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2026全国版高中数学突破练
突破练28　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·山东模拟)已知函数f(x)=4cos2(x+),要得到一个偶函数的图象,可以将f(x)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.(2026·广东开学考试)已知函数f(x)=Asin(ωx+)+m(ω>0,m∈R)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.g(x)=2cos 2x
B.g(x)=2sin(2x-)
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2sin(2x+)
4.(一题多解)(2024·新高考Ⅱ,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(　　)
A.-1 B. C.1 D.2
5.(多选)(2025·河北秦皇岛模拟)将函数f(x)=2sin(2x-)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.g()=
B.(,0)是函数g(x)图象的一个对称中心
C.函数g(x)在[2π,]上单调递增
D.函数g(x)在[-]上的值域是[-,1]
6.(多选)(2025·河北廊坊模拟)“早潮才落晚潮来,一月周流六十回”,潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象,观察发现某港口的潮汐涨落规律为y=Acos(ωt+φ)+k,其中A>0,ω>0,0<φ<π,y为港口水深(单位:m),t为时间(单位:h),0≤t≤24.若某轮船当水深大于13 m时可以进出港口,根据表格中的观测数据,下列说法正确的是(　　)
时间t 1 4 7 10 13 16 19 22
水深y 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5
A.A=2.5
B.φ=
C.该轮船9点可以进出港口
D.该轮船从0点到12点,在港口可停留的时间最长不超过4小时
7.(原创)将函数f(x)=-2sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则当x∈[0,2π]时,g(x)的图象与y=cos x图象的交点个数为　　　　　.
8.(2022·全国乙,理15)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　　.
9.(15分)(2025·湖北襄阳二模)已知函数f(x)=sincos.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,当函数y=g(x)-k在[0,]上有一个零点时,求k的取值范围.
能力·高分练
10.(多选)(2025·山东淄博联考)已知函数y=2sin(x+)的图象横坐标变为原来的后得到g(x),再将g(x)的图象向右平移个单位长度,得到f(x),则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin 2x
B.直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在区间(,π)上单调递增
D.若关于x的方程f(x)-m=0在()上有1个实数根,则m∈{2}∪[-1,1]
11.(15分)(2025·四川眉山模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)+2sin2()-1(ω>0)的两条相邻对称轴的距离为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.
①若g(x0)=,且x0∈[0,],求cos 2x0的值;
②若关于x的方程g(x)=k在区间[0,]上恰有两个不同的实数解,求实数k的取值范围.
素养·提升练
12.(原创)直线y=与函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的交点为A1,A2,A3,…,An(1≤i参考答案
1.C　依题意,f(x)=4=2cos(2x+)+2,
对于A,f(x+)=2cos(2x+)+2,所得函数不是偶函数,故A错误;
对于B,f(x+)=2cos(2x+)+2,所得函数不是偶函数,故B错误;
对于C,f(x+)=2cos(2x+π)+2=-2cos 2x+2,所得函数是偶函数,故C正确;
对于D,f(x+)=2cos(2x+)+2,所得函数不是偶函数,故D错误.
2.B　由题可知是该函数的周期的整数倍,
即k,k∈Z,
解得ω=k,k∈Z,
又ω>0,故其最小值为
3.A　由函数图象可知T,
即,
解得ω=2,
函数f(x)的最大值为2,则A=2,
所以函数解析式为f(x)=2sin(2x+φ).
将点(,2)代入解析式得2sin(2+φ)=2,则2+φ=2kπ+(k∈Z),
解得φ=2kπ-(k∈Z).
又因为|φ|<,所以k=0时,φ=-,
所以函数解析式为f(x)=2sin(2x-).
将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin[2(x+)-]=2sin(2x+)=2cos 2x.
4.D　(方法1)令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x.
令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,
原题意等价于当x∈(-1,1)时,曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,
注意到F(x),G(x)均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,
可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2.
若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cos x=0.
因为x∈(-1,1),则2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
可得2x2+1-cos x≥0,
当且仅当x=0时,等号成立,
则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0,
即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,
所以a=2符合题意.
综上所述,a=2.
(方法2)令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点.
由h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),
所以h(x)为偶函数.
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即h(0)=a-2=0,解得a=2.
若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1),
又因为2x2≥0,1-cos x≥0,
当且仅当x=0时,等号成立,
可得h(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意.
5.BC　由题意可知g(x)=f(x+)=2sin(2x+)=2sin(2x-),故g()=2sin(9π-)=2sin(π-)=1,故A错误;
对于B,g()=2sin(2)=2sin π=0,故(,0)是g(x)的一个对称中心,故B正确;
对于C,当x∈[2π,]时,2x-[4π-,4π+],故函数g(x)在[2π,]上单调递增,故C正确;
对于D,当x∈[-]时,2x-[-],故sin(2x-)∈[-1,],故g(x)∈[-2,1],故D错误.
