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2026全国版高中数学突破练
突破练25　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·上海模拟)化简sin(170°-α)cos(70°+α)-cos(10°+α)sin(70°+α)=(　　)
A.1 B.
C.- D.-
[错题笔记]
2.(2025·北京顺义模拟)已知α为第二象限角,且cos α=-,则sin(α+)=(　　)
A. B.-
C. D.-
[错题笔记]
3.已知sin(α+β)=2cos(α-β),tan α+tan β=,则tan αtan β=(　　)
A.3 B.-3
C. D.-
[错题笔记]
4.(2025·重庆质检)已知角α,β满足tan α=,2sin β=cos(α+β)sin α,则tan β=(　　)
A. B. C. D.2
[错题笔记]
5.(2025·上海模拟)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为(　　)
A.1 B.
C.2 D.3
[错题笔记]
6.(2025·江苏南通模拟)已知tan αcos(-α)-cos(+α)=0,α∈(,π),则=(　　)
A.2-2 B.2+2
C.3+2 D.3-2
[错题笔记]
7.(多选)(2025·江苏南通模拟)若α+β=π,则下列等式一定成立的是(　　)
A.sin α+sin β=0
B.cos α+cos β=0
C.cos αcos β-sin αsin β=-1
D.sin αcos β+cos αsin β=1
[错题笔记]
8.(2026·浙江杭州开学考试)已知α,β∈(0,),若sin αsin β=,cos αcos β=,则tan(α+β)=　　　　　.
[错题笔记]
9.(一题多解)(2024·新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
10.(原创)若cos xcos y+sin xsin y=,sin 2x+sin 2y=,则sin(x+y)=(　　)
A.- B.
C. D.
[错题笔记]
11.(多选)(2025·山西模拟)已知0<α<β<,且<α+β<π,若cos αcos β=,tan α+tan β=,则(　　)
A.sin(α+β)=
B.sin αsin β=
C.α-β=-
D.tan α=
[错题笔记]
12.已知cos(+θ)=,θ∈(0,),则=　　　.
[错题笔记]
13.(一题多解)在钝角△ABC中,已知+cos C=0,tan A=,则tan B=　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
14.(原创)已知sin xcos y=,则sin ycos x的取值范围是(　　)
A.[0,] B.[-,1]
C.[-] D.[-,0]
[错题笔记]
15.(2025·江苏南通模拟)使得(sin 11°-cos 11°)tan θ=sin 11°+cos 11°成立的θ的一个值为　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.C　sin(170°-α)cos(70°+α)-cos(10°+α)sin(70°+α)=sin[180°-(10°+α)]·cos(70°+α)-cos(10°+α)sin(70°+α)=sin(10°+α)cos(70°+α)-cos(10°+α)·sin(70°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-sin 60°=-
2.B　因为α为第二象限角,且cos α=-,
所以sin α=,则sin(α+)=sin α+cos α+(-=-
3.D　∵sin(α+β)=2cos(α-β),
∴sin αcos β+cos αsin β=2(cos αcos β+sin αsin β),∴tan α+tan β=2(1+tan αtan β),又tan α+tan β=,=2(1+tan αtan β),解得tan αtan β=-
4.C　因为2sin β=2sin(α+β-α)=2sin(α+β)cos α-2sin αcos(α+β)=cos(α+β)sin α,
整理得,2sin(α+β)cos α=3sin αcos(α+β),
即tan(α+β)=tan α=,
所以tan β=tan(α+β-α)=
5.A　因为f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ·cos(x+φ)
=sin[φ+(x+φ)]-2sin φcos(x+φ)
=sin φcos(x+φ)+cos φsin(x+φ)-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x,故其最大值为1.
6.C　因为tan αcos(-α)-cos(+α)=0,所以tan αcos(-α)-sin(-α)=0,又α∈(,π),所以cos(-α)≠0,所以tan α-tan(-α)=0,
即tan α-=0,解得tan α=-1或tan α=--1,
因为α∈(,π),所以tan α=--1,
所以=
=
=3+2
7.BC　对于A,α+β=π,则β=π-α,sin α+sin β=sin α+sin(π-α)=sin α+sin α=2sin α,sin α不一定为0,故A错误;
对于B,α+β=π,则β=π-α,cos α+cos β=cos α+cos(π-α)=cos α-cos α=0,故B正确;
对于C,cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=cos π=-1,故C正确;
对于D,sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=sin π=0,故D错误.
8.-7　因为α,β∈(0,),所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)>0.
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β==-,所以sin(α+β)=,
所以tan(α+β)==-7.
9.-　(方法1)由题意得tan(α+β)==-2,
因为α∈(2kπ,2kπ+),β∈(2mπ+π,2mπ+),k∈Z,m∈Z,
所以α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k∈Z,m∈Z,
又因为tan(α+β)=-2<0,
所以α+β∈( (2m+2k)π+,(2m+2k)π+2π),k∈Z,m∈Z,则sin(α+β)<0,
则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-
(方法2)因为α为第一象限角,β为第三象限角,所以cos α>0,cos β<0,
cos α=,
cos β=,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β==
==-
10.C　由题知cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y=sin 2x+sin 2y=,
∴sin 2x+sin 2y=sin[(x+y)+(x-y)]+sin[(x+y)-(x-y)]=2sin(x+y)cos(x-y)=,
即sin(x+y)cos(x-y)=,
∴sin(x+y)=
11.AD　A选项,由tan α+tan β=,得,所以
,则,所以sin(α+β)=cos αcos β=,故A正确;
B选项,由<α+β<π,得cos(α+β)=-=-,
即cos αcos β-sin αsin β=-,
又cos αcos β=,解得sin αsin β=,故B错误;
C选项,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,又0<α<β<,故-<α-β<0,所以α-β=-,故C错误;
D选项,由α-β=-,得tan(α-β)==-1,所以tan α-tan β=
-1-tan αtan β=-1-=-1-=-,与tan α+tan β=联立,得tan α=,故D正确.
12　令+θ=x,则x∈(),θ=x-,原题目变为:已知cos x=,x∈(),求的值.因为cos x=,x∈(),所以sin x=,tan x=,
所以(1+tan x)=(1+)=故
13　(方法1)由+cos C=0,tan A=>0,得C>,cos(A+B)sin B=sin A=sin[(A+B)-B]=sin(A+B)cos B-cos(A+B)sin B,
则2cos(A+B)sin B=sin(A+B)cos B,
所以tan(A+B)=2tan B.
又tan A=tan[(A+B)-B]=,
从而有+2tan B=2,tan B>0.又因为+2tan B≥2=2,当且仅当=2tan B时等号成立,所以=2tan B,所以tan B=
(方法2)由+cos C=0得sin A+sin Bcos C=0,又C>,
则sin(B+C)+sin Bcos C=0,
即2sin Bcos C+cos Bsin C=0,
从而有2tan B+tan C=0.
已知tan A=,则tan A=-tan(B+C)=-,得2tan2B-2tan B+1=0,解得tan B=
14.C　设cos xsin y=t,则+t=sin x·cos y+cos xsin y=sin(x+y)∈[-1,1],得t∈[-];-t=sin xcos y-cos xsin y=sin(x-y)∈[-1,1],得t∈[-].综上,知t∈[-],即sin ycos x的取值范围是[-].
15.-56°(答案不唯一,满足θ=-56°+k·180°,k∈Z即可)　∵(sin 11°-cos 11°)·tan θ=sin 11°+cos 11°,
∴tan θ==-=-=
-tan(45°+11°)=-tan 56°=tan(-56°),
∴θ=-56°+k·180°,k∈Z.
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