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专题六 几何综合题
一阶大题小练
1.如图，将矩形ABCD 绕点 B 顺时针旋转，使点A 的对应点 A 落在边 DC上(点 C,D 的对应点分别是 C ,D ),延长 DC 交 C D 于点 E，求证
2.如图,已知四边形 ABCD 是菱形,E,F分别是边 BC,CD 上的点,连接 AE,AF,若∠EAF=∠B=60°,求证AE=AF.
3.如图,在正方形ABCD 中,E,F分别是 BC,CD上的点,AF,DE 相交于点 G,且 AF=DE.过点 B 作 BH⊥AF 于点 H,过点 E 作EI⊥BH于点I,求线段AH,IH,AF 之间的数量关系.
4.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3c m,BC=4 cm,E,F为对角线 BD 上的两点,且分别从点 B，D出发相向而行，点 G，H分别从AD，BC的中点出发向点A，C运动.已知四个点同时出发，且速度均为 1 cm/s.设运动时间为 ts(0≤t≤2),当四边形 EGFH 为菱形时，求t的值.
二阶综合训练
1.如图①,在正方形ABCD 中,E,F,G分别是线段 BA,DA,CB 上的点,连接CE,CF,FG,已知BE=DF,GF=CF.
(1)线段 CE 与 GF 的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2)如图②,若点 E,F,G分别在线段 BA,DA，CB的延长线上时，(1)中的结论是否依然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)若点 E,F,G 分别在射线 BA,DA,CB上,AB=6,当BE=2AE时,请直接写出线段BG的长度.
2.如图①，将矩形纸片ABCD 沿 BM 所在的直线折叠，使点A 的对应点N落在BC 边上,折痕 BM 交 AD 于点M；将图①展开铺平，再沿 MP 所在的直线折叠，使点 C 的对应点 E 落在 AB 边上，点D 落在点 F 的位置,EF 与 AD 相交于点 G,折痕MP 交 BC于点 P,得到图②;将图②展开铺平，再沿 MQ 所在的直线折叠，使点A的对应点S落在CD边上，点 B 落在点T的位置,折痕MQ 交 BC 于点 Q,得到图③.
(1)一题多解法在图①中，请判断四边形ABNM 的形状，并说明理由；
(2)在图②中，请判断AG 与 FG 的数量关系，并加以证明；
(3)在图③中,若AB=4,AD=6,请直接写出点 D 到 MS 的距离.
专题六 几何综合题
一阶 大题小练
1.证明：∵矩形ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形A BC D ,
∴AD=A D =BC,∠A CB=∠D =90°,A B∥C D ,
∴∠CA B=∠D EA .
在△BCA 和△A D E中
∴△BCA ≌△A D E(AAS),
∴BA =A E.
2.证明：如解图，连接AC.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC,AB∥CD.
又∵∠B=60°,
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC,∠B=∠BAC=60°=∠ACD.
∵∠EAF = 60°= ∠EAC+∠CAF,∠BAC = 60°=∠BAE+∠EAC,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴AE=AF.
3.解:∵四边形ABCD 是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=∠C.
又∵AF=DE,
∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL),
∴∠DAF=∠CDE.
∵∠DAF+DFA=90°,
∴∠CDE+∠DFA=90°,
∴AF⊥DE,∴∠AGE=90°.
∵BH⊥AF,EI⊥BH,
∴ 四边形 EIHG 是矩形,
∴GE=IH.
∵∠DAG+∠HAB=∠HAB+∠ABH=90°,
∴∠DAG=∠ABH,在△DAG 和△ABH中,
∴△DAG≌△ABH(AAS),
∴DG=AH.
∵DE=DG+GE,
∴AF=DE=DG+GE=AH+IH.
4.解:如解图,取AD,BC的中点M,N,连接DH,BG,GH,GH与BD交于点 O.
∵四边形 EGFH为菱形,
∴GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,
∴BD，GH互为垂直平分线.
∵OB=OD,OG=OH,
∴四边形 DGBH 为菱形,
∴DG=BG.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC=4 cm,
设DG=BG=x cm,则AG=(4-x) cm,
由勾股定理得
即
解得
即
∴当 时，四边形 EGFH 为菱形.
二阶 综合训练
1.解:(1)CE=GF,CE⊥GF;【解法提示】设CE,GF交于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ CB=CD,∠B=∠D=∠BCD=90°. ∵ BE=DF,∴ △EBC≌△FDC(SAS),∴CE=CF,∠BCE=∠DCF.∵ GF=CF,∴ CE = GF,∠FGC = ∠FCG.又∵ ∠DCF+∠FCG= ∠BCD = 90°,∴∠FGC +∠BCE = 90°,∴∠CHG=180°-∠FGC-∠BCE=90°,即CE⊥GF.
(2)CE=GF,CE⊥GF 依然成立,证明如下:如解图①,延长GF交CE 于点 H,
∵GF=CF,
∴∠FGC=∠FCG.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴CB=CD,∠EBC=∠D=∠BCD=90°.
又∵BE=DF,
∴△EBC≌△FDC(SAS),
∴CE=CF,∠BCE=∠DCF.
∵GF=CF,
∴CE=GF.
∵ ∠FCG+∠DCF=∠BCD=90°,
∴ ∠FGC+∠BCE=90°,
∴∠GHC=180°-∠FGC-∠BCE= 90°,即CE⊥GF;
(3)BG的长为2或18.【解法提示】分情况讨论：①如解图②,当点 E 在线段AB 上时,过点 F 作 FI⊥BC 于点 I.∵GF=CF,∴GI=IC.∵AB=AD,BE=DF,∴AB-BE=AD-DF,∴AE=AF=BI.∵BE=2AE,AB=6,∴DF=CI=GI=BE=4,AE=AF=BI=2,∴BG=GI-BI=4-2=2;②如解图③,当点 E 在线段BA 的延长线上时,过点 F 作 FI⊥CG 于点 I,延长GF 交 CE 于点 H.∵FG=FC,∴GI=CI.∵AB=AD,BE=DF,∴BE-AB=DF-AD,∴AE=AF=BI.∵BE=2AE,AB=6,∴DF=CI=GI=BE=12,AE=AF=BI=6,∴BG=GI+BI=12+6=18.综上所述,BG 的长为2或18.
2.解:(1)解法一:四边形ABNM 是正方形.
理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°,
由折叠的性质,得∠BNM=∠A=90°,BN=BA,
∴∠BNM=∠A=∠ABC=90°,
∴ 四边形ABNM 是矩形.
又∵BN=BA,
∴ 四边形ABNM 是正方形;
解法二：四边形ABNM 是正方形.理由如下：∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠ABC=90°,
由折叠的性质，得 90°=45°,BN=BA,MN=MA,
∴∠AMB=∠ABM=45°,
∴AB=AM.
又∵BN=BA,MN=MA,
∴ BN=BA=MN=MA,
∴四边形 ABNM 是菱形.
又∵∠A=90°,
∴ 四边形 ABNM 是正方形;
(2)AG=FG.证明如下:
如解图①，连接EM.
∵四边形ABCD 是矩形.
∴∠A=∠D=90°,AB=CD.
由(1)知四边形ABNM 是正方形，
∴AB=AM,
由折叠可知:∠F=∠D=90°,CD=EF.
又∵AB=CD,AB=AM,∠A=∠D=90°,
∴∠A=∠F=90°,AM=EF,在 Rt△AME和Rt△FEM中,ME=EM,
∴ Rt△AME≌Rt△FEM(HL),
∴ ∠AME=∠FEM,
∴GM=GE.
又∵AM=FE,
∴AM-GM=FE-GE,即AG=FG;
(3) .【解法提示】如解图②,过点 D 作 DR⊥MS于点 R.∵AB=4,AD=6,由(1)知AM=AB=4,由折叠可知:SM=AM=4,DM=AD-AM=6-4=2,∴在Rt△DMS中,由勾股定理得,
即 即点D 到MS的距离为专题四 特殊四边形的性质与判定的综合运用
1.如图,在四边形ABCD中,O是对角线BD 的中点，E是 BC边上一点，连接EO 并延长交AD边于点 F,交 CD 的延长线于点 G,且OE=OF,AD=BC.
(1)求证四边形ABCD 是平行四边形；
(2)若∠A = 65°,∠G = 40°,求∠BEG 的度数.
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,AH⊥BC,E 是AH上一点,延长AH 至点 F,使 FH=EH,连接BE,CE,BF,CF.
(1)求证四边形 EBFC 是菱形;
(2)若∠BAC=∠ECF,求∠ACF 的度数.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线交于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 于点E,DF⊥AC于点 F.
(1)求证四边形 CFDE 是正方形;
(2)若AC=3,BC=4,求四边形 CFDE 的面积.
4.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,AC⊥CD,E是 BC的中点,过点 E 作EF∥AC,交AB 于点 F,连接OE.
(1)求证四边形 AOEF 是矩形;
(2)若 CD = 16,四边形 AOEF 的面积为120,求AD的长.
5.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为 E,F,连接DF,BE.
(1)求证DE=BF;
(2)若 求四边形 DEBF 的面积.
6.如图，将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起，点A 与点 B 落在点 J处，点 C 与点 D 落在点 K 处，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH(H,J,K,F 四点共线).
(1)求证四边形 EFGH 是矩形;
(2)若AD=7,求 HF 的长.
7.如图，已知在△ABC 中，尺规作图步骤如下:①作∠BAC 的平分线,交 BC 于点 D;②作AD 的垂直平分线，分别交AB，AC于点E,F.
(1)请将步骤②中的图形补充完整(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接 DE,DF,求证四边形 AEDF 为菱形.
8.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,AC与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 BA,DC的延长线于点 E,F,且AE=CF,连接DE,BF.
(1)求证OE=OF;
(2)若∠ABD=30°,AB⊥AC.
①当 时,四边形 BEDF 是矩形;
②当 时,四边形 BEDF 是菱形.
专题四 特殊四边形的性质与判定的综合运用
1.(1)证明:∵O是对角线BD的中点,∴OB=OD,
在△BOE 和△DOF中
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴∠OBE=∠ODF,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形；
(2)解：由(1)得，四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠C=∠A=65°,
∴∠BEG=∠C+∠G=65°+40°=105°.
2.(1)证明:∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH.
∵FH=EH,
∴四边形 EBFC 是平行四边形.
又∵AH⊥BC,
∴四边形 EBFC 是菱形;
(2)∠ACF 的度数为90°.
3.(1)证明:∵在△ABC中,∠C=90°,DE⊥BC 于点E,DF⊥AC于点 F,
∴∠C=∠DFC=∠DEC=90°,
∴四边形 CFDE 为矩形.
∵∠BAC,∠ABC 的平分线交于点 D,
∴DF=DE,∴四边形 CFDE 是正方形;
(2)四边形 CFDE 的面积为1.
4.(1)证明:∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴AB∥CD,AO=CO,
∵AC⊥CD,
∴AC⊥AB,
∴∠FAO=90°.
∵E是BC的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE∥AF,
∵EF∥AC,
∴四边形AOEF 是平行四边形，
又∵∠FAO=90°,
∴四边形AOEF 是矩形;
(2)解:AD 的长为34.
