资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练70　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.若P(A)=P()=,P(AB)=,则关于事件A与B的关系正确的是(　　)
A.事件A与B相互独立但不互斥
B.事件A与B互斥但不相互独立
C.事件A与B相互独立且互斥
D.事件A与B既不相互独立也不互斥
2.(2025·湖南长沙模拟)已知事件A,B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则P()=(　　)
A. B. C. D.
3.(2026·山东青岛开学考)盒中装有3个红球和1个蓝球,小球除颜色外均相同.甲、乙两人先后从盒中随机取出1个球,记录颜色后放回.已知两人取出的球颜色相同,则两人取出的球同为蓝色的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(2026·湖北荆州模拟)设每次试验成功的概率为p,现进行3次独立重复试验,若在至少成功1次的条件下,3次试验全部成功的概率为,则p的值为(　　)
A. B. C. D.
5.(2026·陕西西安开学考)小张一家打算去甲市或乙市旅游,去甲市与乙市的概率分别为0.7,0.3,在甲市去游乐园的概率为0.6,在乙市去游乐园的概率为0.4,则小张一家去游乐园的概率为(　　)
A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.54
6.(多选)(2025·江苏泰州模拟)一个袋子里装有3个红球、7个黄球,每次随机摸出一个球,摸出的球不再放回,则下列说法正确的是(　　)
A.第二次摸出红球的概率为
B.在第一次摸出黄球的条件下,第二次摸出红球的概率为
C.第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为
D.第三次摸出黄球的概率为
7.(多选)(2025·陕西咸阳模拟)某商场开展促销抽奖活动,用编号分别为1,2,3的三个箱子装了一定数量的红球和白球,总数之比为5∶6∶9,三个箱子中白球所占的比例分别为90%,95%,96%.顾客从这三个箱子中任意摸取1球,取到红球获奖.记事件Ai=“此球来自编号为i的箱子”(i=1,2,3),事件B=“顾客获奖”,则(　　)
A.P(B|A2)= B.P(B)=0.058
C.P(A1)=0.25 D.P(A1|B)=
8.(2025·福建福州模拟)现有两个罐子,1号罐中装有3个红球、2个黑球,2号罐中装有2个红球、3个黑球.现先从1号罐中随机取出一个球放入2号罐,再从2号罐中取一个球,则从2号罐中取出的球是红球的概率为　　　　　.
9.(2026·湖南名校联考)抛掷一枚质地不均匀的骰子,得到点数为1,2,3,4,5,6的概率依次成等差数列.若将该骰子抛掷一次,则所得点数为1或6的概率为　　　　　;若将该骰子独立抛掷两次,记所得的点数分别为a,b,已知事件“a+b=7”发生的概率为,则事件“a=b”发生的概率为　　　　　.
能力·高分练
10.(原创)甲、乙、丙三人各自计划去某市旅游,他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达,三人的到达日期相互独立,且他们各自在5月13日到5月15日到达的概率如下表所示.
到达日期 5月13日 5月14日 5月15日
P甲 0.4 0.4 0.2
P乙 0.3 0.2 0.5
P丙 p 0.7 q
其中p>0,q>0,p+q=0.3,若甲、乙两人同一天到达的概率为p1,乙、丙两人同一天到达的概率为p2,甲、丙两人同一天到达的概率为p3,则(　　)
A.p1>p2>p3 B.p2>p1>p3
C.p3>p1>p2 D.p3>p2>p1
11.(2025·河北保定二模)已知甲箱中有2个红球、3个黑球,乙箱中有n个红球、3个黑球,所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出1个球.记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Ai(i=0,1,2),“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B,则P(A2|B)是(　　)
A.与n有关的常量
B.与n有关的变量
C.与n无关的定值,且为
D.与n无关的定值,且为
12.(2025·广东广州三模)一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8,将其随机抛掷两次,记与地面接触面上的数字依次为x1,x2,事件A表示“x1=3”,事件B表示“x2=6”,事件C表示“x1+x2=9”,则(　　)
A.A,B互斥
B.A∪B=C
C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
D.A,B,C两两独立
13.(2026·安徽蚌埠开学考)现有n(n>2,n∈N*)个箱子,每个箱子中均有(n+30)个小球,第k(k=1,2,3,…,n)个箱子中有(k+10)个白球,其余为黑球.在这n个箱子中任取一个箱子,再从该箱子中依次随机不放回地摸出3个小球,若第3次摸出黑球的概率是,则n=　　　　　.
