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2026全国版高中数学突破练
突破练27　三角函数的图象与性质
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2024·上海,14)下列函数中,f(x)的最小正周期是2π的是(　　)
A.f(x)=sin x+cos x
B.f(x)=sin xcos x
C.f(x)=sin2x+cos2x
D.f(x)=sin2x-cos2x
[错题笔记]
2.(2021·北京,7)已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为(　　)
A.奇函数,最大值为2
B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为
D.偶函数,最大值为
[错题笔记]
3.(2025·安徽模拟)设sin α+sin β=,则cos 2α+sin(2π-β)-的最小值为(　　)
A.- B.- C.- D.-
[错题笔记]
4.(2025·山西模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-) (其中ω>0)在区间(-)上单调,则ω的取值范围为(　　)
A.0<ω≤ B.0<ω≤
C.0<ω≤ D.0<ω≤
[错题笔记]
5.(2026·北京开学考试)已知函数f(x)=sin x+acos x的最大值为2,则a的值可以是(　　)
A.-1 B.1 C. D.2
[错题笔记]
6.(2025·四川广安模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(φ∈[0,π])为偶函数,则φ的值为(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
7.(多选)对于函数f(x)=sin 2x+cos 2x,下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最小值为-2
C.f(x)的图象关于直线x=-对称
D.f(x)在区间(-,-)上单调递增
[错题笔记]
8.(多选)(2025·辽宁模拟)已知函数f(x)=2tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为,则下列说法正确的是(　　)
A.ω=2
B.若直线x=是f(x)图象的一条渐近线,则φ=
C.不存在φ∈(0,),使(,0)为f(x)图象的一个对称中心
D.若f(x)在区间()内单调,则φ的取值范围是(-,-]∪[)
[错题笔记]
9.(2025·内蒙古模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-) (ω>0)的最小正周期为,且f(x)的图象关于点(a,0)对称,则ω=　　　　,a的最小正值为　　　　.
[错题笔记]
10.(原创)函数f(x)=sin(x+20°)+2sin(x+80°)的值域为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.(2025·浙江杭州二模)设甲:函数f(x)=2sin ωx在[-]上单调递增,乙:0<ω≤2,则甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
12.(2023·全国乙,理6)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间()单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=(　　)
A.- B.-
C. D.
[错题笔记]
13.(多选)(2025·贵州三模)已知函数f(x)=cos4x-sin4x,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.x=是f(x)图象的对称轴
C.f(x)在区间[-,0]上单调递增
D.λ≥-1是f(x)=λ有实根的充要条件
[错题笔记]
14.(2025·天津,8)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)在区间[-]上单调递增,直线x=为f(x)图象的一条对称轴,(,0)为f(x)图象的一个对称中心,则在区间[0,]内,f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.-1 D.0
[错题笔记]
素养·提升练
15.(多选)(2025·云南玉溪模拟)对于函数f(x)=sin πx,x∈[0,2]和g(x)=x(x-1)(x-2),x∈[0,2],下列结论正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)在x=时有相同的函数值
B.f(x)与g(x)最小值不同
C.f(x)与g(x)的图象有相同的对称中心
D.f(x)与g(x)在区间(,2)上都为增函数
[错题笔记]
16.(原创)已知函数y=f(x)图象的对称中心为(0,1),若函数y=1+sin x的图象与函数y=f(x)的图象共有6个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则(xi+yi)=　　　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.A　对于A,f(x)=sin x+cos x=sin x+cos x)=sin(x+),则T=2π,满足条件,故A选项符合题意;
对于B,f(x)=sin xcos x=sin 2x,则T=π,不满足条件,故B选项不符合题意;
对于C,f(x)=sin2x+cos2x=1,为常函数,则不存在最小正周期,不满足条件,故C选项不符合题意;
对于D,f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,则T=π,不满足条件,故D选项不符合题意.故选A.
2.D　f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函数.f(x)=cos x-cos 2x=-2cos2x+cos x+1=-2因为cos x∈[-1,1],所以当cos x=时,f(x)max=故选D.
3.C　由sin α+sin β=,得sin β=-sin α.由-1-sin α≤1,得-sin α≤1.于是cos 2α+sin(2π-β)-=-sin β-sin2α=-+sin α-,-sin α≤1,故当sin α=-时,cos 2α+sin(2π-β)-取最小值-
4.A　由题意可得
k∈Z,
解得-2k且+2k,k∈Z,
又ω>0,则k∈Z,则k=0,
故且,故0<
5.C　由题意,函数f(x)=sin x+acos x=sin(x+φ),
因为正弦函数sin(x+φ)的值域是[-1,1],
所以f(x)=sin(x+φ)的最大值为,已知f(x)的最大值为2,即=2,整理得1+a2=4,
解得a=±
6.B　函数f(x)为偶函数,需满足f(-x)=f(x).将函数化简得f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=sin(2x+φ+).
由偶函数性质得sin(-2x+φ+)=sin(2x+φ+),即sin(-2x+φ+)=sin(2x+φ+).