5.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,AC 为对角线，
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴DE=BF;
(2)解:∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°.
∵∠DCE=30°,DC=8,
∴在 Rt△DCE中,由勾股定理得, 4
在 Rt△DAE 和 Rt△BCF 中,
∴Rt△DAE≌Rt△BCF(HL),
∵∠DEF=∠BFE=90°,
∴DE∥BF,
∴四边形 DEBF 是平行四边形，
6.(1)证明:由折叠的性质,得∠HEJ =∠HEA,∠FEJ=∠FEB,
∴∠HEF=∠HEJ+∠FEJ= ×180°=90°,同理可得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴ 四边形 EFGH 为矩形;
(2)解:由(1)可知∠EHG=∠HGF=90°,
∴∠AHE+∠DHG=90°,∠HGD+∠CGF=90°,
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠EAH=90°,∠HDG=90°,AB=CD,
∴∠AEH+∠AHE=90°,∠DHG+∠HGD=90°,
∴∠AEH=∠CGF,
由折叠的性质，得
∴AE=CG,
∵∠A=∠C=90°,∴△AEH≌△CGF(ASA),
∴AH=CF,
∴HF=HK+KF=HD+CF=HD+AH=AD=7.
7.(1)解：作图如解图①所示；
(2)证明:如解图②,∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD.
∵EF 垂直平分线段AD,∴EA=ED,FA=FD,
∴∠EAD=∠EDA,∠FAD=∠FDA,
∴∠EDA=∠DAF,∠EAD=∠ADF,
∴DE∥AF,AE∥DF,
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
∵EA=ED,∴四边形AEDF 是菱形.
8.(1)证明:∵AB=CD,E,F分别是BA,DC延长线上的点,且AE=CF,
∴AB+AE=CD+CF,即 BE=DF.
∵AB∥CD,∴四边形 BEDF 是平行四边形,
∴OE=OF;
(2)解:①1;②专题 一次函数的实际应用
一阶大题小练
主题情境桃花节是以桃花为主题的传统节庆活动，通常在春季桃花盛开时举办，集赏花、文化体验、休闲娱乐于一体.请完成第1~6题：
1.桃花节筹办前期，承办方需对活动场地进行布局划分.如图，该场地为一块长为600 m，宽为200 m的矩形，现计划将其划分为美食街、音乐节两部分.若设音乐节场地的水平长为x(0A. y=200x B. y=120 000x
C. y=600-200x D. y=120 000-200x
2.在桃花节开幕前，承办方雇佣搬运工若干人进行现场布置.已知每名搬运工的搬运费用y(单位：元)与搬运时长x(单位:h)之间满足y=40x+20.若一名搬运工的搬运费用为 160 元，则该搬运工搬运了 h.
3.为扩大游客参与度与活动宣传范围，桃花节推出团购优惠：5人以下(包含5人)不参与团购优惠；5人以上，超过5人的部分每张门票打八折.已知3人购买门票的总费用为 150 元，则当x>5时，门票费用y(单位：元)关于 x(单位：人)的函数解析式为 .
4.小明和小亮从同一地方分别骑自行车和电动车沿相同的路线相继出发去桃花节场地游玩.已知两人距出发点的距离y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系如图所示.下列说法：①出发点到桃花节场地的距离为 60km；②小明和小亮相遇时，两人距桃花节场地 20km；③表示小亮路线的函数解析式为 其中正确的是 (填序号).
5.小红计划购进A，B两款充气沙发在桃花音乐节售卖，其进价及售价如下表所示：
进价(元/个) 售价(元/个)
A 款 15 25
B 款 27 39
若小红的进货资金为990元，且计划购入A，B两款充气沙发共50个，则小红全部售出可获得的最大利润为 元.
6.除了文艺表演和桃花观赏，桃花节上的桃花特色农产品也是吸引游客的一大亮点，农产品展销会上某摊位正在售卖桃脯.已知该桃脯的单价为35元/千克，现为本次桃花节游客推出两种购买方案：
方案 1：按原价购买，免20千克桃脯的运费，其余每千克收取5元运费； 方案2：购买的桃脯打八折，每千克收取8元运费
当购买桃脯 千克时，两种方案花费一样；若王老板要购买桃脯120千克，则选择方案 (填“1”或“2”)更划算.
二阶综合训练
1.研究表明，标准体重y(单位：kg)和身高x(单位：cm)之间满足一次函数关系，已知在某种健康标准下，当身高为 160 cm时,标准体重为55 kg,当身高为165 cm时,标准体重为 60 kg.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若一个人的实际体重在低于标准体重10%和高于标准体重 10%之间(包括±10%)为正常范围，已知某同学的身高是163 cm,体重是60.9 kg,请你估计该同学的体重是否在正常范围内
2.为了增强学生的劳动实践能力，培养学生的环保意识和责任感，某中学积极开展各类劳动实践活动，组织学生参与植树活动，分两次采购植树工具：铁锹、锄头.采购记录如下表：
铁锹/把 锄头/把 合计金额/元
第一次 30 25 1 350
第二次 15 20 900
(1)求铁锹、锄头的单价；
(2)若学校计划再次去购买铁锹、锄头共30把，其中购买的铁锹数量不少于锄头数量的2倍且不多于锄头数量的4倍，如何购买才能使此次购买的总费用最少 并求出最少费用.
3.如图，一小球从A 点出发沿光滑的斜面下滑(假设斜面足够长)，为了调查小球的速度 v(单位：m/s)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系，某数学兴趣小组进行以下实验，将从点A起，每经过1s对小球的速度进行记录，并绘制成如下表格：
运动时间t/s 0 1 2 3 4 5 6
速度v/(m/s) 2 5 8 14 17 20
(1)已知运动速度v与运动时间t之间的函数关系是一次函数，试求出该函数的函数解析式；
(2)请计算出小球在第3s时(即表上被墨水挡住部分)的运动速度；
(3)若小球在A处由静止开始下滑，求当小球运动速度为12 m/s时，小球的运动时间.
专题 一次函数的实际应用
一阶 大题小练
1. D 【解析】由题意得,y= 200×600-200x =120 000-200x.
2. 3.5 【解析】将y=160代入y=40x+20中,解得x=3.5,∴该搬运工搬运了3.5 h.
3. y=40x+50 【解析】由题意得,门票的原价为150÷3=50(元/张),当x>5时,根据题意得,y=0.8×50×(x-5)+5×50=40x+50.
4.①②【解析】由题图知，出发点到桃花节场地的距离为60km，∴小明和小亮相遇时，两人距桃花节60-40=20(km),故②正确;设y小亮= kx+b(k≠0),将(3,0),(4,40)代入得 解得 ∴表示小亮路线的函数解析式为y小亮=40x-120,故③错误.
5.540 【解析】设小红购入A 款充气沙发x个，则购入B款充气沙发(50-x)个，由题意得，A款的利润为25-15=10(元/个),B 款的利润为39-27=12(元/个),则总利润W=10x+12×(50-x)=-2x+600，∴由函数解析式可得，W随x的增大而减小，∵15x+27×(50-x)≤990,解得x≥30,∴当x=30时,W最大=600-60=540(元).
6.25，2【解析】设王老板购买桃脯x千克，花费y元，则方案1的费用 100,方案2的费用 36x,令40x-100=36x,解得x=25,故当购买桃脯25千克时，两种方案花费一样；将x=120代入y =40x-100中,得y =40×120-100=4 700(元),将x=120代入 中，得 (元),∵4 320<4 700,∴王老板选择方案2更划算.
二阶 综合训练
1.解:(1)设y与x之间的函数解析式为y= kx+b(k≠0),将x=160,y=55和x=165,y=60代入,
得 解得
∴y与x之间的函数解析式为y=x-105；
(2)当x=163时,y=x-105=163-105=58,
(60.9-58)÷58×100%=5%,
∵-10%<5%<10%,
∴该同学的体重在正常范围内.
2.解：(1)设铁锹、锄头的单价分别为 x元/把，y元/把，
由题意得 解得
答：铁锹、锄头的单价分别为20元/把，30元/把；
(2)设购买的铁锹数量为a把，则购买的锄头数量为(30-a)把,总费用为w元,
由题意得,2(30-a)≤a≤4(30-a),解得20≤a≤24,由(1)可得,w=20a+30(30-a)=-10a+900,
∵-10<0,∴w随a的增大而减小,
∴当a=24时，w有最小值，最小值为-10×24+900=660,此时30-a=6.
答：购买24把铁锹、6把锄头才能使此次购买的总费用最少，最少费用为660元.
3.解：(1)设运动速度v(m/s)与运动时间t(s)之间的函数解析式为v= kt+b(k≠0),
由表可知,当t=0时,v=2;当t=1时,v=5,联立得 解得
∴运动速度v(m/s)与运动时间t(s)之间的函数解析式为v=3t+2;
(2)当t=3s时,v=3×3+2=11(m/s),
∴小球在第3s时(即图上被墨水挡住部分)的运动速度为11 m/s;
(3)由题意得，当小球在A 处由静止开始下滑，即b=0时,有v=3t,令v=3t=12,解得t=4,∴当小球运动速度为12m/s时，其运动的时间为4s.专题 分类讨论思想的综合运用
类型 1 分类讨论思想在勾股定理中的应用
1.在 Rt△ABC 中,AB=3,BC=4,则 AC 的长为 .
2.已知等腰三角形ABC 的两边为10和12，则底边上的高为 .
3.如图，长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5cm ，一只蚂蚁要从长方体的顶点 A处，沿着长方体的表面爬行到长方体的顶点 B 处，求蚂蚁爬行的最短路程.
类型2 分类讨论思想在平行四边形中的应用
4.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=72°,E 是对角线AC上一动点(不与点A，C重合)，连接DE,当△ADE 是等腰三角形时,则∠AED 的度数为 .
5.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,∠DAC=30°,AC=12,BC=5 点 P 从 B点出发，沿着边 BC 运动到点 C 停止，连接OP,在点 P 运动过程中,若△OPC 是直角三角形，则BP 的长是 .
6.如图，在平面直角坐标系 xOy中,四边形 OABC 是矩形,点 A(18,0),B(18,8),C(0,8),D(8,0),E 是折线AB-BC上一动点(A 点除外),连接ED,点A关于 ED 的对称点为点 P，若点 P 落在矩形 OABC 的边上,则点 P 的坐标为 .
7.如图,E 是 ABCD 的边 BC 的中点,BC=12 cm,点 F 从点 A 出发沿射线 AD 以2cm /s的速度匀速运动，连接 EF，当以点F，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点 F 运动的时间.
8.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠C=60°,过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E,BE=6cm,CE=CD=3cm,点 P 从点 A 出发以2cm /s的速度匀速向点 D 移动,点 Q 从点C 出发以 1 cm/s的速度匀速向点 B 移动,两点同时出发，并且当一个点到达终点后，另一个点也立即停止移动，当线段 PQ 在四边形ABCD 内部截出一个平行四边形时.
(1)求此时点 P 运动了多久；
(2)求此时线段 PQ 在四边形 ABCD 内部截出的平行四边形的面积.