6.BC　对于A,由表格数据可得A==1.5,故A错误;
对于B,由表格数据可得T=12=,解得ω=,k=12.5,所以y=1.5cos(t+φ)+12.5.
因为点(1,11)在函数图象上,
所以1.5cos(+φ)+12.5=11,即cos(+φ)=-1.
又因为0<φ<π,所以φ=,故B正确;
对于C,当t=9时,1.5cos(9+)+12.5=+12.5=13.25>13,故C正确;
对于D,由1.5cos(t+)+12.5>13,得cos(t+)>,
由cos(t+,得2kπ-t+2kπ+(k∈Z),
即12k-7≤t≤12k-3(k∈Z),当k=1时,5≤t≤9,9-5=4,
因为cos(t+,得该轮船从0点到12点,在港口可停留的时间最长超过4小时,故D错误.
7.4　将f(x)=-2sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)=-2sin 2x的图象,在同一坐标系中作出g(x)=-2sin 2x与y=cos x的图象,如图所示,结合图象可知,在区间[0,2π]上,两图象共有4个交点.
8.3　依题意,T=,则f(T)=f=cos(2π+φ)=cos φ=
又0<φ<π,∴φ=
∴f(x)=cos
又x=为f(x)的零点,
∴f=cos=0,
++kπ,k∈Z,
∴ω=3+9k,k∈Z.
又ω>0,∴ω的最小值为3.
9.解 (1)f(x)=sincos=sin()+,
令+2k+2kπ,k∈Z,
解得+4kπ≤x+4kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为[+4kπ,+4kπ],k∈Z.
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=sin()+,
则y=g(x)-k=sin()+-k.
因为0≤x,
所以-,
所以要使函数y=g(x)-k在[0,]上有一个零点,
则y=g(x)与y=k只有一个交点,结合正弦函数的图象:
可得当-<0或,
即0≤x<或x=,
即0≤sin()+或sin()+,0≤k<或k=时,y=g(x)与y=k只有一个交点,
所以k的取值范围为{k0≤k<或k=}.
10.BC　对于A,函数y=2sin(x+)的图象横坐标变为原来的后,得到g(x)=2sin(2x+),将g(x)的图象向右平移个单位长度后,得到f(x)=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-),故A错误;
对于B,当x=-时,f(-)=2sin(-)=-2,所以直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;
对于C,由-+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x+kπ(k∈Z),
当k=1时,x,故C正确;
对于D,方程f(x)-m=0在()上有1个实数根,所以f(x)与y=m的图象有一个交点.由x∈(),所以2x-(-),作出图象,
由图可知m∈{2}∪(-1,1],故D错误.
11.解 (1)因为f(x)=sin(ωx+)+2sin2()-1=sin(ωx+)-cos(ωx+)=2sin(ωx+)=2sin(ωx+),
由函数f(x)的相邻两条对称轴的距离为,
所以函数f(x)的周期T=2=π,
则ω==2,
所以f(x)=2sin(2x+).
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-),再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到g(x)=4sin(2x-).
①因为g(x0)=4sin(2x0-)=,所以sin(2x0-)=
因为x0∈[0,],
则2x0-[-],
则cos(2x0-)=,
所以cos 2x0=cos[(2x0-)+]=cos(2x0-)cos-sin(2x0-)sin=
②由题知,方程g(x)=k在[0,]上恰有两个不同的实数解,可转化为函数g(x)=4sin(2x-)和函数y=k的图象在区间[0,]上有且只有2个交点.
由x∈[0,]可得t=2x-[-],当t=-时,g(x)min=h(t)min=4sin(-)=-2;当t=时,g(x)max=h(t)max=4sin=4;
当t=时,h()=4sin=2.
作出函数h(t)=4sin t在[-]上的图象如图,由图可知,实数k的取值范围是[2,4).
12　设An(xn,yn),f(x)=sin(ωx+φ)=x+φ=+2kπ或ωx+φ=+2kπ,其中k∈Z,
因为,
则相邻交点最小距离为,
即,
即+2kπ-(+2kπ)==ω(xi+1-xi)min==,
则最小正周期为T=
又注意到5-=|AiAj|max=3T,
则f()=f(5)=,
故+φ=+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,其中k∈Z,
则φ可取-或0,
当φ=-时,f(x)=sin(x-) f()=sin;
当φ=0时,f(x)=sin(x) f()=sin=-sin=-sin()=
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