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2026全国版高中数学突破练
突破练72　二项分布、超几何分布与正态分布
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·山东青岛三模)若随机变量X~B(4,p),D(X)=1,则P(X=3)=(　　)
A. B. C. D.
2.已知6名同学中有a名男生,若从这6名同学中随机抽取2名作为学生代表,恰好抽到1名男生的概率是,则a=(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2025·河南许昌三模)已知随机变量X服从正态分布N(2.3,σ2),且P(2.30.3)=m,则(　　)
A.m=0.73 B.m=0.77
C.0.50.73
4.(原创)数学课堂上,老师向学生们介绍了高尔顿钉板,放学后,爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”,如图所示,它使小球从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时,向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时,最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下,则经过5层钉板最终落到4号位置的概率是(　　)
A. B. C. D.
5.(多选)(2026·河南安阳模拟)在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血压,治疗后患者血压降低值X(单位:mmHg)服从正态分布N(20,52),则(　　)
A.P(X<15)>P(X>25)
B.10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5
C.2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为
D.3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为
6.(多选)(2025·四川绵阳模拟)某学校有甲、乙、丙三个社团,人数分别为14,21,14,现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行某项兴趣调查.已知抽出的7人中有5人对此感兴趣,有2人不感兴趣,现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈,用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数,则(　　)
A.从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2,3,2
B.随机变量X~B(7,)
C.随机变量X的数学期望为
D.若事件A=“抽取的3人都感兴趣”,则P(A)=
7.(2025·湖南长沙模拟)某水泥厂流水线上生产的一批袋装水泥,其质量指标X(单位:kg)可以看作一个随机变量,且X~N(50,σ2),对于X≥51或X≤49的产品即为不合格,且P(X≥51)=0.05,现从这批袋装水泥中随机抽取500袋,用Y表示这500袋水泥的质量指标X位于区间(49,51)的袋数,则随机变量Y的方差是　　　　　.
8.(原创)如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至多有1个阴数的概率为　　　　　.
能力·高分练
9.(2025·天津,5)已知r为样本相关系数,则下列说法错误的是(　　)
A.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若随机变量X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X≤1)C.若|r|越趋近于1,则线性相关程度越强
D.若|r|越趋近于0,则线性相关程度越弱
10.随机变量X~B(3,p),Y~N(3,σ2),若P(X≥1)=0.488,P(1≤Y<3)=p,则P(Y>5)=(　　)
A.0.4 B.0.3
C.0.2 D.0.1
11.(多选)(2025·山西忻州模拟)小明参加某次测试,已知试题分单选题和多选题两类.每道单选题选对得8分,选错得0分;每道多选题全部选对得12分,部分选对的或有选错的得0分.电脑题库中每一组题都有12道,其中单选题有7道,多选题有5道.小明抽中一组题后,电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答.已知小明每道单选题选对的概率均为,每道多选题全部选对的概率均为,且每道试题回答是否正确互不影响,则下列说法正确的是(　　)
A.小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为
B.在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下,试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为
C.当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时,其多选题总得分的期望为18
D.当小明作答的试题中有且仅有n(3≤n≤5,n∈N*)道多选题时,其单选题总得分的期望为60-6n
12.(2025·陕西西安二模)排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为　　　　　.
13.(15分)(2025·辽宁锦州二模)甲、乙两人对比进行射击训练,共进行100个回合.每个回合甲、乙各射击一次,甲、乙每次至少都击中8环,统计资料显示甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6,0.2,0.2,且甲、乙两人射击相互独立.记第i个回合甲、乙击中的环数分别为xi,yi,i=1,2,…,100.
(1)在某一个回合训练中,已知乙击中的环数少于甲击中的环数,求甲击中10环的概率;
(2)中心极限定理是概率论中的一个重要结论:若随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)>5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.根据该定理,设满足yi附:若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.997 3.
素养·提升练
14.(2025·江西南昌模拟)为了保持某自然生态保护区的生态平衡,现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量N(单位:只),随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记,一段时间后再随机捕捉100只,用X表示第二次捕捉的100只中有标记的数量.若以使得X=12的概率最大时N的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值,则N的估计值是　　　　　.