类型 3 分类讨论思想在一次函数中的应用
9.已知一次函数y=(1-a)x+2a-12的图象经过第一象限，则 a 的取值范围为 .
10.已知函数 当y=3时,则x的值是 .
11.已知一次函数y= kx+b(k,b为常数,k≠0),当-1≤x≤2时,2≤y≤5,则 的值为 .
12.如图，一次函数 的图象与坐标轴分别交于点 A，B，已知 C 是一次函数y= 图象上的动点，且 求 OC 所在直线的解析式.
13.如图，一次函数y=-x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B. P(x，y)是该图象上的一个动点(点 P 不与点A 重合)，连接OP，在点 P 的运动过程中，请计算：
(1)△OPA 的面积 S 与 x 之间的函数解析式；
(2)当 时，求点 P 的坐标.
专题分类讨论思想的综合运用
1. 或 5 【解析】若 AC 为直角边,则 AC = 若AC 为斜边,则AC=
2. 8或 【解析】如解图,作AD⊥BC于点 D,若AB=AC = 10,BC = 12,∵ AB = AC,∴ BD = CD = 若AB=AC=12,BC=10,∵AB=AC,
3.解：分以下三种情况讨论：
①如解图①，把前面和上面组成一个面，
则蚂蚁爬行的路程
②如解图②，把前面和右面组成一个面，则蚂蚁爬行的路程
③如解图③，把左面和上面组成一个面，则蚂蚁爬行的路程
∴该蚂蚁爬行的最短路程是
4. 108°或72°【解析】∵ 在菱形ABCD 中,∠BAD=72°,∴∠DAC=36°,分两种情况讨论:①当∠EAD为底角时,∠ADE=∠DAE=36°,∴∠AED=180°-36°-36°=108°;②当∠EAD 为顶角时,∠AED = 综上所述，∠AED 的度数为108°或72°.
5. 或2 【解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴AO=CO=6,AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=30°,如解图,当∠COP =90°时,∵ ∠ACB =30°, 当∠OP'C = 90°时, 综上所述，BP 的长是 或2
6. (14,8)或(2,8)或(0,6)【解析】∵ 点 A 关于 ED的对称点为点 P,连接 PD,∴DP=DA=18-8=10,当点 P 在 BC边上时,①如解图①,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,∴CF=OD=8,DF=AB=8,在 Rt△DFP 中， ∴P (14,8);②如解图②,过点 P 作 P H⊥OA 于点 H,∵ DP =DA=10,P H=8,在 Rt△DHP 中, ∴P (2,8);③当点 P 在 CO 上时,如解图③,∵DP =DA=10,OD=8,∴在 Rt△P OD 中,OP = 综上所述，点 P 的坐标为(14,8)或(2,8)或(0,6).
7.解：如解图①，当点 F在点 D 的左边时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,
∴当FD=EC时,四边形 FECD 是平行四边形.
∵ BC=12 cm,点 E 是 BC 的中点,
∴AF=FD=EC=6cm,
∴点 F 运动的时间为6÷2=3(s);如解图②,当点 F 在点 D 的右边时,连接DE,CF,
∵四边形ABCD 是平行四边形,BC=12 cm,
∴AF∥BC,AD=BC=12 cm,
∴当DF=EC时,四边形 DECF 是平行四边形.
∵点E是BC的中点，
∴DF=EC=6cm,则AF=AD+DF=12+6=18(cm),
∴ 点 F 运动的时间为18÷2=9(s).
综上所述,当点 F 运动3s 或9s时,以点 F,E,C,D 为顶点的四边形是平行四边形.
8.解:(1)∵AD∥BC,DE∥AB,
∴四边形ABED 是平行四边形，
∴AD=BE=6cm,BC=9 cm,
设点 P 运动了 ts,
∴CQ=t cm,AP=2t cm,BQ=(9-t) cm,PD=(6-2t) cm,
①如解图①,当BQ=AP时,
∵AD∥BC,
∴四边形ABQP 是平行四边形,即9-t=2t,解得t=3;
②如解图②,当CQ=PD时,
∵AD∥BC,
∴四边形 PQCD 是平行四边形,即t=6-2t,解得t=2,
综上所述，当线段 PQ在四边形ABCD 内部截出一个平行四边形时，点 P 运动了2s 或3s；
(2)∵CE=CD,∠C=60°,
∴△CDE 是等边三角形，
如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则 CF=EF=
如解图①,当t=3 时,BQ=AP=6 cm,S□ABQP=6×
如解图②,当t=2 时,
∴ 截出平行四边形的面积为 或
9. a<1或a>6 【解析】∵一次函数y=(1-a)x+2a-12的图象经过第一象限，∴分两种情况讨论：①1-a>0时图象经过第一象限,解得a<1;②当1-a<0且2a-12>0时图象经过第一象限,解得a>6.综上，a的取值范围为a<1或a>6.
10. - 1或1 【解析】当x≤0时,x+4=3,解得x=-1,当x>0时,4-x=3,解得x=1,综上所述,x的值是-1或1.
11. 3或-4 【解析】当k>0时,y随x的增大而增大,∴一次函数图象上的点坐标为(-1，2)和(2，5)，代入得 解得 此时 当k<0时，y随x的增大而减小，∴一次函数图象上的点周测小卷坐标为(-1,5)和(2,2),代入得 解得 此时 故b/k的值为3或-4.
12.解：∵一次函数 的图象与坐标轴分别交于点A,B,
当x=0时,y=3;当y=0时,x=-6,
∴点A(-6,0),点B(0,3),
即OA=6,OB=3,
设点 C 的坐标为(2m, m+3),
则
解得|2m|=3,即
∴点 C的坐标为 或
当点 C 坐标为 时，直线 OC 的解析式为
当点 C 坐标为(3, )时，直线 OC 的解析式为
综上，OC 所在直线的解析式为 或
13.解:(1)∵一次函数y=-x+2的图象与x轴,y轴分别交于点A，B，
∴A(2,0),B(0,2).
∵P 是一次函数y=-x+2的图象上的一个动点(不与点A 重合)，
设点 P 的坐标为(x,-x+2),
∴当x>2时,
当x<2时,
综上所述，△OPA 的面积S与x之间的函数解析式为
(2)若
当x>2时,x-2=8,解得x=10,
将x=10代入y=-x+2中,得y=-8,
∴点P的坐标为(10,-8);
当x<2时,-x+2=8,解得x=-6,
将x=-6代入y=-x+2中,得y=8,
∴点 P的坐标为(-6,8).
综上所述,当S△OPA=8时,点P的坐标为(10,-8)或(-6,8).专题 特殊四边形中的折叠问题
教材原题(教材P79第8题)
如图，将矩形纸片ABCD 沿直线BD 折叠，使点C落在C'处,BC',AD 相交于点 E,AD=8,AB=4. DE 的长是多少 的面积呢
改编1 改为折痕过一顶点
如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=15,E是CD上一点，将矩形ABCD 沿直线 BE 折叠，点C 恰好落在AD 边上的点 P 处，求 CE的长.
改编2 改为折痕过两对边
如图,在矩形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的点，将矩形沿直线EF折叠，使得点 D恰好与点 B 重合，点 C 的对应点为点 G，若AB=3,AD=9,求 的面积.
改编3 改为折痕过两邻边
如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=10,F为BC的中点，E为 CD边上一动点，连接EF.将 沿直线EF折叠，使得点C落在DF上的点C'处，求DE的长.
针对训练
1.如图,在 ABCD 中,E 是 BC 上一点,将 ABCD 沿 DE 所在直线进行折叠,点 C 的对应点为点 C'.若∠1=20°,∠2=60°,则∠C 的度数为 ( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
2.将矩形 ABCO 按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，AB=4，OA=8，若将其沿着对角线 OB 所在直线折叠后，点A 的对应点为点A'，OA'与 BC交于点 D，则点 D 的坐标为 .
3.如图,在矩形ABCD 中,G为 BC 上一点,将矩形ABCD 进行折叠,使AB 与 DC 重合,折痕为 EF，展开后沿AG 所在直线再次折叠，使点 B 落在折痕 EF 上的点 H 处,若 AB=5,AD=8,则线段 GF 的长为 .
4.如图,在矩形ABCD 中,AD=5,AB=8,E 为射线 DC 上一个动点,把矩形 ABCD 沿 AE所在直线向下折叠，当点 D 的对应点 F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则 DE的长为 .
5.如图,在菱形ABCD 中,∠B=60°,E 为 BC的中点,F 为 AB 上一动点,连接 EF,将△BEF 沿 EF 所在直线折叠,使点 B 落在点B'处,连接AB',若BC=2,求AB'的最小值.
6.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是边BC,AD上的点,将正方形ABCD 沿 EF 所在直线折叠，使点 B 的对应点 G恰好落在 CD边上，点 A 的对应点为点 H.求证 AF+CE=DG.
7.如图,在矩形ABCD 中,E,F分别是边 BC,AD上的两点,将矩形ABCD 分别沿 AE,CF所在的直线折叠，使点 B，D分别落在对角线AC上的点M,N处.
(1)求证四边形AECF 是平行四边形；
(2)若AB=3,AC=5,求四边形AECF 面积.
教材原题 解:由折叠的性质,得∠CBD=∠C'BD,
AD∥BC,∴∠CBD=∠EDB,
∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,
即△BDE 是等腰三角形.
设DE=x,则BE=x,AE=8-x.
∵四边形ABCD 为矩形,AB=4,在 Rt△ABE中,由勾股定理,得 即
改编 1 解:∵四边形ABCD 是矩形,AB=9,BC=15,∴∠A=∠D=90°,AD=BC=15,CD=AB=9.
由折叠的性质,得BP=BC=15,PE=CE.
在 Rt△ABP中, ∴DP=AD-AP=15-12=3.
设CE=x,则PE=x,DE=CD-CE=9-x.
在 Rt△DEP中,由勾股定理,得 即 解得x=5,
∴CE 的长为5.
改编2 解:∵四边形ABCD 是矩形,AB=3,AD=9,
∴AB=CD=3,AD=BC=9,
由折叠的性质,得CF=GF,DC=BG=3,
∠G=∠C=90°.
设CF=x,则GF=x,BF=9-x,
在 Rt△BGF中, 即
解得x=4,∴GF=4,
改编3 解:∵四边形ABCD 为矩形,AB=12,AD=10,F为BC的中点，
∵CD=AB=12,∠C=90°;
∴在 Rt△DCF中,由勾股定理,得
由折叠的性质可得 CF = C'F =5,CE = C'E,∠EC'F=∠C=90°,
∴C'D=DF-C'F=13-5=8,
在 Rt△C'DE 中,由勾股定理,得 8 ,
解得
针对训练
1. B 2. (-3,4) 3.
4. 或10 【解析】分两种情况讨论：①如解图①，当点 F 在矩形内部时，点 E 在线段 DM 上，∵点 F 在AB的垂直平分线 MN上,AB=8,∴AN=4,∵AF=AD=5,由勾股定理,得 FN=3,∴FM=2,设 DE 为y,则EM=4-y,FE=y,在 Rt△EMF 中,由勾股定理，得 即 DE 的长为 ②如解图②，当点 F 在矩形外部时，点 E 在线段DC的延长线上，点 C 的对应点为点 C'，同①的方法可得FN=3,∴ FM=8,设 DE 为z,则 EM=z-4,FE =z,在 Rt △EMF 中,由勾股定理,得 即 DE 的长为10.综上所述，点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时，DE 的长为 或 10.
