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2026全国版高中数学突破练
突破练4　基本不等式
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广东汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.不存在
2.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是(　　)
A.a+b≥2 B.≥2
C.≥2 D.a2+b2>2ab
3.(2025·湖北武汉模拟)已知实数a,b满足(-2)·(-3)=6,则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·广东揭阳三模)“物竞天择,适者生存”是大自然环境下选择的结果,森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位:分米/秒)时的跳跃高度H(单位:米)近似满足v2=的等量关系,则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　　)
A.0.2米 B.0.25米
C.0.45米 D.0.7米
5.(2026·山西临汾模拟)若0A.1 B.4
C.2+2 D.3+2
6.(2025·青海西宁二模)若2a+2b=1,则(2a+1)(2b+1)的最大值为(　　)
A. B. C. D.
7.(原创)已知x>0,y>0,且x+y-xy+8=0,则xy的最小值为(　　)
A.4 B.8
C.16 D.32
8.(多选)(2026·湖南株洲开学考试)若对于任意x>0,≤a恒成立,则实数a的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
9.设实数a>0,x+(x>-2)的最小值为6,则a=　　　　　.
10.(2025·河北石家庄模拟)已知x,y∈R+,则的最小值为　　　　　.
能力·高分练
11.(2025·四川名校大联考)已知实数x,y满足5x>y>0,则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
12.(原创)(多选)已知正实数x,y满足x+2y=1,则(　　)
A.xy> B.x2+y≥
C.≥3+2 D.x+≥2
13. 如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=2,设点K是△ABC内一点,现定义f(K)=(x,y,z),其中x,y,z分别是三棱锥K-PAB,K-PBC,K-PAC的体积,若f(K)=(a,,b),则的最小值为　　　　　.
素养·提升练
14.函数f(x)=2x-+ln x,若f(m)+f()=0,则3m+的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.2 D.1
参考答案
1.C　由基本不等式得ab=4,当且仅当a=b=2时等号成立,C正确.
故选C.
2.C　因为同号,所以2=2.
3.B　因为(-2)(-3)=6,所以2a+3b=1.因为ab=2a×3b)2=,当且仅当2a=3b=,即a=,b=时等号成立,
故ab的最大值为故选B.
4.B　由v2=可知v2-Hv4=4H,故H=,当且仅当v2=2,即v=时,等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选B.
5.D　因为00,则=()·[x+(1-x)]=3+3+2,当且仅当,即x=-1时,等号成立,取得最小值3+2故选D.
6.C　因为2a+2b=1,所以(2a+1)(2b+1)=2a·2b+2a+2b+1=2a·2b+2+2=,当且仅当2a=2b,即a=b=-1时等号成立.故选C.
7.C　由题意可知xy=x+y+8≥2+8,当且仅当x=y时等号成立,即xy-2-8≥0,令=t(t>0),则t2-2t-8≥0,解得t≥4或t≤-2(舍),即4,xy≥16.故选C.
8.ACD　因为x>0,所以,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.因为对于任意x>0,a恒成立,所以a,符合条件的有,故A,C,D正确;,故B错误.
9.16　由于a>0,x+2>0,根据基本不等式x+=x+2+-2≥2-2=2-2,当且仅当x=-2时,x+(x>-2)取到最小值2-2,即2-2=6,解得a=16.
10.3　-1≥2-1=3,当且仅当,即y=x时等号成立.
11.C　因为5x>y>0,所以,所以2,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为故选C.
12.CD　对于A,x+2y=1≥2,当且仅当x=2y=时,等号成立,则xy,故A错误;对于B,由x+2y=1,则y=-x+,由x>0,y>0,则02,故D正确.故选ACD.
13.2+4　由定义得a++b=22×2,∴a+b=1,=() (a+b)=4+4+2=4+2(当且仅当b=a时等号成立),即最小值为2+4.
14.C　由f'(x)=2+>0得函数f(x)单调递增,由f(x)=-2·()+-ln()=-f(),∴f(x)+f()=0,则,即m=n2,3m+=3n2+2=2,当且仅当n2=时,等号成立.故选C.
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