资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练29　正弦定理和余弦定理
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广东梅州模拟)在△ABC中,∠ABC=,AB=2,BC=4,则AC=(　　)
A. B. C.2 D.4
2.(2025·贵州贵阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=,c=1,则角C的大小是(　　)
A. B.
C. D.
3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若S△ABC=,则C=(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·陕西商洛模拟)在△ABC中,若asin B=bcos A,且sin C=2sin Acos B,那么△ABC一定是(　　)
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.非等边等腰三角形
D.等边三角形
5.(2025·陕西咸阳模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,a+b=cos A+cos B,则该三角形的外接圆的面积为(　　)
A. B. C. D.π
6.(多选)(2025·陕西渭南模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的是(　　)
A.若A>B,则cos AB.若A=30°,b=5,a=2,则△ABC有两解
C.若a-ccos B=acos C,则△ABC为等腰三角形或直角三角形
D.若cos Acos Bcos C>0,则△ABC为钝角三角形
7.(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=tan A+tan B,下列结论中正确的是(　　)
A.A=
B.A=
C.当a=4时,△ABC面积的最大值为2
D.当b-c=时,△ABC为直角三角形
8.(2025·河北三模)在△ABC中,∠A=,AC=2,设BC边长为x,若满足条件的△ABC有且只有一个,则x的取值范围是　　　　　.
9.(2025·广东广州三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=2,b+c=2acos B+2acos C,则△ABC的面积为　　　　.
10.(15分)(2023·全国甲,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2.
(1)求bc;
(2)若=1,求△ABC的面积.
能力·高分练
11.(2025·黑龙江哈尔滨二模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A-B)-cos(A+B)=,且ab=,则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A. B.π C.2π D.4π
12.(2025·河北秦皇岛三模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若9sin2B=4sin2A,cos C=-,则=(　　)
A. B. C. D.
13.(多选)(一题多解)(2025·新高考Ⅰ,11)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则(　　)
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=
C.sin A+sin B=
D.AC2+BC2=3
14.(15分)(2025·天津二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2acos(C-).
(1)求A;
(2)若b=2c,且△ABC的面积为2,
①求a的值;
②求cos(2B-A).
素养·提升练
15.(2026·湖北武汉开学考试)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin 2B+sin 2C=1,其面积S=2,则△ABC的外接圆半径R为(　　)
A.2 B.2
C.4 D.4
16.(原创)在△ABC中,已知2c-a=,下列说法正确的是(　　)
A.B=
B.若b=3,则△ABC面积的最大值为
C.记△ABC的内切圆半径为R,设R=f(b),则f(b)在b∈(1,+∞)上单调递增
D.若sin2A+cos2B>1,且a和c的长度一定,则有两个满足条件的不同三角形
参考答案
1.C　在△ABC中,∠ABC=,AB=2,BC=4,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=4+16-2×2×4×(-)=28,
所以AC=2
2.B　由题设及,
则sin C=,
又a>c,且0所以C=
3.C　因为S△ABC=absin C,
又由题知S△ABC=,
所以absin C,
整理得,c2=a2+b2+2absin C,
又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
所以sin C=-cos C,
所以tan C=-1,
又C∈(0,π),所以C=
4.D　由已知asin B=bcos A,
则sin Asin B=sin Bcos A,
又在△ABC中,B∈(0,π),
则sin B≠0,
所以sin A=cos A,即tan A=,
又A∈(0,π),所以A=在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B,
所以sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,由A-B∈(-π,π),所以A-B=0,即A=B,所以A=B=C=,即△ABC为等边三角形.