5.解:如解图,连接AC,AE,
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=2.
∵∠B=60°,
∴△ABC 是等边三角形.
∵E 为BC的中点,
由折叠的性质,得BE=B'E=1,
∵当点 B'落在线段 AE 上时,AB'最小,
∴AB'的最小值为
6.证明：如解图，连接BG，平移 FE使点 F 的对应点为点A,记点E 的对应点为点M,AM交BG于点N,
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,AD∥BC,∠ABC=∠C.
由折叠的性质,得EF⊥BG,
∵AM∥EF,∴AM⊥BG.
∴∠BNM=90°,
∴∠NBM+∠BMN=∠BAM+∠BMA=90°,
∴∠NBM=∠BAM,即∠BAM=∠CBG,
∴△ABM≌△BCG(ASA),
∴BM=CG,∴CM=BC-BM=CD-CG=DG.
由平移的性质,得AF=ME,∴AF+CE=ME+CE=CM,
∴AF+CE=DG.
7. (1)证明:∵四边形ABCD 为矩形,
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴∠BAC=∠DCA,
由折叠的性质，得
∴∠EAC=∠FCA,
∴AE∥CF.
∵AD∥BC,即AF∥EC,
∴四边形AECF 为平行四边形；
(2)解:在 Rt△ABC 中,AB=3,AC=5,由勾股定理,得
由折叠的性质,得∠AME=∠ABC=90°,BE=ME,AM=AB=3,
∵AC=5,
∴CM=AC-AM=5-3=2,
设CE=x,则BE=EM=4-x,
在 Rt△CME 中,由勾股定理,得
即 解得
由(1)得，四边形AECF为平行四边形，专题三 统计图表的综合运用
1.某校在八、九年级学生中抽取部分学生进行垃圾分类知识测试，并从测试结果中随机抽取八、九年级各 20名学生的成绩(记为x,单位:分,满分:100 分)进行统计分析.
【收集数据】分数段在 80≤x≤87 的八年级学生成绩:80,81,82,85,87,87,87;
九年级学生成绩:80,80,82,83,85,87,87,87,89,90,90,92,93,93,95,95,97,98,98,100.
【整理数据】八、九年级成绩频数分布表：
年级 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
八年级 2 4 10 4
九年级 0 0 9 11
【分析数据】如下表：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 82.90 a 87
九年级 90.05 90 b
【得出结论】根据以上信息，解答下列问题：
(1)a= ,b= ;
(2)该校八、九年级各有学生1000人，若规定成绩在 90 分以上(含 90 分)的为“优秀”，请估计该校八、九年级成绩为“优秀”的学生人数；
(3)根据所给数据，请判断在该知识测试中哪个年级的学生成绩更好，并说明理由.
2.粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大.科研人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分(满分为10分)，将得分数据整理成如图所示的折线图.
该品种小麦的抗病性和丰产性得分的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
抗病性 m 9 9
丰产性 8.8 9.5 n
(1)该品种小麦抗病性得分的平均数m= ,丰产性得分的众数n= ;
(2)记该品种小麦抗病性得分的方差为s ，丰产性得分的方差为s ，则 (填“>”“<”或“=”);
(3)根据以上数据，从平均数和中位数的角度看，你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优 并说明理由.
3.某校组织学生观看了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年大会”的现场直播，并举行了以“铭记历史，珍爱和平”为主题的知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(用x表示，单位：分，满分：100 分)分成四组;A.80≤x≤85;B.85【收集数据】七年级20名学生的竞赛成绩：81,86,99,95,89,99,98,82,88,99,80,86,97,94,88,99,99,83,88,100
八年级 20名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据:94,94,91,93,95,91
【整理数据】如图：
【分析数据】如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91.5 91.5 99
八年级 92 m 100
【应用数据】根据以上信息，完成下列问题：
(1)α= °,m= ;
(2)请补全频数分布直方图；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“铭记历史，珍爱和平”的知识了解得更多 并说明理由(写出一条即可).
4.【主题】青少年体能测试数据的统计分析
【活动背景】加强青少年体能是学校体育教学的重要任务.某校从八年级和九年级各随机抽取 10 名男生进行一分钟引体向上测试，成绩(单位：个)分为四个等级：5个及以下为不合格，6~10个为合格，11~12个为良好，13个及以上为优秀.
【数据收集】抽取的同学成绩如下：
八年级:9,11,6,10,9,15,9,10,11,10;
九年级:11,13,7,10,5,9,8,14,a,12.
【数据分析】如下表：
平均数 中位数 方差
八年级 x 10 4.6
九年级 x b 7.0
(1)根据表格可知，八年级和九年级学生成绩的平均数相同,则a= ,b= ;
(2)老师根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请将箱线图补充完整；
(3)从离散程度、成绩等级分布特征、中位数方面，对这两个年级学生的引体向上成绩作出评价.
专题三 统计图表的综合运用
1.解:(1)86,87;【解法提示】由题意可知,将八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列，第10，11个数分别为85,87,∴中位数 在九年级学生的成绩中，87分的人数最多，∴b=87.
∴该校八、九年级成绩为“优秀”的学生人数约为750;
(3)九年级学生成绩更好.理由：两个年级学生成绩的众数相等，但九年级学生成绩的平均数和中位数均高于八年级.
2.解:(1)8.5,10;【解法提示】 8.5，丰产性得分中10分出现了5次，出现的次数最多,∴n=10.
(2)<；【解法提示】从折线图可以看出，抗病性的得分更稳定，
(3)该品种小麦的丰产性更优.理由：丰产性得分的平均数和中位数更高.
3.解:(1)108,94;【解法提示】由题图可知,α=360°×(1-10%-20%-40%)= 108°;∵20%+10%=30%<50%，20×30%=6，∴八年级学生竞赛成绩的中位数在C组，将20名学生的竞赛成绩由低到高排列，第10，11个数分别是94，94，∴八年级学生成绩的中位数为
(2)补全频数分布直方图如解图；
(3)八年级学生对“铭记历史，珍爱和平”的知识了解得更多.理由：七、八年级所抽学生成绩的平均数分别为91.5,92,且92>91.5,∴八年级所抽学生成绩的平均数更高，∴八年级学生对“铭记历史，珍爱和平”的知识了解得更多(答案不唯一，合理即可).
4.解:(1)11;10.5;【解法提示】∵ 八年级和九年级学生成绩的平均数相同，计算八年级学生成绩的平均数为 解得a=11，将九年级学生的成绩按照从小到大排列为5，7，8，9,10,11,11,12,13,14,中位数
(2)补全箱线图如解图；
(3)从离散程度来看，八年级方差4.6小于九年级方差7.0，且从箱线图看，八年级的箱体长度比九年级的短，即八年级波动比九年级小；说明八年级成绩离散程度更低，个体差异更小；
从成绩等级分布特征来看，不合格(5个及以下)：九年级有1个，八年级没有，八年级的情况更优；优秀(13个及以上)：八年级有1个，九年级有2个，九年级成绩更优；
中位数：九年级中位数10.5高于八年级中位数10，说明九年级成绩的中间水平更优.(答案不唯一，合理即可)专题七 新课标新教材
◎类型 1 阅读理解题
1.阅读下列解题步骤：
例：求 的值.
解：设 两边平方得，
请你利用上述解题方法，求 的值.
2.生活中 A4纸张、常见报纸等矩形的长与宽之比为 ：1，在房屋建筑中也存在这样的比例现象，目的是为了使物体更加美观，通常这样的矩形被定义为“标准矩形”.如图，已知四边形 AEFD 是“标准矩形”(AE>AD),DF 的垂直平分线交 AE,DF 于点 G,H.判断四边形 EFHG 是否是“标准矩形”，并说明理由.
类型 2 开放性试题
3.如图,在四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点O,DM⊥AC,BN⊥AC,垂足分别为M,N,DM=BN.请你添加一个条件(不另外加辅助线)使得四边形 ABCD 为平行四边形并证明.
4.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，现从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示.
应聘者 甲 乙 丙
学历 9 8 8
经验 8 6 9
能力 7 8 8
态度 5 7 5
(1)如果将学历、经验、能力和态度四项得分按1：1：1：1的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么谁将被录用
(2)如果你是这家公司的招聘者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的比例，以此为依据确定录用者，并说一说你这样确定比例的理由.
类型3 综合与实践
5.根据以下素材，探索完成任务.
如何制定订餐方案
素材1 活动中心在户外活动中，需以班级为单位订餐，现有A，B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如图所示：
素材2 八年级(1)班共32位同学，每人都从A，B两种套餐中选择一种，一人订餐一份，拒绝浪费.经统计，有20人已经确定套餐 A 或B，其余 12人两种套餐皆可.若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为460元.
解决问题
任务1 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐 A 和套餐 B
任务2 设两种套餐皆可的人中有 m人选择套餐A，该班订餐总费用为w元，在全班选择套餐 A 的人数不少于 20时，请求出 w 与 m 之间的函数解析式；
任务3 在任务 2 的基础上，要使得该班订餐总费用最低，则应如何订制A，B两种套餐 最低总费用是多少
6.为了研究矩形折叠过程中的数学问题和有关结论，数学综合与实践小组的同学进行了如下的探究性学习.
【探究发现】如图①，若四边形 ABCD 是正方形，E为边 CD上的一点，沿AE 所在直线折叠，点 D 落在正方形 ABCD 内部点 D'处，延长 ED'交 BC 于点 F.
(1)求证BF=D'F;
(2)当E 是 CD的中点时,试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
【拓展应用】(3)如图②,若四边形ABCD 是矩形,AB=3,BC=4,点 E 在边 CD 上,且DE=2CE,沿 AE 所在直线折叠,使点 D 落在矩形 ABCD 外部点 D'处,ED'交 BC 于点F,AD'交 BC 于点 G,求 BF 的长.
专题七新课标新教材
1.解:设 两边平方得，
2.解：四边形 EFHG是“标准矩形”，理由如下：
∵GH 垂直平分 DF,
∴∠FHG=90°,DH=HF.
∵四边形 AEFD 是矩形,
∴∠AEF=∠DFE=90°,AE∥DF,即 GE∥HF,
∴四边形EFHG是矩形.
∵四边形AEFD 是“标准矩形”,
∴设AD=a,则EF=a,DF= a,
∴ 四边形 EFHG 是“标准矩形”.
3.解:添加的条件为∠ADB=∠CBD.
证明如下：
∵∠ADB=∠CBD,
∴AD∥CB,
∴ ∠DAM=∠BCN.