素养·提升练
14.(多选)(2025·河北秦皇岛三模)已知一批乒乓球出厂的次品率为α(0<α<1),乒乓球出厂时,要求检验员不放回地抽取两次,每次抽取一个,贴上验收标签.记“第一次抽到的乒乓球检测为次品”为事件A,“第二次抽到的乒乓球检测为次品”为事件B,则下列说法正确的有(　　)
A.P(A)=α B.P(B)<α
C.P(B|A)<α D.P(AB)<α2
15.(15分)(2025·四川绵阳模拟)甲、乙两人参加单位组织的知识答题活动,每轮活动由甲、乙各答一个题,已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第k(k∈N*)轮答对,则他第k+1轮也答对的概率为,如果第k轮答错,则他第k+1轮也答错的概率为;乙如果第k轮答对,则他第k+1轮也答对的概率为,如果第k轮答错,则他第k+1轮也答错的概率为.在每轮活动中,甲、乙答对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲、乙都答对,求两人第一轮也都答对的概率;
(2)求证: k∈N*,甲在第k轮答对的概率为定值.
参考答案
1.A　由P(A)=P()=得P(B)=,所以P(A)P(B)=,又因为P(AB)=,所以P(A)P(B)=P(AB),则事件A与B相互独立,由于P(AB)=0,则事件A与B可以同时发生,即它们不是互斥事件,故A正确.故选A.
2.A　因为事件A,B相互独立,所以事件也相互独立,
又P(A)=,P(B)=,
所以P()=1-P(A)=,P()=1-P(B)=,
所以P()=P()P()=
故选A.
3.C　记事件A=“两人取出的球颜色相同”,事件B=“两人取出的球同为蓝色”,显然B A,则n(A)=3×3+1×1=10,n(AB)=n(B)=1×1=1,由条件概率公式得P(B|A)=故选C.
4.D　因为每次试验成功的概率为p,所以3次试验全部成功的概率为p3,至少成功1次的概率为1-(1-p)3.由条件概率公式得,整理得2p3+p2-p=0,解得p=0(舍去)或p=-1(舍去)或p=故选D.
5.D　设去甲市与乙市旅游分别为事件A1,A2,则P(A1)=0.7,P(A2)=0.3.设事件B为去游乐园,则P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.4.所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54.故选D.
6.ABD　袋子里共有3+7=10个球,其中有3个红球、7个黄球,在不放回随机抽样中,每次摸出红球的概率都是,摸出黄球的概率都是,所以A,D正确.设“第一次摸出黄球”为事件A,“第二次摸出红球”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,根据条件概率公式,P(B|A)=,B正确.第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为,C错误.故选ABD.
7.BCD　对于A,由题意可知P(B|A2)=1-95%=5%=,故A错误;对于B,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=10%+5%+4%=0.025+0.015+0.018=0.058,故B正确;对于C,P(A1)==0.25,故C正确;对于D,P(A1|B)=,故D正确.故选BCD.