参考答案
1.B　由D(X)=4p(1-p)=1,可得p=,所以P(X=3)=)1=故选B.
2.C　设抽到的男生数为X,则X服从超几何分布,P(X=1)=,解得a=3.故选C.
3.D　易得=2.3,由正态分布的对称性,可得P(0.40.4)=P(0.40.3)>P(X>0.4)=0.73.故选D.
4.A　向左下落的概率为向右下落的概率的2倍,所以向左下落的概率为,向右下落的概率为,又下落过程中向左一次,向右三次才能最终落到4号位置,故此时概率为故选A.
5.CD　对于A,P(X<15)=P(X>25),A错误;对于B,根据正态分布可知一个人血压降低值大于20的概率为,但不能得到10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5,故B错误;对于C,根据正态分布可知一个人血压降低值大于20的概率为,则2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为,故C正确;对于D,3位患者治疗后血压降低值都不大于20的概率为,则3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为1-,故D正确.故选CD.
6.ACD　设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x,y,z人,则,所以x=2,y=3,z=2,所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2,3,2,所以A正确;随机变量X的取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
所以B错误;由期望公式可得随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3,所以C正确;因为P(A)=P(X=3)=,所以D正确.故选ACD.
7.45　由正态分布的性质得,质量指标在区间(49,51)的概率为1-2×0.05=0.9,即1件产品的质量指标位于区间(49,51)的概率为0.9,则Y~B(500,0.9),所以随机变量Y的方差D(Y)=500×0.9×0.1=45.
8　由题意知,10个数中,1,3,5,7,9为阳数,2,4,6,8,10为阴数,若任取的3个数中有0个阴数,则概率为;若任取的3个数中有1个阴数,则概率为故这3个数中至多有1个阴数的概率为P=
9.B　∵P(X≤1)=P(Y≤2)=,∴B错误.其他选项均正确.故选B.
10.B　已知随机变量X~B(3,p),根据二项分布的概率公式可得P(X=0)=p0(1-p)3=(1-p)3,则P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.488,解得1-p=0.8,p=0.2.已知Y~N(3,σ2),因为P(1≤Y<3)=p=0.2,且P(Y<3)=0.5,所以P(Y<1)=P(Y<3)-P(1≤Y<3)=0.5-0.2=0.3.又因为P(Y<1)=P(Y>5),所以P(Y>5)=0.3.故选B.
11.ABD　对于选项A,可知从7道单选题、5道多选题中随机抽取出6道单选题、4道多选题,其概率为,故A正确;对于选项B,所求概率为,故B正确;对于选项C,设多选题全部选对的题数为ξ,则ξ~B(5,(,所以E(ξ)=5,故多选题总得分的期望为12=20,故C错误;对于选项D,设单选题选对的题数为X,因为单选题的题数为10-n,所以X~B(10-n,),所以E(X)=,故单选题总得分的期望为8=60-6n,故D正确.故选ABD.
12　甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于3的概率,即
13.解 (1)设在一个回合训练中,乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A,甲击中10环为事件B,则P(A)=0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2=0.2,P(AB)=(0.6+0.2)×0.1=0.08,则所求概率为P(B|A)==0.4.
(2)由题意,100个回合中,满足xi>yi的i值有k个,由(1)知k~B(100,0.2),所以E(k)=np=100×0.2=20>5,n(1-p)=100×0.8=80>5,又D(k)=100×0.2×0.8=16,所以μ=20,σ==4,故η~N(20,42),μ+σ=20+4=24,由正态分布的对称性可知,估计k≤24的概率为P(k≤24)=P(η≤μ+σ)≈1-0.84.
14.833　由题意得,随机变量X服从超几何分布,即P(X=12)=,记a(N)=,则a(N+1)=,所以,
当>1时,N2-198N+9 801>N2-186N-187,解得188≤N<832.33,
当N≥833时,a(N)>a(N+1),故当N=833时,a(N)最大,N的估计值为833.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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