∵DM⊥AC,BN⊥AC,
∴∠AMD=∠CNB=90°,
在△ADM 和△CBN中,
∴△ADM≌△CBN(AAS),
∴AD=CB,
又∵AD∥CB.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.(答案不唯一，根据所加条件进行证明即可)
4.解:
∴丙的平均分最高，因此丙将被录用；
(2)若将学历、经验、能力和态度四项得分按3∶2:3:2的比例确定每人的最终得分,
则
∴丙的平均分最高，因此丙将被录用，
这样设计比例的理由是应聘者的学历和能力是对应聘者的硬性要求，而经验和态度都可以培养(答案不唯一，合理即可).
5.解：任务1：∵20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
∴可设这20人中选择套餐A 的有x人，则选择套餐B的有(20-x)人,
根据题意,得x<20,且20-x<13,
∴7根据题意,得25x+20(20-x)=460,
解得x=12,
20-x=8,
∴选择套餐A的有12人，选择套餐 B的有8人；
任务2：∵两种套餐皆可的人中有m人选择套餐A，
∴当套餐A人数不少于20人时,12+m≥20,
∴m≥8,则选择套餐B人数为12-m+8≤12,
∴不满足优惠方案二的条件，
当m=8时,选择方案三最少需花费25×20+20×12=740(元),
∵740>700,∴满足方案三优惠条件.
∴选择方案一时,订餐总费用为w=25×0.9×(12+m)+20×(20-m)=2.5m+670(8≤m≤12);
选择方案三时,订餐总费用w=25×(12+m)+20×(20-m)-70=5m+630(8≤m≤12);
任务3：设两种套餐皆可的人中有m人选择套餐A，①当8≤m<12时,由任务2,得w=2.5m+670.
∵k=2.5>0,
∴w随m的增大而增大，
∴当m=8时,总费用最低为w=2.5×8+670=690(元);
②若选择优惠方案三,订餐总费用为25×(12+m)+20×(20-m)=5m+700.
∵k=5>0,
∴w随m的增大而增大.
又∵总费用满700元立减70元，
∴当m=8时,订餐总费用最低为5×8+700-70=670(元).
∵670<690,
∴当选择优惠方案三订购A套餐20份，订购B套餐12 份时，订餐总费用最低，最低总费用为670元.
6.(1)证明:如解图①,连接AF.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=∠D=90°,AD=AB,
由折叠的性质,得∠AD'E=∠D,AD'=AD,
∴∠B=∠AD'E,AB=AD',
在 Rt△ABF 和 Rt△AD'F中,
∴ Rt△ABF≌Rt△AD'F(HL),
∴BF=D'F;
(2)解:CF=2BF.证明如下:
设CD=2a,BF=D'F=x,则CF=2a-x.
∵E为边 CD的中点,
∴DE=CE=D'E=a,
∴EF=a+x.
在 Rt△CEF中,
解得
∴CF=2BF;
(3)解:如解图②,延长 AB 到点 P,使 AP=AD,以AD,AP为边作正方形 APQD,延长 ED'交 PQ 于点 M.
∵四边形ABCD 是矩形,AB=3,BC=4,
∴AD=BC=4,CD=AB=3.
∵DE=2CE,
∵四边形APQD是正方形，且边长为4，
∴E为QD 的中点,
由(2)同理知，
又∵PQ=4,
在正方形APQD中，DQ=4,EC=1,DE=2,
∴C为QE的中点,
∴CF是 的中位线，专题 与特殊四边形有关的综合题
1.定义：如果一个菱形的两个相邻角的度数成2倍关系，那么称该菱形为“唯美”菱形.如图①,在 ABCD中,∠A=60°,CE 平分∠BCD,交AB 边于点 E,EF∥BC,交 CD 边于点 F.
(1)求证四边形 BCFE 是“唯美”菱形;
(2)如图②,点 G 是 BC 边的中点,连接 FG与 CE 交于点 M,过点 M 作 MH⊥CD 于点H,求证 EM=FG+MH.
2.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,点 F 在线段 DC上,且BE=DF,连接 EF 交对角线 BD 于点 G,连接 AE,AF,AG.
(1)求证∠BAE=∠DAF;
(2)求证
(3)若 BG=2,DF=1,求正方形 ABCD 的面积.
3.【初步探究】(1)如图①,在正方形ABCD 中,对角线AC 与 BD 相交于点 O，直接写出图中等腰直角三角形的数量；
【深入探究】(2)如图②,在矩形 ABCD 中,AE,BE, CF, DF 分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠ADC 的平分线,AE 与 DF 交于点M,BE 与 CF 交于点 N,试猜测四边形EMFN 的形状，并说明理由；
【类比探究】(3)如图③,在 ABCD 中,AE,BE,CF,DF 分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠ADC 的平分线,AE 与 DF 交于点 M,BE与 CF 交于点 N.此时(2)中的结论是否还成立 并说明理由.
4.【问题情境】在综合与实践课上，老师要求同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动，如图①，在矩形ABCD中， 将矩形 ABCD 沿 EF 所在直线折叠，使点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 G 处.
【独立思考】(1)在图①中，连接AF，解决以下问题：
①猜想四边形 AECF 的形状，并证明你的结论；
②计算折痕 EF 的长度；
【实践探究】(2)如图②，将图①展开铺平，再沿 AC所在直线折叠，点 B 恰好落在点 G处,AG与CD交于点 F,AC与EF 交于点H,连接 DH,GH.在图②中,试判断 DH 与 GH的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】(3)在不增加字母的条件下，请你以图②中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(菱形 AECF 除外)，并写出这个菱形： .
专题 与特殊四边形有关的综合题
1.证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BEC=∠ECF.
∵EF∥BC,
∴四边形 BCFE 是平行四边形.
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠ECF,
∴∠BCE=∠BEC,
∴BC=BE,
∴四边形 BCFE 是菱形.
∵∠A=60°,
∴∠BCD=60°,∠EBC=120°,
∴∠EBC=2∠BCD,
∴四边形 BCFE 是“唯美”菱形；
(2)如解图,连接BF交CE 于点O,
∵四边形 BCFE 是菱形,
∴OE=OC,CB=CF,BF⊥CE.
由(1)得∠BCD=60°,
∴△BCF 是等边三角形.
∵G是BC边的中点，
∴FG⊥BC.
∴OE=OC=FG.
∵MH⊥CD,
∴OM=HM.
∵EM=OE+OM,
∴EM=FG+MH.
2. (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠ADF=∠ABC=90°=∠ABE,在△ABE 和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF;
(2)证明:如解图所示,过点 F 作 FH⊥DC 交 BD于点 H.
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠C=90°,BC=DC,
∴∠BDC=45°,
∴△DFH 是等腰直角三角形，
∵FH⊥DC,∴FH∥BC,
∴∠GHF=∠GBE.
∵∠FGH=∠EGB,
∴△GHF≌△GBE(AAS),
∴BG=GH,
∴DG-BG=DG-GH=DH,
(3)解:由(2)可知
∵BG=2,BE=DF=1,
∵四边形ABCD 是正方形，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
故正方形ABCD 的面积为
3.解:(1)8个;
(2)四边形 EMFN 是正方形.理由如下：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC,
180°=90°,
∴∠AEB=90°,
同理可得 ∠DFC = ∠DMA = ∠BNC = 90°,
∴∠AEB=∠DFC=∠EMF=∠ENF=90°,
∴四边形 EMFN 是矩形.
∵ ∠ADC = ∠DAB = 90°, AE, DF 分别平分∠DAB,∠ADC,
∴∠MAD=∠MDA=45°,
∴△ADM 是等腰直角三角形，
∴DM=MA,
同理可得△CDF，△ABE 是等腰直角三角形，易得△CDF≌△BAE,
∴AE=DF,
∴AE-AM=DF-DM,即ME=MF,
∴四边形 EMFN 是正方形；
(3)不成立.理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AE,DF分别是∠BAD,∠ADC 的平分线,
∴∠AMD=90°,
∴∠EMF=90°,
同理可得∠E=90°,∠F=90°,
∴四边形 EMFN 是矩形.
根据已知条件，无法得到ME=MF，
∴无法确定四边形 EMFN为正方形，
∴(2)中结论不成立.
4.解:(1)①四边形AECF 为菱形,证明如下:如解图①,连接AF,AC.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠CFE=∠AEF,由折叠可知,∠AEF=∠CEF,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CE=CF,
由折叠的性质可知，EF 垂直平分AC，
∴AE=CE,AF=CF.
∴AE=CE=CF=AF,
∴四边形AECF 是菱形；
②∵四边形ABCD 是矩形,
在Rt△ABC 中,由勾股定理,得
设AE=x,则(
在 Rt△BCE 中,由勾股定理,得
解得
又∵
(2)DH=GH.证明如下:
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ADC=∠B=90°,
由折叠可知,∠AGC=∠B=90°,点 H 是 AC 的中点，
∴GH是Rt△ACG斜边AC上的中线,
同理可得
∴DH=GH;
(3)画出菱形 AHGD 如解图②;菱形 AHGD.(答案不唯一)专题 一次函数中的面积问题
一阶典例精讲
例 一题多设问如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 E(-2,1),直线 l 与 x轴,y轴分别交于点 B 和点 A，直线 l 与 x轴，y轴分别交于点 C 和点 D(0,-2).
(1)求直线l 和直线l 的函数解析式；
(2)求△ADE 的面积;
(3)F是直线l 上一点,若 求点 F的坐标；
(4)若点 P在x轴上,且 求点P的坐标；
(5)Q 是 y轴上一点,若 EQ 平分四边形AOCE 的面积,求点 Q 的坐标.
二阶针对训练
1.如图,直线 AB 与x 轴、y 轴分别交于点 A,B(0,2),直线 CD 与 x 轴、y 轴分别交于点C(4,0),D,直线AB与 CD交于点 P(1,p),且
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)求点D 的坐标.
2.如图，直线 分别交x轴，y轴于点A(-2,0),B(0,1),直线 m分别交x轴，y轴于点 C，D，与直线l 相交于点 E.已知
(1)求直线l 的函数解析式；
(2)当y >y 时，求x的取值范围；
(3)在坐标轴上是否存在一点 M，使得 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
3.如图①，一次函数 的图象与x轴交于点A,与y轴交于点 B(0,4),与正比例函数 的图象交于点C(6,12).
(1)求一次函数与正比例函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点 D，使△ACD的面积为24 若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图②,P 是x轴上一动点,过点 P 作y轴的平行线交直线 AC 于点 E，交直线 OC于点 F.当 EF长为4时,求点 P 的坐标.
一阶 典例精讲
例 解:(1)∵点E(-2,1)在直线 上，
∴-2k +3=1,解得
∴直线l 的函数解析式为y=x+3.
