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2026全国版高中数学突破练
突破练73　概率与统计中的综合问题
1.(15分)(原创)某工厂的某生产车间2021年至2025年生产的年利润y(单位:百万元)统计数据如表所示:
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代号x 1 2 3 4 5
年利润y 2.8 3.4 3.6 4.4 4.8
(1)已知变量x,y具有线性相关关系,求年利润y(单位:百万元)关于年份代号x的经验回归方程x+,并预测2026年该车间的年利润;
(2)已知该工厂共有6个车间,根据每个车间的年利润分为“A类车间”和“B类车间”两类,其中“A类车间”4个,“B类车间”2个,现从这6个车间中任取3个车间,记随机变量X为“A类车间”的个数,求X的分布列及其数学期望.
参考公式:.
2.(15分)为研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性,随机调查了某中学的100名学生,整理得到如下列联表:
是否喜欢跳绳 性别 合计
男 女
喜欢跳绳 45 25 70
不喜欢跳绳 15 15 30
合计 60 40 100
(1)依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联
(2)现按照性别比例,采用分层随机抽样的方法,从这100名学生中抽取5名,再从这5名学生中选出2名参加运动会的跳绳项目,记这两名学生中男生的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
3.(15分)(2025·广东广州模拟)某城市实施了机动车尾号限行,该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成如下表:
年龄/岁 [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75)
频数 5 5 10 15 10 5
赞成的人数 3 4 9 10 7 3
(1)用样本估计总体,将样本频率视为概率,且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在[45,55)的市民中随机选取4人进行追踪调查,记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(2)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷,记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率P(η=k)取得最大值的整数k.
4.(17分)(2026·广东佛山模拟)不同AI大模型各有千秋,适用领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A,B两款不同AI大模型是否使用,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
单位:人
AI大模型 甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40 80 60 20
B款 70 50 30 50
假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率;
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,从乙学院全体学生中随机抽取1人,记这3人中使用A款大模型的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y1,其方差估计值为D(Y1),从该校乙学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y2,其方差估计值为D(Y2),比较D(Y1)与D(Y2)的大小.
参考答案
1.解 (1)由题意,根据表格中的数据,可得(1+2+3+4+5)=3,(2.8+3.4+3.6+4.4+4.8)=3.8,
=55,xiyi=62,可得=0.5.
所以=3.8-0.5×3=2.3,故经验回归方程为=0.5x+2.3.
令x=6,得=0.5×6+2.3=5.3,故2026年该车间年利润约为5.3百万元.
(2)随机变量X的可能取值为1,2,3,可得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以期望E(X)=1+2+3=2.
2.解 (1)零假设H0:学生的性别和是否喜欢跳绳无关.根据列联表中数据经计算得χ2=1.786<2.706,根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
(2)依题意,抽取的5名学生中有男生3名,女生2名,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望E(X)=0+1+2
3.解 (1)由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,因为年龄在[45,55)的市民不赞成“车辆限行”的频率为,则ξ~B(4,),
所以P(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4),所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=np=
(2)在这50名被调查者中,有36人赞成“车辆限行”,14人不赞成“车辆限行”,所以P(η=k)=(k=6,7,8,…,20),由
则解得k,因为k∈Z,所以k=14.
4.解 (1)由表格可知,该校甲学院学生使用A款大模型的概率为,该校乙学院学生使用A款大模型的概率为
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=(1-)=,P(X=1)=(1-(1-)+,P(X=2)=(1-)+(1-,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0+1+2+3
(3)由题意可知该校甲学院学生使用B款大模型的概率为,该校乙学院学生使用B款大模型的概率为,易知Y1~B(2,),Y2~B(2,),
由二项分布的方差公式可知D(Y1)=2(1-)=,D(Y2)=2(1-)=,所以D(Y1)>D(Y2).
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