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2026全国版高中数学突破练
突破练30　解三角形中的最值、范围问题
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.在锐角三角形ABC中,A=60°,AB=2,则AC的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.(1,3)
C.(0,4) D.(1,4)
2.在△ABC中,若sin C=2sin Bcos B,且B∈(),则的取值范围为(　　)
A.() B.(,2)
C.(0,2) D.(,2)
3.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,A=,则b的取值范围是(　　)
A.(0,6) B.(0,2)
C.(,2) D.(3,6)
4.(2025·河南安阳模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记BC边上的高为h,若A为锐角,b=asin B,则的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·江苏南京模拟)在△ABC中,∠ABC=,D为边AC上一点,∠DBC=且BD=1,则△ABC面积的最小值为(　　)
A. B.
C.2 D.
6.(多选)(2025·江苏南京模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的值可以为(　　)
A. B. C. D.-
7.(多选)(2025·辽宁沈阳三模)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,=2,∠BAC=,M为△ABC内一动点,且S△MBC=S△ABC,则(　　)
A.bc=4
B.S△ABC=
C.a的最大值为2
D.的最小值为
8.(多选)(2025·河北模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,∠BAC=,∠BAC的平分线交BC于点D,则下列说法正确的是(　　)
A.△ABC外接圆的面积为16π
B.若△BAD与△ABC的面积比为1∶3,则AC=2AB
C.若BD=2DC,则△ABC为直角三角形
D.△ABC周长的最大值为6
9.(2025·湖北武汉三模)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a≥b,则的取值范围为　　　　　　.
10.(2025·浙江宁波模拟)已知△ABC的面积为S,且A,B,C所对的边分别记为a,b,c,满足4a2=b2+c2,则的最大值为　　　　　.
11.(15分)(2025·江苏盐城模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=bcos A.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC的内切圆的半径的最大值.
能力·高分练
12.(一题多解)(2025·福建宁德模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a2+b2=c2,则tan A的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
13.(原创)如图,已知OPQ是半径为2,圆心角为60°的扇形,点A,B,C分别是半径OP,OQ及扇形弧上的三个动点(不同于O,P,Q三点),则△ABC周长的最小值是(　　)
A. B.2
C. D.2
14.(2025·四川模拟)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=,则a+c的最小值为　　　　.
15.(原创)在圆内接四边形ABCD中,∠DBA=,2BD=AB,则∠ADB=　　　,若AC=4,则△BCD面积的最大值为　　　.
素养·提升练
16.(15分)(2025·云南昭通模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-c+2acos B=0.
(1)证明:B=2A;
(2)求的取值范围;
(3)已知函数f(x)=2sin x-x-ln(x+1),求证:f()>0.
参考答案
1.D　因为在锐角三角形ABC中,则考虑极限情况,当C=90°时,AC=ABsin 30°=1,
当B=90°时,AC==4,所以AC的取值范围是(1,4).
2.A　因为sin C=2sin Bcos B,由正弦定理得c=2bcos B,则=2cos B,又因为B∈(),可得3.D　在锐角三角形ABC中,a=3,A=,由正弦定理可得=6,
所以b=6sin B,又B+C=π-A=,所以解得所以4.B　因为b=asin B,由正弦定理得sin B=sin Asin B,又sin B>0,则sin A=,因为A为锐角,所以cos A=由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc.由等面积法可知bcsin A=ah,即bc=ah,,
则,当且仅当b=c时等号成立,则的最大值为
5.D　
因为
∠ABC=,∠DBC=,
所以∠ABD=
又因为BD=1,
所以S△ABD=BD×AB=c,S△CBD=BD×BC×sin∠DBC=b.
根据等面积法可得S△ABC=S△ABD+S△CBD,即acsin,整理得ac=2c+a.由基本不等式可得2c+a≥2,当且仅当2c=a时等号成立,
则ac≥2,解得ac,此时当且仅当a=,c=时等号成立.故S△ABC=acsinac
6.ABC　因为cos 2A+cos 2B=2cos 2C,所以1-2sin2A+1-2sin2B=2-4sin2C,
由正弦边角关系得a2+b2=2c2,则cos C=,
当且仅当a=b时等号成立.
7.ABD　对于A,由=2可得||||cosbc=2,则bc=4,故A正确;
对于B,S△ABC=bcsin4,故B正确;
对于C,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=4,
即a2≥4,则a≥2,当且仅当b=c时,等号成立,所以a的最小值为2,故C错误;
对于D,因为S△ABC=S△MBC+S△MAB+S△MAC,且S△MBC=S△ABC,则S△MAB+S△MAC=S△ABC=,即(S△MAB+S△MAC)=1,所以=() [(S△MAB+S△MAC)]=(2+(2+2)=,当且仅当,即S△MAB=S△MAC时,等号成立,故D正确.