∵点E(-2,1)和点 D(0,-2)在直线 b上,
解得
∴直线l 的函数解析式为
(2)在直线l :y=x+3中,令x=0,得y=3,
∴点A 的坐标为(0,3),
∵点 D 的坐标为(0,-2),
∴AD=3-(-2)=5,
又∵点E坐标为(-2,1),
(3)由(2)得,点A 的坐标为(0,3),∴OA=3,
当 时,点 F 的坐标为(-2,1);
当 时,点 F 的坐标为(2,5),
∴点 F 的坐标为(-2,1)或(2,5);
(4)在直线l :y=x+3中,令y=0,得x=-3,
∴点B的坐标为(-3,0),
在直线 中,令y=0,得
∴点C的坐标为
∴CP=2BC,
设点 P 的坐标为(p,0),
可得 解得 或p=2,
∴点 P 的坐标为 或(2,0);
(5)由(2)得,点A的坐标为(0,3),∴OA=3,由(4)得,点B的坐标为(-3,0),∴OB=3,
设直线 EQ 与y轴交于点 Q(0,q),
解得
∴点 Q 的坐标为
二阶 针对训练
1. 解:(1)如解图,过点 P 作PE⊥y轴于点 E.
∵点 P 的横坐标是1,即 PE=1,点 B 的坐标为(0,2),即OB=2,
即
解得OA=2,∴点A 的坐标为(-2,0).
设直线AB的函数解析式为y= kx+b(k≠0),
将A(-2,0),B(0,2)代入,
得 解得
∴ 直线AB的函数解析式为y=x+2;
(2)∵点P(1,p)在直线AB:y=x+2上,
∴点 P 的坐标为(1,3).
∵点C(4,0),P(1,3)在直线CD上,
设直线 CD的函数解析式为y= mx+n(m≠0),
将C(4,0),P(1,3)代入,
得 解得
∴ 直线 CD 的函数解析式为y=-x+4.
当x=0时,y=4,
∴ 点 D 的坐标为(0,4).
2. 解:(1)∵直线 分别交x轴，y轴于点A(-2,0),B(0,1),∴将点A,B的坐标代入函数解析式，得 解得
∴ 直线l 的函数解析式为
(2)由点B(0,1)可得OB=1,
∴点C(3,0).
∵直线 交x轴于点C，
∴将点C(3,0)代入,得0=-2×3+m,解得m=6,
∴ 直线l 的函数解析式为
∵直线l 与直线l 交于点E，
∴令 解得x=2,
∴当y >y 时，即直线l 在直线l 的上方时，x的取值范围为x>2；
(3)存在.
由(2)得
∵直线l 与y轴交于点D，
∴点D 的坐标为(0,6),即OD=6.
∵OB=1,
∴BD=6-1=5.
分两种情况讨论：
①当点M在x轴上时，设点M的坐标为(t ，0)，由题意得
解得 或
∴此时点M的坐标为(8,0)或(-12,0);
②当点 M在y轴上时,设点M 的坐标为(0,t ),由题意得
解得 或
∴此时点M 的坐标为(0,6)或(0,-4).
综上所述，在坐标轴上存在点 M，使得 点M的坐标为(8,0)或(-12,0)或(0,6)或(0,-4).
3.解:(1)将点B(0,4),C(6,12)代入 中，得 解得
∴一次函数的解析式为
将点C(6,12)代入 中，得
解得
∴正比例函数的解析式为y=2x；
(2)存在.
在 中,令y=0,得x=-3,
∴点A的坐标为(-3,0).
∵点D在x轴上， 点C的纵坐标为12，
解得AD=4.
∵点D可以在点A 的左边，也可以在点A 的右边，
∴点D的坐标为(-7,0)或(1,0);
(3)设P(m,0),则
由题意得 解得m=0或m=12,
∴点 P的坐标为(0,0)或(12,0).专题 函数图象的分析与判断
类型 1 根据实际问题判断函数图象
1.明明晨跑时，刚开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后奋力加速跑完全程.下列最符合明明跑步时的速度y(单位：米/分钟)与时间x(单位：分钟)之间的大致图象的是( )
2.一天晚上，小明行走在一条笔直的路上，如图，有一盏路灯位于AB的中点，当小明从A点走到 B点的过程中，灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是 ( )
3.小乐从家以10km/h的速度骑自行车匀速前往离家30km的夏令营营地，出发 1 h后，家中的妈妈发现小乐没带水杯，立即驾车以30 km/h的速度沿小乐骑行的路线追赶小乐，追上后，又以同样速度原路返回家中.小乐离家到营地这段时间内，他与妈妈之间的距离y(单位：km)与他骑行时间x(单位：h)之间的函数图象大致是 ( )
类型2 根据函数图象判断实物类型
4.向一个容器内匀速注水直到注满为止，若容器内的水高h(单位：cm)与容器内的注水量V(单位：cm )之间的变化关系的图象大致如图所示，则这个容器的形状可能是( )
5.一天早上，小万沿花园匀速按顺时针方向散步，已知小万从花园的点 A 处开始散步，将小万看作动点 B，花园的中心为点 O.设在散步过程中，小万，点O，点A 所形成的夹角(∠AOB)的度数为y(此处 y≤180°),y随时间x变化的图象如图，则该花园的形状可能是 ( )
6.若向一个容器内匀速注水，最后把容器注满，在注水过程中，容器内的水面高度 h随注水时间t的变化情况如图所示，则这个容器的形状可以是 ( )
类型 3 动点问题判断函数图象
7.如图是一个放在水平地面上的领奖台，一只蚂蚁沿路线 A→B→C→D→E→F→G→H匀速爬行，设蚂蚁距离水平地面的高度为y(单位: cm),爬行时间为x(单位:s),则y与x关系的图象大致是 ( )
8. 如图,在 ABCD 中,AB=CD=2 cm,AD=BC=4 cm,E 是 ABCD 边上的一个动点,从A 点出发,沿 A→B→C→D 方向以2 cm/s 的速度匀速运动至 D 点停止.设三角形 ADE 的面积为 S(单位:cm ),运动时间为 t(单位：s)，则S 与 t 之间的图象可能是 ( )
类型4 从函数图象获取信息
9.李大爷从家出发去茶叶店买一些茶叶后再到朋友家喝茶，如图，s(单位：km)表示李大爷与朋友家之间的距离，t(单位：min)表示李大爷所用时间.下列说法：①李大爷家距离朋友家 1 km；②李大爷在茶叶店逗留了10 min；③李大爷从家到茶叶店的速度与从茶叶店到朋友家的速度相同；④李大爷共行走了6km，其中正确的是 (填序号).
10.已知A，B两车分别从甲、乙两地沿同一条高速公路同时出发，匀速 相向而行，途中A 车在某服务区休息了一段时间后，又以原速度继续前往乙地.两车距离甲地的距离s(单位：km)和时间 t(单位：min)之间的对应关系如图所示.
(1)图中的自变量是 ，自变量的函数是 ；
(2)求A 车的速度;
(3)当A 车到达乙地后，求B 车还需多久能够到达甲地
11. 如图①,在长方形ABCD中,动点 P 从点A出发，以每秒30个单位长度的速度沿折线A→B→C→D 的路径匀速向点 D 运动,同时动点 Q 从点 D 出发，以每秒 15 个单位长度的速度沿折线 D→C→B→A 的路径匀速向点A 运动,若AD=60,点 Q 在运动过程中，静止 1秒，P，Q两点在运动路径上相距的路程 s 和点 Q 运动的时间t(单位：秒)之间的图象如图②所示.
(1)AB= ,线段 表示点Q 停止运动,a= ;
(2) 当点 P 在 AB 上,t 为何值时,△BCP≌△DAQ
(3)若s=30,求A,P两点间的距离.
专题 函数图象的分析与判断
1. B【解析】明明刚开始时慢慢加速，速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，速度不变；最后奋力加速跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡，∴B选项的图象符合题意.
2. C【解析】由题意可知，小明从点A 走至路灯下，影长不断变短，从路灯下走至点 B，影长不断变长，故C选项符合题意.
3. C【解析】李壮出发1 h后，已骑行的路程为1×10=10(km),即在1 h时,两人相距10km;妈妈追赶李壮用时10÷(30-10)=0.5(h),∴在1.5 h时,两人相距0 km；妈妈追上李壮后，再回到家用时0.5 h,驾车路程为0.5×30=15(km),在同样的0.5 h中,李壮骑行路程为0.5×10=5(km),∴妈妈回到家时两人相距20km，∴在2h时，两人相距20 km；妈妈到家，李壮仍以原速赶往营地，∴营地距家30 km,∴李壮用时30÷10=3(h).
4. A【解析】根据图象可知，注水量V(cm )与水深h(cm)之间的关系分两部分，前一段时间h随着 V的增大而均匀增大，说明容器横截面积是不变的；后一段时间h随着V的增大而增加的速度逐渐加快，可以得出容器的横截面积是逐渐变小的，即开口越来越小，∴A选项符合题意.
5. A【解析】由图象可知，夹角的度数随着时间均匀先变大，后变小，且最大为180°，由于小万的速度也是匀速，∴花园为圆形.
6. D【解析】由图象可知，“AB”段的高度上升得最慢，“BC”段的高度上升得最快，所以中间的容器底面积最大，上面的容器底面积最小，故D 选项符合题意.
7. A【解析】由题图可知，蚂蚁在AB段匀速爬行时与地面距离匀速增加，在 BC段爬行时，与地面距离保持不变，始终为AB的高度，在 CD段爬行时，与地面距离匀速增加，在DE段爬行时，与地面距离保持不变，始终为CD+AB的高度，在 EF段爬行时，与地面距离减少，在 FG段爬行时，与地面距离不变，始终为GH的高度，在GH段爬行时，与地面距离不断减少，直至为0.
8. B 【解析】当点 E在AB上运动时,09.①②【解析】点 A 表示的是李大爷家距离朋友家1km，①正确；点B，C的横坐标之差为李大爷在茶叶店逗留的时间，∴李大爷在茶叶店逗留了10 min，②正确；李大爷从家去茶叶店的速度 李大爷从茶叶店到朋友家的速度 ∴李大爷从茶叶店到朋友家的速度较快，③错误；由题图知李大爷家距离茶叶店2km，∴李大爷走的总路程为2+3=5(km),④错误.综上所述,①②正确.
10.解:(1)t,s;
(2)由图象知，A车在服务区休息了10分钟，∴A车的速度为135÷(100-10)=1.5(km/ min)=90(km/h);
(3)∵A 车行驶了50 min到达服务区,
∴服务区与甲地的距离为1.5×50=75(km),
∵甲、乙两地相距135 km,
∴服务区与乙地的距离为135-75=60(km),
∴B车的速度为
∴B车到达甲地需用时
∵112.5-100=12.5(min),
∴当A车到达乙地后,B车还需12.5m in能够到达甲地.
11.解:(1)30,FG,9;
(2)∵四边形ABCD 是长方形,
∴AD=BC,∠B=∠D=90°,
∴当BP=DQ时,△BCP≌△DAQ,
即30-30t=15t,解得
∴当 时,△BCP≌△DAQ;
(3)由图象可得,当2∴A，P两点间的距离为 当3∴A，P两点间的距离为
∴当 s=30 时,A,P 两点间的距离为 50 或专题 特殊四边形有关的证明与计算
1.如图,在 ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,若∠AEF+∠C=180°,求证四边形BCFE 是平行四边形.
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,若AC=12,BD=16,AD=10,求证四边形ABCD 是菱形.
