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2026全国版高中数学突破练
突破练31　解三角形的实际应用
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2026·广西贵港开学考试)位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是(　　)
A.20海里 B.40海里
C.40海里 D.30海里
2.(2025·广东模拟)位于灯塔A处正西方相距30海里的B处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距10海里的C处有一艘乙船,则乙船前往支援B处甲船需要航行的最短距离是(　　)
A.10海里 B.10海里
C.8海里 D.30海里
3.某人在C点观察河对岸的建筑物PB(B,C在同一水平面上,P,A,B在同一铅垂线上),已知在C点观察建筑物上的A点和P点的仰角分别为15°和60°,AP=200,则BC=(　　)
A.100 B.50
C.100(+1) D.50(+1)
4.(2025·湖北荆州模拟)如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α,β,γ,计划沿直线AC开通隧道DE,设AD,EB,BC的长度分别为a,b,c.为了测出隧道DE的长度,还需直接测出(　　)的值.
A.a和b B.b和c
C.a和c D.a,b,c三者
5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.(多选)(2025·江西南昌模拟)已知Rt△ABC的斜边长为1,则其内切圆半径的取值可能为(　　)
A. B.
C. D.
7.(多选)(2025·黑龙江黑河模拟)镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法,在如图所示的测量建筑物AB的模型中,已知人眼距离地面的高度h=1.6 m,将镜子(平面镜)中心置于平地C点处,人后退至从镜中能够看到建筑物的位置,测量人与镜子的距离a1=1.2 m,将镜子后移a=10 m,重复前面中的操作,则测量人与镜子的距离a2=3.2 m,则下列说法正确的是(　　)
A.BC=6 m
B.AB=8 m
C.若仅h的测量值偏大(其他测量值准确),则计算出的建筑物高度AB值会减小
D.记先后两次测量中,人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为α,β,则
8.(2025·山东潍坊模拟)如图所示,在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆,当太阳的仰角是60°时,旗杆在山坡上的影子的长是20米,则旗杆的高为　　　　米.
9.(2025·山东滨州模拟)如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=,C是扇形弧上的动点,过点C作CD∥OQ,交OP于点D,则△OCD的面积的最大值为　　　.
10.(15分)(2025·内蒙古赤峰模拟)某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图),它们相距10(3+)海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号,经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时,位于B点南偏西60°且与B点相距40海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/时.
(1)求B点到D点的距离BD;
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达D点需要的时间.
能力·高分练
11.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°,距离为6海里,灯塔C在A的北偏东60°,距离为6海里,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的(　　)
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
12.(原创)如图,某观察站B在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路走向是南偏东40°,在B处测得公路上距B处31 km的C处有一人正沿公路向A城走去,走了20 km之后到达D处,此时B,D间的距离为21 km.要达到A城,这个人还要走(　　)
A.15 km B.20 km
C. km D.17 km
13.(原创)(多选)如图,甲船从A1出发以每小时25海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距5海里.当甲船航行12分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距5海里,下面结论正确的是(　　)
A.乙船的行驶速度与甲船相同
B.乙船的行驶速度是15海里/时
C.甲、乙两船相遇时,甲船行驶了小时
D.甲、乙两船不可能相遇
素养·提升练
14.(15分)在一个很大的湖边(可视湖岸为直线)停着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与河岸成15°角,速度为2.5 km/h,同时岸上一人从同一地点开始追小船,已知他在岸上跑的速度为4 km/h,在水中游的速度为2 km/h,问此人能否追上小船 若小船速度改变,则小船能被追上的最大速度是多少
参考答案
1. B　依题意,画出示意图如右,PM=40,∠MPC=135°,∠CMP=90°-75°=15°,在△PMC中,∠PCM=30°,由正弦定理得,因此MC==40海里,所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40海里.
2. B　根据题意,画出示意图如右,由题意得AB=30,AC=10,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 135°=302+-2×30×10(-)=1 700.所以BC=10,则乙船航行的最短距离为10海里.
3.D　因为sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=,
如图所示,在△PAC中,∠PAC=105°,∠ACP=45°,∠P=30°,
由正弦定理可得,
则PC=sin∠PAC==100(+1),
在△PBC中,BC=PC=50(+1).
4.D　在△PBC中,∠BPC=β-γ,
由正弦定理有,所以PB=sin γ,
在△APB中,sin∠APB=sin(π-α-β)=sin(α+β),由正弦定理有,所以AB=PBsin γ=c
因为DE=AB-AD-BE=c-a-b,所以为了测出隧道DE的长度,还需直接测出a,b,c三者的值.
