∩B1)=,P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1∩B2)=,所以P(A∪B1)12　按照题中运算规律,正整数6的运算过程为6→3→10→5→16→8→4→2→1,运算次数为8(偶数).正整数7的运算过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10(10次运算),后续沿10的路径(6次运算)到1,总的运算次数为10+6=16(偶数).正整数8的运算过程为8→4→2→1,运算次数为3(奇数).正整数9的运算过程为9→28→14→7,后续沿7的路径(16次运算)到1,总的运算次数为3+16=19(奇数).正整数10的运算次数为6(偶数).故正整数6,7,8,9,10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数,从正整数6,7,8,9,10中任取2个数的方法有(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共10种,其中运算次数均为偶数的方法有(6,7),(6,10),(7,10),共3种,故运算次数均为偶数的概率为
13.C　从1到9有9个数,共9位;从10到99有90个两位数,共90×2=180位;
从100到101有2个三位数,共2×3=6位.
故F(101)=9+180+6=195.其中含有0的数有10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,101,这些数中共有12个0,
则P(101)=
故选C.
14.解 (1)根据题意,“基本满意”的样本频数为20+30=50,概率估计值为P(B)==0.5;“非常满意”的样本频数为25+10=35,概率估计值为P(C)==0.35.因为“基本满意”与“非常满意”为互斥事件,所以由互斥事件概率加法公式得P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.5+0.35=0.85.
(2)①由题意知,校内任意1名学生的得分落在“满意度分数段”内的概率为P,则从该校全体学生中随机抽取2名时,恰有1名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率为2P(1-P),由题意得2P(1-P)≥0.48,解得0.4≤P≤0.6,所以P的取值范围为[0.4,0.6].
②通过已知数据列表,发现单个子区间的概率不满足①的概率要求;计算两个连续区间的概率,发现区间[60,80)和[70,90)满足题意;计算连续三个区间的概率,发现区间[50,80)满足题意;连续四个或更多区间的概率均大于0.6,不满足题意.因此可以设定符合条件的“满意分数段”对应的分数区间为[50,80),[60,80)和[70,90).
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