3.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,对角线AC,BD 相交于点 O,O 是 BD 的中点,过点D 作 DE∥AC 交 BA 的延长线于点 E 且DE=DB.求证四边形ABCD 是矩形.
4.如图,正方形ABCD 的边长为8,对角线AC,BD 相交于点 O,点 M,N分别在边 BC,CD上,且∠MON=90°,连接MN交OC 于点 P,若MC=3CN,求 MN的长.
综合训练
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D 是AC上一点,且AC=3AD,连接BD,E,F 分别为BC,BD 的中点,连接AF,EF,DE.
(1)求证四边形 ADEF 是平行四边形；
(2)若 CD=DE,AB=15,求 EF的长.
2.如图,在矩形ABCD中,连接AC,分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径，在线段AC 的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交AD,BC 于点 E,F,交 AC 于点 O,连接AF,CE.
(1)求证四边形AECF 为菱形;
(2)若 求四边形 AECF 的面积.
3.如图,在 ABCD中,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,点 F 在边 CD 上, DF = BE,连接AF,BF.
(1)求证四边形 BFDE 为矩形;
(2)若 AD=DF,∠DAB=50°,求∠AFB 的度数.
4.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点,连接DE,过点 E作EF⊥DE,交AB 于点 F,以 DE,EF 为邻边作平行四边形DEFG,连接AG.
(1)求证四边形 DEFG 为正方形;
(2)若AG+AE=1,求AC的长.
专题 特殊四边形有关的证明与计算
一阶 大题小练
1.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC,∴∠AEF+∠EFD=180°.
∵∠AEF+∠C=180°,
∴∠C=∠EFD,∴BC∥EF.
∵AB∥CD,∴四边形 BCFE 是平行四边形.
2.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,AC=12,BD=16,
在△AOD中,
∴△AOD 是直角三角形,∠AOD=90°,即AC⊥BD,
∴四边形ABCD 是菱形.
3.证明:∵O 是DB 的中点,∴OD=OB.
∵AB∥CD,∴∠DCO=∠BAO,
在△DOC 和△BOA 中,
∴△DOC≌△BOA(AAS),∴DC=BA.
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形,
∵DC∥EB,CA∥DE,
∴四边形 DEAC 是平行四边形,∴DE=CA.
∵DE=DB,∴DB=CA,
∴四边形ABCD 是矩形.
4.解：∵四边形ABCD 是边长为8的正方形，
∴OB=OC,BC=8,BD⊥AC,
∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°.
∵∠BOC=∠BOM+∠COM=90°,∠MON=∠COM+∠CON=90°,
∴∠BOM=∠CON.
在△OBM 和△OCN中
∴△OBM≌△OCN(ASA),
∴BM=CN,
∵MC=3CN,∴MC=3BM,
∵BM+MC=BC=8,∴4BM=8,即BM=2,
∴CN=BM=2,MC=3BM=6,
在 Rt△MCN中,
二阶 综合训练
1. (1)证明:∵E,F分别为BC,BD的中点,
∴ EF 是△BCD 的中位线,
∴EF∥CD,CD=2EF,∴EF∥AD.
又∵AC=3AD,∴CD=2AD,
∴AD=EF,∴四边形ADEF 是平行四边形;
(2)解:∵F是BD的中点,∠BAC=90°,∴BD=2AF.
由(1)知,四边形 ADEF 是平行四边形,AD=EF,∴DE=AF.
∵CD=DE,∴BD=2AF=2DE=2CD.
又∵CD=2AD,∴BD=4AD.
在 Rt△ABD中,
解得 (负值已舍去)，
2. (1)证明:由题意可知,EF 垂直平分AC,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE 和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF,
∴AE=CE=CF=AF,
∴四边形AECF为菱形；
(2)解:设AF=CF=x,则BF=3-x,
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=90°,
在 Rt△ABF中,由勾股定理,得
解得x=2,
∴AF=CF=2,
3.(1)证明:∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴DC∥AB,即DF∥BE.
又∵DF=BE,
∴四边形 BFDE 为平行四边形.
又∵DE⊥AB,即∠DEB=90°,
∴四边形 BFDE 为矩形;
(2)解:∵AD=DF,∴∠DAF=∠DFA.
∵DC∥AB,∴∠DFA=∠FAB,
∴∠DAF=∠FAB,
∴AF平分∠DAB,
∵∠DAB=50°,
∴∠FAB=25°.
∵四边形 BFDE 为矩形,
∴∠FBA=90°,
∴∠AFB=180°-∠FBA-∠FAB=65°.
4.(1)证明:如解图,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M,作EN⊥AD 于点 N,
易知四边形 AMEN 是矩形，
又∵∠CAB=∠CAD=45°,
∴∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°,
∴AN=EN=MA=EM,
∴四边形 AMEN 是正方形，
∴∠FEM+∠FEN=90°,
又∵EF⊥DE,∴∠FEN+∠DEN=90°,
∴∠FEM=∠DEN,在△FEM与△DEN中,
∴△FEM≌△DEN(ASA),∴EF=ED,
∵四边形 DEFG 为平行四边形，
∴四边形 DEFG 为菱形,
∵DE⊥EF,
∴四边形 DEFG为正方形；
(2)解:∵由(1)得,四边形 DEFG为正方形,∴DG=DE,∠ADG+∠ADE=∠EDG=90°,又∵∠CDE+∠ADE=90°,∴∠ADG=∠CDE,在△ADG与△CDE中, ∴△ADG≌△CDE(SAS),∴AG=CE,又∵AG+AE=1,∴CE+AE=AC=1,∴AC 的长为1.专题 勾股定理及逆定理的证明与计算
教材原题改编练
教材原题 (教材P37 第3题)
如图,在四边形 ABCD 中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,求四边形ABCD的面积.
改编1 删除线段AC，求角度
如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=4 CD= 15,AD = 17,∠B = 90°,求 ∠BCD 的度数.
改编2 改为凹四边形
某校计划在如图所示的空地上种植草皮，经测量,∠ABC=90°,AB=8m,BC=6m,CD=24m,AD=26m,求需要购买草皮的面积.
改编3 增加线段，求长度
如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AD=2.连接BD,AC,若AC=CD,求对角线 BD 的长.
针对训练
1. 如图,在△ABC与△ACD中,AB边与 CD 边相交于点 E，已知AB=BC=4,AC=4,AD=2,CD=6.
(1)求∠DAE 的度数;
(2)求△BCE 与△ADE 的面积差.
2.如图①是一种太阳能路灯，图②是其几何示意图，它由灯杆 BC 和灯管支架 AB 两部分组成，灯杆 BC 垂直于地面，灯杆与灯管支架的夹角呈120°(∠ABC=120°).已知灯管支架 AB=1.5 米,灯罩轴线 AD 与支架AB 垂直，若要使灯光沿灯罩轴线 AD 正好通过道路路面的中心线，点D 在中心线处且 CD=6米，则灯杆应该设计的高度为多少米(参考数据： 结果保留小数点后两位)
3. 如 图，在四边形ABCD 中,AD=DC,∠ABC=30°,∠ADC=60°,连接 BD.试判断:以 AB,BC,BD 的长度为边长，能否组成直角三角形 并说明理由.下面是小红的解题过程：
解：以AB，BC，BD 的长度为边长，能够组成直角三角形，
理由：如图，以BC 为边作等边三角形 BCE；连接AE,AC,
∵∠ABC=30°,∠CBE=60°,
∴∠ABE=90°,
教材原题 解:在Rt△ABC中,
∴ △ACD 是直角三角形,∠ACD=90°,
改编1 解：如解图，连接AC，
∵∠B=90°,AB=BC=4
∴∠ACB=45°,
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
∵CD=15,AD=17,
∴ △ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∴ ∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+90°=135°.
改编2 解：如解图，连接AC，
∵AB=8m,BC=6m,∠ABC=90°,在 Rt△ABC中，根据勾股定理，得
∵CD=24m,AD=26m,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∴ 需要购买草皮的面积为96 m .
改编3 解:∵∠ABC=90°,AB=BC=1,在Rt△ABC中, ∠BAC=45°,
∴在△ACD中,
∴ △ACD 是等腰直角三角形,∠ACD=90°,
∴∠CAD=45°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
在Rt△BAD中,
∴ 对角线 BD 的长为
针对训练
1.解:(1)∵AB=BC=4,AC=4
∴ △ABC 为等腰直角三角形,∠ABC=90°,∠BAC=45°,
∵AD=2,CD=6.
∴ △ACD 为直角三角形,∠DAC=90°,
∴∠DAE=∠DAC-∠BAC=45°;
(2)由(1)可知
2.解:如解图,分别延长CB,DA 相交于点 E,∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,由题意得 BA⊥DE,∴∠BAE=90°,
∴∠E=30°,
∵AB=1.5米,∴BE=2AB=3(米),
∵∠C=90°,∠E=30°,CD=6米,
∴DE=2CD=12(米),
在 Rt△CDE中, (米),
(米).
∴灯杆应该设计的高度约为7.39米.
3.解：补全解题过程如下：
∵AD=DC,∠ADC=60°,∴△ADC 是等边三角形,
∴∠DCA=60°,DC=AC.
∵△BCE 是等边三角形,
∴∠BCE=60°,BC=EC,
∴∠DCA+∠ACB=∠BCE+∠ACB,
即∠DCB=∠ACE,
在△DCB与△ACE中
∴△DCB≌△ACE(SAS),∴BD=EA.
故以AB，BC，BD的长度为边长，能够组成直角三角形.专题二 勾股定理及逆定理的综合运用
类型 1 网格中的应用
1.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，若 BD 是△ABC 的高,则 BD 的长为 ( )
A. B.
C. D.
2.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则∠ACB 的度数是 .
3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)试判断线段 AB 与线段 BC 的位置关系，并说明理由；
(2)请在格点上确定一点 D，使∠ADC=90°，并求出四边形ABCD 的面积(写出一种情况即可).
类型 2 折叠中的应用
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D为边 BC 上一点,连接AD,将直角边AC沿AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合,则 S△ABD 的值为 .
5.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P 是边 AB 上一点,连接 CP,将△ACP 沿 CP 翻折得到△QCP,且 PQ⊥AB,则 BP 的长为 .
6.如图,在矩形ABCD 中,AB=12,BC=18,将矩形 ABCD 沿 MN 折叠,使点 C 与点 A 重合,D 落在点 E 处,连接DE.
(1)求证△ABM≌△AEN;
(2)求 BM 和AM 的长.
类型3 最短距离中的应用
7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1,2),(2,1),若C是y轴上一动点，则AC+BC的最小值为 ( )
A. 3 B. 4 C. D. 4
8.如图，圆柱体的底面周长为8cm ，高AB 为3cm，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从点 D出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 B，则爬行的最短路程为 cm.
9.如图,在 Rt△ACB 中,∠B=90°,AB=3AM平分∠BAC 交 BC 于点 M,AM=6,N为边AC上一点，求线段 MN的最小值.