5.B　因为c=1,所以=cos A+cos B,
由正弦定理得=cos A+cos B,
则sin A+sin B=cos Asin C+cos Bsin C,
所以sin(B+C)+sin(A+C)=cos Asin C+cos Bsin C,整理得sin Bcos C+sin Acos C=0,所以(sin B+sin A)cos C=0.因为A,B,C∈(0,π),所以sin A>0,sin B>0,cos C∈(-1,1),故cos C=0,即C=,则该三角形的外接圆的半径r=c=,所以外接圆的面积为πr2=
6.AC　因为函数y=cos x在(0,π)上单调递减,在△ABC中,因为A,B∈(0,π),且A>B,所以cos A若A=30°,b=5,a=2,则由正弦定理可得,解得sin B=>1.因为正弦函数的值域为[-1,1],所以不存在这样的角B,即△ABC无解,故B错误;因为a-ccos B=acos C,所以由正弦定理可得sin A-sin Ccos B=sin Acos C,又因为sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以可得sin Bcos C=sin Acos C,即(sin B-sin A)cos C=0,即sin B=sin A或cos C=0.由sin B=sin A可得a=b,即△ABC为等腰三角形;由cos C=0,C∈(0,π),可得C=,所以△ABC为直角三角形.综上可知,△ABC为等腰三角形或直角三角形,故C正确;由cos Acos Bcos C>0,且A,B,C∈(0,π),可知cos A>0,cos B>0,cos C>0,即A,B,C都是锐角,所以△ABC是锐角三角形,故D错误.
7.BD　由=tan A+tan B及正弦定理得=tan A+tan B,即=tan A+tan B,得=tan A+tan B,即=tan A+tan B,因为在三角形中tan A+tan B≠0,所以tan A=,又A∈(0,π),所以A=,故A错误,B正确;若a=4,由a2=b2+c2-bc得16=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时,等号成立.所以S△ABC=bcsin A16=4,即当a=4时,△ABC面积的最大值为4,故C错误;由b-c=得b=c+,将其代入b2+c2-a2=bc中得3c2+ac-2a2=0,所以(c-a)(c+2a)=0,因为a>0,c>0,所以c-a=0,得a=c,即b=2c,所以满足b2=a2+c2,故△ABC为直角三角形,故D正确.
8.x≥2或x=　在△ABC中,由正弦定理,得sin B=sin,当sin B=1时,△ABC只有一个解,x=;当09　由=2,根据余弦定理,则=2,解得bc=1.
同理,由b+c=2acos B+2acos C,则b+c=2a+2a,通分可得b+c=,
由bc=1,则化简可得b2+c2-a2=1,
易知cos A=,则sin A=,
所以△ABC的面积S=bcsin A=
10.解 (1)由余弦定理,知cos A=,则=2bc=2,得bc=1.
(2)由正弦定理,有
=1.①
在△ABC中,A+B+C=π,
则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.
①式变形为sin Acos B-sin Bcos A-sin B=sin Acos B+cos Asin B,即-sin B=2sin Bcos A.∵0由(1)知bc=1,故S△ABC=bcsin A=1×sin1
11.B　由cos(A-B)-cos(A+B)=,
得cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=,所以sin Asin B=
又因为ab=,结合正弦定理=2R,其中R为△ABC的外接圆的半径,所以ab=4R2sin Asin B=R2=,解得R2=1,
则△ABC的外接圆的面积为πR2=π.
12.D　因为9sin2B=4sin2A,所以
根据正弦定理可得,所以b=因为cos C=-,所以根据余弦定理cos C=,可得=-,化简可得c2=,所以因为a,c为△ABC的边,a>0,c>0,所以
13.ABC　cos 2A+cos 2B+2sin C=2,由二倍角公式得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2,
整理可得sin C=sin2A+sin2B,故A正确;
由诱导公式,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B,即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0,下证C=
(方法1)分类讨论
若A+B=,则sin A=cos B,sin B=cos A,可知等式成立;
若A+B<,即A<-B,由诱导公式和正弦函数的单调性可知,sin A0,sin B>0,于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0,与条件不符,则A+B<不成立;若A+B>,类似可推导出sin A·(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0,则A+B>不成立.综上讨论可知,A+B=,即C=
(方法2)边角转化
sin C=sin2A+sin2B时,由C∈(0,π),则sin C∈(0,1],于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C,由正弦定理得a2+b2≥c2,