8.BCD　对于A,设外接圆的半径为R,由正弦定理得2R==4,故R=2,故外接圆的面积为4π,故A错误;
对于B,因为△BAD与△ABC的面积比为1∶3,故△BAD与△ADC的面积比为1∶2,故2AB×ADsinAC×ADsin,即AC=2AB,故B正确;
对于C,因为BD=2DC,由角平分线性质可得AB=2AC,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos A,
故12=5AC2-2AC2,即AC=2,故AB=4,故BC2+AC2=AB2,
故△ABC为直角三角形,故C正确;
对于D,由C的分析可得12=c2+b2-2bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2,故12(b+c)2,即b+c≤4,当且仅当b=c=2时等号成立,
故△ABC周长的最大值为6,故D正确.
9.[2,)　在锐角三角形ABC中,由由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,所以b2+c2=a2+2bccos A,所以+2cos A=+1,
由正弦定理得,
又所以的取值范围为[2,).
10　根据余弦定理,得cos A=,即bc=,则△ABC的面积为S=bcsin A=sin A=,所以tan A.又由4a2=b2+c2≥2bc,可得bc≤2a2,当且仅当b=c时等号成立,
所以cos A=,则A为锐角,所以tan A=,所以tan A的最大值为
11.解 (1)因为c=bcos A,由正弦定理可得sin C=sin Bcos A,又C=π-(A+B),所以sin(A+B)=sin Bcos A,即sin A·cos B+cos Asin B=sin Bcos A,
所以sin Acos B=0,又0所以cos B=0,又0(2)由(1)知,B=,又b=2,则a2+c2=4,
所以(a+c)2=a2+c2+2ac=4+2ac≤4+a2+c2=8,故a+c≤2,当且仅当a=c=时等号成立.设Rt△ABC的内切圆的半径为r,则r=-1,所以△ABC的内切圆的半径的最大值为-1.
12.C　(方法1)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=2a2+b2,所以a=-2bcos C,
即sin A=-2sin Bcos C,又sin A=sin(B+C),代入可得sin(B+C)=-2sin Bcos C,
化简得sin Bcos C+cos Bsin C=-2sin Bcos C,解得tan C=-3tan B,
故tan A=-tan(B+C)=因为cos C=-<0,所以(方法2)由余弦定理得cos A=,
所以0所以tan A的最大值为
13.D　作点C关于线段OQ,OP的对称点C1,C2,连接CC1,CC2,
则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2,而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOP+∠POC2=2(∠QOC+∠POC)=2∠QOP=120°,
∴在△CC1C2中,由余弦定理得C1C2==2,
∴△ABC周长的最小值为2
14.4　如图,由题意得acsinasincsin,
可得ac=a+c,
所以a+c=ac≤()2,解得a+c≥4,
当且仅当a=c=2时等号成立,即当a=c=2时,a+c的最小值为4.
15　9　在△ABD中,∠DBA=,2BD=AB,
由正弦定理得,
所以,
所以sin∠ADB=2sin(+∠ADB)=cos∠ADB+sin∠ADB,所以cos∠ADB=0,所以∠ADB=,所以AB是四边形ABCD外接圆直径,∠ACB=
设∠BAC=θ,0<θ<,则BC=ACtan θ=4tan θ,在△ACD中,∠CAD=-θ,∠ADC=π-∠ABC=+θ,由正弦定理得,即CD==2-tan θ),在△BCD中,∠BCD=π-,
所以S△BCD=BC·CDsin∠BCD=4tan θ·2-tan θ)=12tan θ-tan2θ)=12]≤9,当且仅当tan θ=时等号成立,
所以△BCD面积的最大值为9
16.(1)证明 由正弦定理得sin A-sin C+2sin Acos B=0,又因为sin C=sin(A+B),所以sin A-sin Acos B-cos Asin B+2sin Acos B=0,即sin(B-A)=sin A.
因为A,B∈(0,π),所以B-A=A或(B-A)+A=π(舍去),
所以B=2A.
(2)解 因为A+B=3A∈(0,π),所以A∈(0,),
所以cos2A+
令x=cos A∈(,1),则F(x)=x2+,x∈(,1),F'(x)=x-令F'(x)=0,得x=,
所以F(x)在区间()上单调递减,在区间(,1)上单调递增,
所以F(x)的最小值为F()=
又因为F()=+1所以F(x)∈[).
(3)证明 因为f'(x)=2cos x-1-,
记h(x)=2cos x-1-,
则h'(x)=-2sin x+,易知h'(x)在(0,)上单调递减,且h'(0)=1>0,h'()=-1<0,
所以 x0∈(0,),h'(x0)=0,
即-2sin x0+=0,所以,当x∈(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)在(0,x0)上单调递增;
当x∈(x0,)时,h'(x)<0,h(x)在(x0,)上单调递减.因为h(0)=0,h()=-1--1->0,所以当x∈(0,)时,h(x)>0,f(x)在(0,)上单调递增,所以f(x)>f(0).又因为f(0)=0,所以f(x)>0.
由(2)知A∈(0,),所以(0,),所以f()>0.
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