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2026全国版高中数学突破练
突破练26　三角恒等变换
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2021·全国乙,文6)cos2-cos2=(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
2.(2025·四川凉山三模)已知cos θ=-,θ∈(0,π),则tan=(　　)
A.- B.
C.-2 D.2
[错题笔记]
3.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”(又称黄金分割法)在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.经研究,黄金分割比t=≈0.618还可以表示成2sin 18°,则tan 12°=(　　)
A.4 B.2 C.1 D.
[错题笔记]
4.(2025·福建福州模拟)若α,β∈(,π),且tan α=,则下列结论正确的是(　　)
A.2α-β= B.2α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
[错题笔记]
5.(2025·江苏如皋模拟)已知x,y∈(0,),cos(x+y)=-,sin 2x-sin 2y=-,则tan 2x=(　　)
A. B.
C.- D.-
[错题笔记]
6.(多选)(2025·辽宁大连模拟)计算下列各式的值,其结果为1的有(　　)
A.sin 50°(1+tan 10°)
B.
C.(1+tan 18°)(1+tan 27°)
D.4sin 18°cos 36°
[错题笔记]
7.(多选)(2025·山东聊城三模)已知sin(α-β)=-,sin αcos β=,则(　　)
A.cos αsin β=- B.sin(α+β)=
C.3tan α=2tan β D.sin 2αsin 2β=
[错题笔记]
8.若θ∈(),且tan 2θ+4tan(θ-)=0,则cos θ=　　　.
[错题笔记]
9.(原创)已知,则=　　　.
[错题笔记]
10.(15分)(2025·广东清远模拟)已知向量m=(2,sin α),n=(1,cos α),其中α∈(0,),且m∥n.
(1)求sin 2α和cos 2α的值;
(2)若sin(α-β)=,且β∈(0,),求角β.
能力·高分练
11.(2025·山西模拟)若cos(α+β)cos β=,tan(α+β)=,则cos 2α=(　　)
A.-1 B.-1
C.-1 D.-1
[错题笔记]
12.(2025·江苏盐城模拟)若cos α+cos β=,cos(α-β)=-,其中α,β∈(0,π),则sin α+sin β=(　　)
A. B.
C. D.
[错题笔记]
13.(原创)已知α为锐角,且(-tan 10°)·cos α=1,则α=　　　.
[错题笔记]
14.(一题多解)(2022·浙江,13)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　　,cos 2β=　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(多选)(2025·湖北模拟)已知单位圆O的内接正n边形A1A2A3…An的边长、周长和面积分别为an,Ln,Sn,则下列结论正确的是(　　)
A.an=2cos B.=cos
C.=cos D.Ln(2-)=4Sn
[错题笔记]
16.(2025·陕西汉中二模)设tan是关于x的方程x4+ax3-6x2-4x+1=0的一个实根,其中a为常数,则a=　　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.D　原式=cos2-cos2()=cos2-sin2=cos
2.D　∵cos θ=-,θ∈(0,π),
∴sin θ=,
∴tan=2.
3.C　由题意知,t=2sin 18°,
则tan 12°=
==1.
4.D　tan α==tan(),
因为α,β∈(,π),所以(-,0),所以α=π+,得2α+β=
5.C　因为2sin(x-y)cos(x+y)=2(sin xcos y-cos xsin y)(cos xcos y-sin xsin y)=2(sin xcos xcos2y-sin y·cos ysin2x-sin ycos ycos2x+sin x·cos xsin2y)=2[sin xcos x(cos2y+sin2y)-sin ycos y(cos2x+sin2x)]=2(sin xcos x-sin ycos y)=sin 2x-sin 2y,
由题意可知sin 2x-sin 2y=-,cos(x+y)=-,所以sin(x-y)=
因为x,y∈(0,),sin(x-y)>0,cos(x+y)<0,
所以x-y∈(0,),x+y∈(,π),
所以cos(x-y)=,sin(x+y)=
因为sin 2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)=+(-,
cos 2x=cos[(x+y)+(x-y)]=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)=(-)-=-,
所以tan 2x==-
6.AD　对于A,sin 50°(1+tan 10°)==
=
=1,故A正确;
对于B,=
,故B错误;
对于C,因为tan(18°+27°)==1,
所以tan 18°+tan 27°=1-tan 18°tan 27°,
所以(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=1+1=2,故C错误;
对于D,4sin 18°cos 36°=
==1,故D正确.
7.BC　A选项,已知sin(α-β)=sin α·cos β-cos αsin β=-,sin αcos β=,
则cos αsin β=,故A错误;
B选项,sin(α+β)=sin αcos β+cos α·sin β=,故B正确;
C选项,,所以3tan α=2tan β,故C正确;
D选项,sin 2αsin 2β=4sin αcos βcos α·sin β=4,故D错误.
8.-　由tan 2θ+4tan(θ-)=+4=0,即=0,(2tan θ+1)(tan θ+2)=0,解得tan θ=-或tan θ=-2,因为θ∈(),故tan θ=-2,
即=-2,又sin2θ+cos2θ=1,所以cos θ=-
9
=
=
=,
解得tan x=-,
=
10.解 (1)由m∥n知2cos α=sin α,
∴tan α=2,
又α∈(0,),∴sin α=,cos α=,
∴sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-
(2)∵α∈(0,),β∈(0,),∴α-β∈(-),又sin(α-β)=,
∴cos(α-β)=,sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,
又β∈(0,),∴β=
11.A　由cos(α+β)cos β=得cos(α+β)=,
由tan(α+β)==mcos βsin(α+β)=,
得sin(α+β)sin β=,
cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=,
所以cos 2α=2cos2α-1=2-1=-1.
12.A　令sin α+sin β=t(t>0),①
∵cos α+cos β=,②
由①2+②2,得2+2cos(α-β)=t2+,
又cos(α-β)=-,∴t2=
∵α,β∈(0,π),∴t>0,∴t=
故sin α+sin β=
13.50°　因为(-tan 10°)cos α=cos α=cos α=1,
所以cos α==sin 40°=cos 50°.
又α为锐角,故α=50°.
14　(方法1)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=,
即sin α-cos α)=,令sin θ=,cos θ=,
则sin(α-θ)=1,∴α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,∴sin α=sin(θ++2kπ)=cos θ=,
则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=
(方法2)∵α+β=,∴sin β=cos α,即3sin α-cos α=,又sin2α+cos2α=1,将cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=,则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=
15.BCD　对于A,单位圆O的内接正n边形A1A2A3…An的中心角为,
如图,设∠A1OA2=,过点O作OB⊥A1A2于点B,则∠A1OB=,
an=A1A2=2A1B=2OA1·sin∠A1OB=2sin,故A错误;
对于B,由A的结论,an=2sin,则Ln=nan=2nsin,
则=cos,故B正确;对于C,Sn=n(1×1×sin)=sin,
则S2n=sin=nsin,故=cos,故C正确;
对于D,由上可知,an=2sin,则a2n=2sin,
故Ln(2-)=2nsin(2-4sin2)=2nsin(2-4)=2nsin2cos=2nsin=4Sn,故D正确.
16.4　设tan=t,则tan=tan(2)=,tan=tan(2)==1,整理得t4+4t3-6t2-4t+1=0,而t=tan是关于x的方程x4+ax3-6x2-4x+1=0的实根,所以a=4.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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