利用正弦函数的性质,可得-2x+φ+=2x+φ++2kπ(舍去,因为不恒成立),
或-2x+φ+=π-(2x+φ+)+2kπ,解得2φ+=π+2kπ,即φ=+kπ,结合φ∈[0,π],得φ=
7.AB　f(x)=sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)=2sin(2x+),T==π,故A正确;最小值是-2,故B正确;
f(-)=2sin(-)=0,故C错误;
当x∈(-,-)时,2x+(-,0),当2x+=-时,f(x)取得最小值-2,因此函数不单调,故D错误.
8.ABD　对于A选项,因为函数f(x)的最小正周期为,故ω==2,故A正确;
对于B选项,由A选项可得f(x)=tan(2x+φ) (|φ|<),令2+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=,故B正确;
对于C选项,若点(,0)为f(x)图象的对称中心,则2+φ=,k∈Z,
即φ=,k∈Z,当k=1时,φ=(0,),故C错误;
对于D选项,若f(x)=2tan(2x+φ)在区间()内单调,由则即kπ-kπ-,k∈Z,记A=[kπ-,kπ-],B=(-),则A∩B=(-,-]∪[),所以φ的取值范围为(-,-]∪[),故D正确.
9.4　　若f(x)的最小正周期为,可得ω==4,则f(x)=sin(4x-),令4x-=kπ,k∈Z,解得x=(k∈Z),当k=0时,x=,则a的最小正值为
10.[-]　令θ=x+20°,则f(x)=sin(x+20°)+2sin(x+80°)=sin θ+2sin(θ+60°)=2sin θ+cos θ=sin(θ+φ),其中tan φ=,所以f(x)∈[-].
11.A　若函数f(x)=2sin ωx在[-]上单调递增,则ω>0,
由-x得-x,则解得0<,所以甲是乙的充分不必要条件.
12.D　由题意,知函数f(x)的周期T=2()=π,所以|ω|==2,则ω=±2,不妨取ω=2.
又由题意,得f()=-1,即sin(2+φ)=-1,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),所以f(-)=sin[2×(-)+2kπ+]=sin故选D.
13.AC　对f(x)=cos4x-sin4x进行化简,根据平方差公式可得f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x=cos 2x.对于A,根据余弦函数的周期公式T==π,可得最小正周期T=π,故A正确;
对于B,f()=cos(2)=cos=0,而余弦函数对称轴处函数值应为±1,所以x=不是f(x)图象的对称轴,故B错误;
对于C,当x∈[-,0]时,2x∈[-π,0],此时y=cos t(t=2x)在[-π,0]上单调递增,所以f(x)在区间[-,0]上单调递增,故C正确;
对于D,f(x)=cos 2x的值域是[-1,1],所以-1≤λ≤1是f(x)=λ有实根的充要条件,故D错误.
14.A　设f(x)的最小正周期为T.
∵f(x)在区间[-]上单调递增,
-(-)=,即T≥π.
∴ω=2.
∵直线x=为f(x)图象的一条对称轴,(,0)为f(x)图象的一个对称中心,
即
①-②得=-+kπ,k∈Z,
∴ω=-2+4k,k∈Z.
∵0<ω≤2,∴ω=2.
将ω=2,代入①有+φ=k1π,k1∈Z,∴φ=-+k1π,k1∈Z.
∵-π<φ<π,
∴φ=或φ=-
∵f(x)=sin(2x+)满足在区间[-]上单调递增,f(x)=sin(2x-)不满足在[-]上单调递增,
∴f(x)=sin(2x+).
当x∈[0,]时,2x+[],∴当2x+,
即x=时,f(x)min=-
故选A.
15.ABC　函数f(x)=sin πx的周期为=2,
令πx=kπ,k∈Z,得x=k,k∈Z,
又x∈[0,2],所以f(x)的对称中心为(1,0).
因为x∈[0,2],
所以πx∈[0,2π],
所以f(x)=sin πx∈[-].
令2kπ-x≤2kπ+,k∈Z,得2k-x≤2k+,k∈Z.
因为x∈[0,2],
所以x∈[0,]和x∈[,2],
所以f(x)=sin πx的单调递增区间为[0,]和[,2].
由g(x)=x(x-1)(x-2),得g(1-x)=(1-x)(-x)(-1-x),g(1+x)=x(1+x)(x-1),满足g(1-x)=-g(x+1),故函数g(x)的图象的对称中心也为(1,0),故C正确;
对于A,f()=sin,g()=(-)×(-)=,满足f()=g()=,故A正确;
对于B,f(x)在[0,2]上的最小值为-,
g(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x,g'(x)=3x2-6x+2,
由g'(x)>0,得0≤x<1-或1+所以g(x)在[0,1-)和(1+,2]上单调递增,在(1-,1+)上单调递减,
又g(0)=0,g(1+)=-,
可知g(x)在[0,2]上的最小值为g(1+)=-,与f(x)的最小值不同,故B正确;
对于D,由B选项可知g(x)在(,1+)上单调递减,在(1+,2]上单调递增,而f(x)在(,2)上单调递增,故D错误.
16.6　显然函数y=1+sin x的图象关于点(0,1)成中心对称,
依题意,函数y=1+sin x的图象与函数y=f(x)的图象的交点关于点(0,1)成中心对称,于是xi=0,yi=6,所以(xi+yi)=6.
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