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2026全国版高中数学突破练
突破练71　离散型随机变量及其分布列、数字特征
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.设离散型随机变量X的分布列如下表所示,若随机变量Y=|X-1|,则P(Y=1)=(　　)
X 0 1 2 3
P a+0.1 0.1 a 0.6
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
2.已知随机变量X服从0—1分布,且P(X=1)=2P(X=0)-1,则P(X=0)=(　　)
A. B.
C. D.
3.(原创)已知随机变量X的分布列如下表所示,则“E(X)=”的(　　)
X 0 1
P a b
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(原创)若随机变量ξ服从两点分布,则的最大值为(　　)
A.2
B.2-
C.2+
D.2-2
5.(2026·河南郑州模拟)不透明袋子里装有大小、质地完全相同的3个白球、8个黑球,现从中每次随机不放回地抽取1个小球,直到抽中第1个黑球为止,则抽取次数X的数学期望E(X)为(　　)
A. B.
C. D.
6.(多选)(2026·山东青岛模拟改编)某商场推出A,B两种抽奖活动,顾客可以通过参与活动获得积分,从而换取商品.活动A和活动B的抽奖收益X,Y(单位:分)及其概率分布如下表所示,则下列选项正确的是(　　)
活动A的收益分布:
X 3 7 11
P 0.4 m 0.3
活动B的收益分布:
X 0 8 18
P n 0.6 0.1
A.m+n=0.6
B.E(5Y-3)=18
C.两个活动的收益期望一样多
D.活动B的收益波动低于活动A
7.(多选)某地质考察队在一片区域内发现了五处具有研究价值的地质构造点,依照初步判断的研究价值高低,分别标记为1,2,3,4,5号点位,每次考察时,随机选择一处地质构造点进行深入研究,选择各点位的概率与该点标记的序号成正比,比例系数为k,设随机变量G表示选择的地质构造点编号,则(　　)
A.k=
B.P(G=5)=0.3
C.E(G)=
D.P(G≤3)8.离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,若P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b,E(X)=1,则D(2X-1)=　　　　　.
9.(2025·河南南阳一模)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p(0能力·高分练
10.某实验测试的规则如下:每位学生最多可做3次实验,一旦实验成功,则停止实验,否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p(01.39,则p的取值范围是(　　)
A.(0,0.6) B.(0,0.7)
C.(0.6,1) D.(0.7,1)
11.已知随机变量X有三个不同的取值,分别是0,1,x,其中x∈(0,1),且P(X=0)=,P(X=1)=,则随机变量X的方差的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
12.某次乒乓球比赛采用五局三胜制,当甲、乙两位参赛选手中有一位赢得三局比赛时,该选手晋级,比赛结束.每局比赛皆分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局赢球的概率均为p(0≤p≤1),实际比赛局数的期望值记为f(p),下列说法不正确的是(　　)
A.三局就结束比赛的概率为p3+(1-p)3
B.f(p)的常数项为3
C.函数f(p)在区间(0,)上单调递减
D.f()=
13.(多选)(2025·湖北黄冈三模)在某场考试中,多选题的4个选项中可能有2个或3个正确的选项.全部选对得6分,若有3个正确的选项则每选对一个得2分;若有2个正确的选项则每选对一个得3分;有选错或未选的得0分.若因完全不会做某道题目而必须随机选择1—3个选项.设该题恰有3个正确选项的概率为p0,得分设为随机变量X,则下列说法正确的是(　　)
A.若随机选择一项,则E(X)为定值
B.若p0>,则随机选择两项比选择一项更优
C.存在p0使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望
D.存在p0使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望
素养·提升练
14.(15分)(2026·江苏南通开学考)某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动,分别由李老师和王老师负责通知,已知该班共60名学生,每次活动需40人参加,假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人,且保证所发通知都能收到.
(1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率;
(2)设该班乙同学家长收到通知的次数为X,求X的分布列及数学期望;
(3)设两次都收到通知的人数为变量Y,则Y的可能取值有哪些 求出Y取到其中哪一个值的可能性最大,并说明理由.
参考答案
1.A　由分布列的性质知(a+0.1)+0.1+a+0.6=1,解得a=0.1.因为Y=|X-1|,所以P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3.故选A.
2.D　P(X=1)=2P(X=0)-1,且P(X=1)+P(X=0)=1,解得P(X=0)=故选D.
3.A　由分布列可得E(X)=0×a+1×b=b,D(X)=a(0-b)2+b(1-b)2=b(1-b).
若E(X)=,则b=,此时D(X)=b(1-b)=,故充分性成立;若D(X)=,则b(1-b)=,解得b=或b=,故必要性不成立.因此“E(X)=是“D(X)=的充分不必要条件.故选A.