类型 4 实际问题中的应用
10.我国古代数学典籍《九章算术》记载了这样一道题，其大意是：一根竹子原高一丈(一丈=10尺)一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，折断处离地面的高度为x尺，则根据题意可得 ( )
A. B.
C. D.
11.如图，为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块四边形平地ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板.已知运动型塑胶地板的价格为200 元/m ,经测量∠B =90°,AB =6 m,BC=8m,CD=5m ,AD=5 m.
(1)求A，C两点之间的距离；
(2)求购买运动型塑胶地板的费用.
专题二 勾股定理及逆定理的综合运用
1. D【解析】由勾股定理得
2.45°【解析】∵ 每个小正方形的边长都是 1， 是等腰直角三角形,∴∠ACB=45°.
3.解:(1)AB⊥BC,理由如下:
根据勾股定理，得
∴△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,
∴AB⊥BC;
(2)点 D位置如解图所示，
根据勾股定理，得
∴△ADC为直角三角形,∠ADC=90°,
(答案不唯一).
4. 15 【解析】由折叠的性质可得,AE=AC=6,CD=DE,∠ACD=∠AED=∠DEB=90°,在 Rt△ABC中, AE=10-6=4,设CD=DE=x,则DB=BC-CD=8-x,在 Rt△DEB 中,由勾股定理,得 解得
5. 【解析】如解图,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,由翻折的性质得∠APC =∠QPC. ∵ PQ⊥AB,
∴∠APQ=∠QPB=90°,则∠APC=∠QPC=135°,∴∠BPC+∠QPB=135°,∴∠BPC=45°.∵ CH⊥AB,∴ CH=PH,在 Rt△ABC 中, 在 Rt△BCH 中,
6. (1)证明:根据折叠的性质可得 AE=CD,∠C=∠MAE=90°,∠CDA=∠AEN=90°,根据矩形的性质可得 AB = CD = AE,∠BAD =∠MAE=90°,∠B=∠CDA=∠AEN=90°,∴∠BAD-∠MAN=∠MAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN,
在△ABM 和△AEN中
∴△ABM≌△AEN(ASA);
(2)解:设 BM=x,则MC=AM=18-x,
在 Rt△ABM 中,
即
解得x=5,
∴BM=5,AM=13.
7. C 【解析】如解图,连接AB交y轴于点 C,∵两点之间线段最短，∴此时AC+BC 取得最小值，最小值为线段AB 的长度.∵A(-1,2),B(2,1),∴AB=
8.5【解析】圆柱体的侧面展开图如解图所示，则AC的长为蚂蚁爬行的最短路程，∵底面周长为8cm，∴侧面展开图中BC=B'C=4 cm.又∵AB=3cm,∴在 Rt△ABC 中,
∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm .
9.解:如解图,过点 M 作 MH⊥AC 于点 H,由垂线段最短可得，当点 N 与点 H 重合时，线段MN的值最小，
∴在 Rt△ABM中,
∵AM平分∠BAC,BM⊥AB,MH⊥AC,
∴ MH=BM=3,
故线段 MN的最小值为3.
10. A 【解析】如解图,∵原来竹子高9尺,∴AB+AC=9(尺),∵AB为x尺,∴AC为(9-x)尺,由题意易知 即
11.解:(1)如解图,连接AC,
∵∠B=90°,AB=6m,BC=8m,
∴ 在 Rt △ABC 中,根据勾股定理,得 AC =
∴A,C两点之间的距离为10m;
(2)由(1)得AC=10m,
∴ △ACD 是直角三角形,且∠ACD=90°,
49×200=9800(元),
∴购买运动型塑胶地板的费用为9800元.专题五 一次函数的实际应用
1.某校开展了“丝绸之路”文化竞赛，并购买了A，B两种奖品共30件作为竞赛奖品.已知A 种奖品每件 50 元，B种奖品每件 60元.设购买A种奖品x件，购买这30件奖品共花费y元.
(1)求 y与x之间的函数解析式；
(2)根据奖励设置需求，A种奖品的数量是B种的 2 倍，则购买这些奖品共花费多少元
2.某药商用8 000 元购进一批新鲜的怀菊，若将新鲜的怀菊直接销售，售价为 25 元/千克，若将新鲜的怀菊储存一个月变成干怀菊再销售，售价为30元/千克，但质量每千克会减少5%，还需要租用储存的仓库，租金为400元/月.
(1)若储存一个月再销售，所得的总利润是直接销售总利润的1.5倍，求新鲜怀菊的进价；
(2)在(1)的结论下，第二次药商进货时，计划购进新鲜怀菊的数量不少于干怀菊数量的 ，已知购进干怀菊的价格为24元/千克，且计划购进两种怀菊共300千克，应如何设计进货方案才能获得最大利润 最大利润是多少
3.快递公司有甲、乙两辆货车负责A，B两地之间的物流运输.某日，甲车从A 地驶往 B 地，乙车从B 地驶往A地，两车按照相同的路线同时出发，甲车在行驶过程中速度始终保持不变，乙车先以v (单位：km/h)的速度匀速行驶，与甲车相遇后再以v (单位；km/h)的速度继续匀速行设甲车距 B 地的路程为 y (单位：km)，乙车距B 地的路程为y (单位；km)，行驶时间为x(单位；h)，y与x的函数图象如图所示.
(1)求甲车距 B 地的路程y 与行驶时间x的函数解析式；
(2)求两车相遇前，乙车的速度v ；
(3)相遇后，乙车继续行驶的速度 v 较相遇前行驶的速度v 增加了多少
4.为筹备校园文化艺术节，展现多元艺术魅力，学校计划采购一款民族舞蹈头饰和经典话剧面具两种特色道具.已知采购2个舞蹈头饰和6个话剧面具共需130元，且采购3个舞蹈头饰与采购4个话剧面具所需费用相同.
(1)求舞蹈头饰和话剧面具的单价；
(2)结合节目编排需求，学校决定购买舞蹈头饰和话剧面具共 100个(其中舞蹈头饰不超过 50 个).商家推出专属优惠活动如下：
活动一 舞蹈头饰八折，话剧面具四折
活动二 购买一个舞蹈头饰，送一个话剧面具
请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买这两种特色道具更实惠.
5.【项目背景】水钟是我国古代一种常用的计时仪器.
【任务驱动】综合实践小组的同学准备制作一个简易水钟，并设计了下面的方案.
【实验工具】两个空的塑料水瓶、一台精密电子秤.
【方案设计】如图①，小组同学用两个水瓶制作了一个简易水钟模型，向上方的瓶子注入水后，水可以通过瓶盖上的小孔滴落在下方的水瓶内，每隔一段时间暂停实验，并取下模型下方的水瓶，将其放置在精密电子秤上并读取电子秤的读数来计时.
【实验数据】在水量足够的情况下，小组同学每隔2小时取下模型下方的水瓶，利用精密电子秤得到一组数据并记录，结果如下表：
滴水时间x(小时) 0 2 4 6 8
电子秤读数y(克) 60 180 300 420 540
【问题解决】
(1)如图②，横坐标表示滴水时间x，纵坐标表示精密电子秤的读数y，请在网格中描出以表中各组数据为坐标的点；
(2)请你依次将(1)中描出的各点连起来，根据所得函数图象建立适当的函数模型，并求出该函数的解析式；
(3)已知模型下方的水瓶可以近似看作圆柱体，且其底面积为25 cm ，为了快速读取时间，从水瓶底部开始，每隔1小时画一条线，则每条线之间的距离是多少(提示：1克水的体积为1 cm )
专题五 一次函数的实际应用
1.解：(1)由题可知，购买A种奖品x件，则购买B种奖品(30-x)件,
∴y=50x+60(30-x)=-10x+1 800,
∴y与x之间的函数解析式为y=-10x+1 800(0(2)由题可得 解得x=20,当x=20时,y=-10×20+1 800=1 600,∴购买这些奖品共花费1 600元.
2.解：(1)设药商今年共购进新鲜怀菊x千克，则储存后的干怀菊重量为(1-5%)x千克，
根据题意，得直接销售的总利润为(25x-8000)元，储存一个月再销售的总利润为 30(1-5%)x-8 000-400=(28.5x-8 400)元,
∴28.5x-8400=1.5(25x-8 000),解得x=400,
∴新鲜怀菊的进价为8000÷400=20(元/千克);
(2)设第二次药商购进干怀菊m千克，则购进新鲜怀菊(300-m)千克.
∵购进新鲜怀菊数量不少于干怀菊数量的
解得m≤180,
设利润为w元，
根据题意得w=(25-20)(300-m)+(30-24)m=m+1 500.
∵m的系数为1,1>0,
∴w随m的增大而增大，
∴当 m =180 时,w 取得最大值,最大值为 180+1 500=1 680(元),
此时300-m=300-180=120.
答：第二次药商购进新鲜怀菊120千克，购进干怀菊180千克时，才能获得最大利润，最大利润是1 680元.
3.解：(1)由题意设甲车距B地的路程y与时间x的函数解析式为y= kx+b(k≠0),
由题图可知点(0,300),( ，0)在该函数图象上， 解得
∴甲车距B地的路程y与时间x的函数解析式为y=-90x+300;
(2)由题图可知，当行驶时间为2 h时，甲、乙两车相遇，甲、乙两车距B地的路程相等，
将x=2代入y=-90x+300,得y=-90×2+300=120,即相遇时甲车距B地的路程为120km，
∴相遇时，乙车行驶的路程为120km，
∴相遇前乙车的速度
(3)由题图可知，乙车在相遇后继续行驶了2 h到达A地，A地与B地的距离为300km，
结合(2)可知甲、乙两车相遇时，乙车距A地的路程为300-120=180(km),
∴相遇后乙车继续行驶的速度
∴相遇后乙车继续行驶的速度v 较相遇前增加了30 km/h.
4.解：(1)设舞蹈头饰的单价为x元，话剧面具的单价为y元.
根据题意，得 解得
∴舞蹈头饰的单价为20元，话剧面具的单价为15元;
(2)设购买舞蹈头饰 m 个，则购买话剧面具(100-m)个,其中m≤50,设总费用为W元,
按活动一购买这两种特色道具的总费用为 0.8·20m+0.4×15(100-m)=(10m+600)元;
按活动二购买这两种特色道具的总费用为 20m+15(100-2m)=(-10m+1500)元.
当 时,即10m+600=1500-10m,解得m=45;当 时,即10m+600<1500-10m,解得m<45;当 时,即10m+600>1500-10m,解得m>45.
∵m≤50,
∴当购买舞蹈头饰45个，话剧面具55个时，两种优惠活动效果相同；当购买舞蹈头饰小于45个，活动一更实惠；当购买舞蹈头饰大于45个，小于50个时，活动二更实惠.
5.解：(1)描出各点如解图所示；
(2)依次连接各点如解图所示，
设该函数图象对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0)
将点(0,60),(2,180)代入函数解析式中可得
解得
∴该函数的解析式为y=60x+60;
(3)由(2)可知y=60x+60,
∴当x每增加1时,y增加60.
∴每隔1小时，下方水瓶内的水增加60克.
∵1克水的体积为1 cm ,
∴60克水的体积为60 cm .
∵模型下方水瓶的底面积为25 cm ,且60÷25=2.4(cm),
∴每条线之间的距离为2.4cm.

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