8　设事件A=“从2号罐中取出的球是红球”,事件B1=“从1号罐中取出的球是红球”,事件B2=“从1号罐中取出的球是黑球”,则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,根据全概率公式,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=
9　设抛掷一次骰子得到点数为i的概率为ai,其中i=1,2,3,4,5,6,则a1+a2+a3+a4+a5+a6=1.因为a1,a2,a3,a4,a5,a6成等差数列,所以a1+a6=a2+a5=a3+a4=,因此点数为1或6的概率为由P(a+b=7)=,得a1a6+a2a5+a3a4+a4a3+a5a2+a6a1=,即2(a1a6+a2a5+a3a4)=,所以P(a=b)=-2(a1a6+a2a5+a3a4)=()2+()2+()2-
10.C　由题意知p>0,q>0,p+q=0.3,可得q=0.3-p,则p1=0.4×0.3+0.4×0.2+0.2×0.5=0.3,p2=0.3p+0.2×0.7+0.5(0.3-p)=0.29-0.2p,p3=0.4p+0.4×0.7+0.2(0.3-p)=0.34+0.2p,因为0p1>p2.故选C.
11.C　依题意可得P(A0)=,P(A1)=,P(A2)=若事件A0发生,则乙箱中有n个红球、5个黑球,此时P(B|A0)=;若事件A1发生,则乙箱中有n+1个红球、4个黑球,此时P(B|A1)=;若事件A2发生,则乙箱中有n+2个红球、3个黑球,此时P(B|A2)=所以P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=,所以P(A2|B)=,即P(A2|B)是与n无关的定值.故选C.
12.D　对于A,当x1=3,x2=6时,事件A,B同时发生,即A∩B≠ ,所以A,B不互斥,故A错误;对于B,当x1=2,x2=7时,x1+x2=9,即事件C发生,此时事件A,B均不发生,所以A∪B≠C,故B错误;对于C,由题意可知P(A)=P(B)=,P(C)=,P(ABC)=,则P(A)P(B)P(C)=P(ABC),故C错误;对于D,因为P(AB)==P(A)P(B),P(AC)==P(A)P(C),P(BC)==P(B)P(C),所以A,B,C两两独立,故D正确.故选D.
13.9　记“选到第k个箱子”为事件Ak(k=1,2,3,…,n),“从箱子中依次摸出3个小球且第3次摸出黑球”为事件B,则P(Ak)=每个箱子中均有(n+30)个小球,第k个箱子中有(k+10)个白球和(n-k+20)个黑球,从箱子中依次随机不放回地摸出3个小球,每次摸出黑球的概率相等,P(B|Ak)=,根据全概率公式,P(B)=P(Ak)P(B|Ak)=)=,解得n=9.
14.ACD　因为第一次抽样时,单个乒乓球为次品的概率等于这批乒乓球的次品率α,所以P(A)=α,故A正确;设出厂时的乒乓球总数为N(N>1),根据全概率公式,P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=α+(1-α)=α,故B错误;P(B|A)==α+,由0<α<1,得-1<α-1<0,则<0,因此P(B|A)<α,故C正确;P(AB)=P(A)P(B|A)=α=α2+,由0<α<1,得0<α2<α<1,所以α2-α<0,则<0,因此P(AB)<α2,故D正确.故选ACD.
15.(1)解 记事件Ak(k∈N*)表示“甲第k轮答对”,事件Bk(k∈N*)表示“乙第k轮答对”,则P(A1)=P(B1)=,P(Ak+1|Ak)=,P(Bk+1|Bk)=
因为A2=A1A2+A2,所以P(A2)=P(A1A2)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=,
同理,P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P()·P(B2|)=
因为甲、乙答对与否互不影响,
所以P(A2B2)=P(A2)P(B2)=,
则P(A1B1|A2B2)=,即若前两轮活动中第二轮甲、乙都答对,则两人第一轮也都答对的概率为
(2)证明 由题意可知P(Ak+1)=P(Ak)+(1-P(Ak)),即P(Ak+1)=P(Ak)+,所以P(Ak+1)-(P(Ak)-).因为P(A1)=,所以P(A1)-=0,所以数列为常数列,所以P(Ak)=恒成立,即 k∈N*,甲在第k轮答对的概率为定值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