4.D　ξ服从两点分布,设成功概率为p(0=2-(2p+)≤2-2=2-2,当且仅当2p=,即p=时等号成立,所以的最大值为2-2故选D.
5.B　抽取次数X的所有可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=1=,故E(X)=1+2+3+4故选B.
6.AC　依题意可得解得则m+n=0.6,故A正确;E(X)=3×0.4+7×0.3+11×0.3=6.6,E(Y)=0×0.3+8×0.6+18×0.1=6.6,则E(X)=E(Y),故C正确;E(5Y-3)=5E(Y)-3=5×6.6-3=30≠18,故B错误;因为D(X)=(3-6.6)2×0.4+(7-6.6)2×0.3+(11-6.6)2×0.3=11.04,D(Y)=(0-6.6)2×0.3+(8-6.6)2×0.6+(18-6.6)2×0.1=27.24,即D(X)7.ACD　选择各点位的概率与该点标记的序号成正比,故P(G=i)=ik(i=1,…,5),由P(G=i)=15k=1,得k=,故A正确;P(G=5)=5k=0.3,故B错误;E(G)=i×P(G=i)=1×k+2×2k+…+5×5k=55k=,故C正确;P(G≤3)=P(G=1)+P(G=2)+P(G=3)=6k,P(G≥4)=9k>6k,故D正确.故选ACD.
8.1.6　由题意知解得则D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4,所以D(2X-1)=4D(X)=1.6.
9.(p+0.1)a　设保险公司要求顾客交x元保险金,若用随机变量ξ表示公司的收益额,则ξ的所有可能取值为x-a,x,且P(ξ=x-a)=p,P(ξ=x)=1-p,则ξ的分布列为
ξ x-a x
P p 1-p
因此,公司收益的期望值E(ξ)=(x-a)p+x(1-p)=x-ap,由公司收益的期望值等于a的百分之十,得x-ap=0.1a,解得x=ap+0.1a=(p+0.1)a.
10.B　由题意得,X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,所以E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3.令E(X)=p2-3p+3>1.39,解得p<0.7或p>2.3.又011.A　由P(X=0)=,P(X=1)=,得P(X=x)=,则X的期望为E(X)=0+1+x,方差为D(X)=,当x=时,方差取得最小值,最小值为故选A.
12.C　设实际比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,P(X=3)=p3+(1-p)3,P(X=4)=p3(1-p)+p(1-p)3,P(X=5)=p2(1-p)2.三局就结束比赛的概率为p3+(1-p)3,故A正确;f(p)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)=6p4-12p3+3p2+3p+3,由f(0)=3知常数项为3,故B正确;f()=6-12+3+3+3=,故D正确;f'(p)=24p3-36p2+6p+3=3(2p-1)(4p2-4p-1),因为0≤p≤1,所以4p2-4p-1=4p(p-1)-1<0,令f'(p)>0,则0≤p<;令f'(p)<0,则13.AB　该题恰有3个正确选项的概率为p0,则该题恰有2个正确选项的概率为1-p0.若随机选一项,则P(X=2)=p0p0,P(X=3)=(1-p0)(1-p0),P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=3)=1-p0-(1-p0)=,
随机选一项得分的分布列为
X1 0 2 3
P
E(X1)=0+2+3,故A正确;
若随机选两项,则P(X=4)=p0,P(X=6)=(1-p0),P(X=0)=1-P(X=4)-P(X=6)=1-,
随机选两项得分的分布列为
X2 0 4 6
P
所以E(X2)=0+4+6=1+p0,当p0>时,E(X2)-E(X1)=p0->0,所以E(X2)>E(X1),故B正确;
若随机选三项,则P(X=6)=p0,P(X=0)=1-P(X=6)=1-,随机选三项得分的分布列为
X3 0 6
P 1-
E(X3)=0×(1-)+6
由E(X3)>E(X1)得>0,解得p0>1,所以不存在p0使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望,故C错误;由E(X3)>E(X2)得-1>0,解得p0>2,所以不存在p0使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望,故D错误.故选AB.
14.解 (1)李老师通知40人,甲同学家长未收到李老师通知的概率为;王老师通知40人,甲同学家长未收到王老师通知的概率也为因为李老师和王老师发通知是独立事件,所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为,所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为1-
(2)X表示乙同学家长收到通知的次数,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=2,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0+1+2
(3)Y表示两次都收到通知的人数,Y的可能取值为20,21,22,…,40.
由题意得P(Y=k)=,k=20,21,22,…,40.
则,
令>1,解得k<26.11,所以当k≤26时,P(Y=k)=单调递增;
当k≥27时,P(Y=k)=单调递减.又>1,则P(Y=27)>P(Y=26),所以当k=27时概率最大,即Y取到27的可能性最大.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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