由余弦定理可知,cos C≥0,则C∈(0,],若C∈(0,),则A+B>,注意到cos Acos Bsin C=,则cos Acos B>0,
于是cos A>0,cos B>0(两者同负会有两个钝角,不成立),于是A,B∈(0,),
结合A+B>A>-B,而A,-B都是锐角,则sin A>sin(-B)=cos B>0,于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,这和sin C≤1相矛盾,故C∈(0,)不成立,则C=
(方法3)结合射影定理(方法1改进)
由sin C=sin2A+sin2B,
结合正弦定理可得c=asin A+bsin B,
由射影定理可得c=acos B+bcos A,
于是asin A+bsin B=acos B+bcos A,
则a(sin A-cos B)+b(sin B-cos A)=0,
可同方法1中讨论的角度,推出A+B=
(方法4)和差化积(方法1改进)
续方法3:a(sin A-cos B)+b(sin B-cos A)=0,可知sin A-cos B,sin B-cos A同时为0或者异号,
即(sin A-cos B)(sin B-cos A)≤0,
即sin Asin B-sin Acos A-cos Bsin B+cos Acos B≤0,即cos(A-B)-(sin 2A+sin 2B)≤0,结合和差化积,cos(A-B)[1-sin(A+B)]≤0,由上述分析,A,B∈(0,),则A-B∈(-),则cos(A-B)≥0,则1-sin(A+B)≤0,即sin C≥1,于是sin C=1,可知C=由cos Acos Bsin C==cos Acos B,由A+B=,则cos B=sin A,即sin Acos A=,则sin 2A=,同理sin 2B=,由上述推导,A,B∈(0,),则2A,2B∈(0,π),不妨设A由两角和的正切公式可得,tan=2+,
设BC=t,AC=(2+)t,则AB=()t,由S△ABC=(2+)t2=,
则t2=,t=,
于是AB=()t=,B选项正确;由勾股定理可知,AC2+BC2=2,D选项错误.
14.解 (1)因为b=2acos(C-),
所以b=2a(cos Ccos+sin Csin),
可得b=acos C+asin C,由正弦定理得sin B=sin Acos C+sin Asin C,可得sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+sin Asin C,因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以cos A=sin A,即tan A=因为A∈(0,π),所以A=
(2)①因为b=2c,且S△ABC=bcsin A=2,解得c=2,b=4
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=48+4-2×42=28,解得a=2
②由余弦定理得cos B==-,所以sin B=,cos 2B=2cos2B-1=,sin 2B=2sin Bcos B=-,所以cos(2B-A)=cos 2Bcos A+sin 2Bsin A==-
15.A　sin 2A+sin 2C+sin 2B=1,
即sin[(A+C)+(A-C)]+sin[(A+C)-(A-C)]+2sin Bcos B=1,
即2sin(A+C)cos(A-C)+2sin Bcos B=1.
又A+B+C=π,故sin(A+C)=sin B,cos(A+C)=-cos B,所以2sin Bcos(A-C)-2sin Bcos(A+C)=1,
所以2sin B[cos(A-C)-cos(A+C)]=1,
4sin Bsin Asin C=1,sin Bsin Asin C=
因为S△ABC=absin C=2,又a=2Rsin A,b=2Rsin B,2Rsin A·2Rsin B·sin C=2,所以R2sin Asin Bsin C=1,所以R2=4,解得R=2.
16.B　选项A,由余弦定理得cos A=,又2c-a=,所以2c-a==2bcos A,由正弦定理得2sin C-sin A=2sin Bcos A,因为A+B+C=π,所以C=π-(A+B),所以2sin(A+B)-sin A=2sin Bcos A,即2sin Acos B+2cos Asin B-sin A=2sin Bcos A,即2sin Acos B=sin A,因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=,故A错误;选项B,因为b=3,B=,所以由余弦定理得9=a2+c2-ac,所以9=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c=3时等号成立,即ac≤9,所以S△ABC=acsin B9,故B正确;选项C,由△ABC的内切圆半径为R,则S△ABC=(a+b+c)R=acsin B,即R=,当b=2,A=时,a=c=b=2,此时R1=;当b=2,A=时,c=,a=,此时R2==1-因为R1=,所以R2=1-所以R=f(b)在b∈(1,+∞)上不单调递增,故C错误;选项D,由正弦定理得sin A=,由sin2A+cos2B>1即sin2A>1-cos2B=sin2B,所以|sin A|>|sin B|,又A,B∈(0,π),所以sin A>sin B,又B=,所以A>且A<π-B=,即A∈(),又a和c的长度一定,此时满足条件的角A只有一个值,所以只有一个满足条件的三角形,故D不正确.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