5.B　如图,过点A作AE⊥CD于点E,
由题可知,AE=BD=60 m,DE=AB=20 m,CE=CD-DE=30 m,
在Rt△ABD中,由勾股定理得AD==20,
在Rt△ACE中,由勾股定理得AC==30,
在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD==
因为0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°.
6.CD　设Rt△ABC的两直角边长分别为a,b,且a>0,b>0,显然a2+b2=1,即a2+b2=1≥2ab,可得ab
设Rt△ABC的内切圆半径为r,根据等面积法可得r(a+b+1)=ab,因此r=,所以r=,当且仅当a=b=时,等号成立.
易知,即符合题意.
7.ABD　作出图形如图所示,
由题意可知,GH=DE=h=1.6,HF=a2=3.2,FC=a=10,EC=a1=1.2,
易知△GHF∽△ABF,△DEC∽△ABC,
设BC=x,则,
化简得x==6 m,AB=x==8 m,
所以A,B正确;
因为AB=h,x,a1不变,所以若仅h的测量值偏大(其他测量值准确),则计算出的建筑物高度AB值会增大,故C错误;
因为tan α=,tan β=,
所以,
又,所以,故D正确.
8.20　如图,在△ABC中,由题知∠BAC=60°-15°=45°,AC=20,
又旗杆与水平面垂直,所以∠ACB=180°-75°=105°,则∠ABC=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理知,得BC==20
9　因为∠POQ=,CD∥DQ,所以∠CDO=设∠COD=α(0<α<),则∠OCD=-α,
在△OCD中,由正弦定理可得,即,得OD=sin(-α),所以S△OCD=OC·OD·sin α=sin(-α)sin α=cos α-sin α)sin α=sin α·cos α+sin2α=sin 2α-sin 2α+cos 2α-sin(2α+)-因为0<α<,所以<2α+,显然当2α+,即α=时,S△OCD取最大值,为
10.解 (1)由题意知AB=10(3+)海里,
∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△DAB中,由正弦定理得,
所以DB===
=20海里.
(2)在△DBC中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=40海里,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=1 200+4 800-2×2040=3 600,所以CD=60海里,则需要的时间t==2小时.
故该救援船到达D点需要2小时.
11.D　如图,
由题意,在△ABD中,∠DAB=60°,AB=6,∠ADB=60°,则△ABD为正三角形,则AD=6.在△ACD中,因为AC=6,∠CAD=30°,
由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=+62-2×66=36,所以CD=6,故∠CDA=120°,
故此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.
12.A　由题意有BD=21,DC=20,BC=31,在△BDC中,由余弦定理有
cos∠BDC==-,
又∠BDC+∠BDA=180°,
所以cos∠BDA=cos(180°-∠BDC)=-cos∠BDC=,
所以sin∠BDA=,
所以sin∠DBA=sin[180°-(∠BDA+60°)]=sin(∠BDA+60°)=sin∠BDAcos 60°+cos∠BDAsin 60°=,又BD=21,∠BAD=60°,
在△ABD中,由正弦定理有,所以AD==15 km.
13.AD　如图,连接A1B2.
依题意,A1A2=25=5海里,而B2A2=5海里,∠A1A2B2=60°,则△A1A2B2是正三角形,所以∠A2A1B2=60°,A1B2=5海里.在△A1B1B2中,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°,A1B1=5海里,又B1B2=
=
=5海里,
则有A1+B1=A1,所以∠A1B2B1=90°,所以∠A1B1B2=45°,
所以乙船的行驶速度是=25海里/时,故A正确,B不正确;延长B1B2与A1A2交于点O,又A1B2⊥OB1,
易得OA1=10海里,OB2=5海里,OB1=5(+1)海里,甲船从出发到点O用时t1=(小时),
乙船从出发到点O用时t2=(小时),t114. 解 如图,设小船的速度为v km/h,追上小船所用的时间为t,人在岸上跑的时间为kt(0在△ABC中,AC=vt,AB=4kt,BC=2(1-k)t,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 15°.
∵cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°·sin 45°=,
∴4(1-k)2t2=16k2t2+v2t2-2×4kt·vt,
即12k2-[2()v-8]k+v2-4=0.
设f(k)=12k2-[2()v-8]k+v2-4,易知f(1)=12-[2()v-8]+v2-4=+8-4>0.若f(0)≤0,则必存在k0∈[0,1),使得f(k0)=0.
此时,f(0)=v2-4≤0,解得v≤2.
若f(0)>0,要使f(k)在[0,1)内有解,则
解得
故2综上,当v≤2 km/h时,人可以追上船.
因此,船速为2.5 km/h时,能追上小船,小船能被人追上的最大速度是2 km/h.
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