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2026全国版高中数学突破练
突破练32　平面向量的概念及线性运算
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·福建宁德期中)设向量a,b,c满足5(a-2b)-4(b+3a)-c=0,则c=(　　)
A.-a+22b B.7a+14b
C.a-22b D.-7a-14b
2.(2025·北京通州期中)已知平面向量a,b是不共线的两个向量,=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,则(　　)
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
3. 如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,且=λ+μ,则λ+μ等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(原创)已知点O为△ABC外接圆的圆心,且=0,则△ABC的内角A等于(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
5.(多选)(2025·广东深圳期中)下列命题中正确的是(　　)
A.|a+b|≤|a|+|b|
B.若a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b
C.若a·b=a·c,则b=c
D.若△ABC是等边三角形,则<>=
6. (多选)(2025·广东揭阳期末)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD边上的两个三等分点,则下列选项正确的有(　　)
A.
B.
C.
D.
7.(2025·北京期末)设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ=　　　　,此时a,b方向　　　　.(填“相同”或“相反”)
8.(2025·江苏镇江期末)已知向量e1,e2不共线,=λe1+e2,=e1+2e2,=2e1-e2,若M,P,Q三点共线,则实数λ的值为　　　　.
9. (15分)如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.
(1)试用a,b表示;
(2)证明:B,E,F三点共线.
能力·高分练
10.如图,在△ABC中,BC=6,D,E是BC的三等分点,且=4,则下列等式错误的是(　　)
A.
B.
C.=-4
D.=28
[错题笔记]
11.(多选)(2025·广东期中)2025年2月7日,第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.如图是第九届亚洲冬运会会徽,适当选择四个点作四边形ABCD,就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,=2=2,则下列等式一定成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
[错题笔记]
12.(多选)(2025·广东佛山模拟)已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是(　　)
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
[错题笔记]
13.(一题多解)在△ABC中,=2=3,AE和CD交于点F,若=λ,则λ=　　　.
[错题笔记]
14.(原创)已知单位向量e1,e2,…,e2 025,则|e1+e2+…+e2 025|的最大值是　　　　,最小值是　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15. 如图,已知正六边形ABCDEF,M,N分别是对角线AC,CE上的点,使得=r,当r=　　　　时,B,M,N三点共线.
[错题笔记]
16. 如图,在正方形ABCD中,=2,P是线段BE上的动点,且=x+y(x>0,y>0),则的最小值为　　　.
[错题笔记]
参考答案
1.D　因为5(a-2b)-4(b+3a)-c=-7a-14b-c=0,所以c=-7a-14b.故选D.
2.D　由题意,=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,不存在唯一的实数λ使得=,所以A,B,C三点不共线,故A错误;由于=a+2b+3a-6b-a+2b=3a-2b,故不存在唯一的实数λ使得=,不存在唯一的实数λ使得=,故B,C错误;由于=4a-4b-(a+2b)=3a-6b,所以=-3,则B,C,D三点共线,故D正确.故选D.
3.D　因为=4=4)=2+2,所以λ=μ=2,所以λ+μ=4.故选D.
4. A　由=0,得,由O为△ABC外接圆的圆心,所以||=||=||,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故∠CAB=30°,即△ABC的内角A等于30°.故选A.
5.AD　对于A,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立,故A正确;
对于B,向量不可以比较大小,故B错误;
对于C,若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,故b=c或a=0或a⊥(b-c),故C错误;
对于D,若△ABC是等边三角形,则<>=π-B=,故D正确.故选AD.
6.ABD　对于A,由题意知,E,F分别是CD边上的两个三等分点,且方向相同,则,故A正确;对于B,)=,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,,所以,故D正确.故选ABD.
7.-　相反　因为a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则存在k∈R,使得a=kb,即e1+λe2=-2ke1+3ke2.
因为e1,e2为两个不共线的向量,所以解得即a=-b,
所以a,b方向相反.
8.3　由已知得,=(1-λ)e1+e2,若M,P,Q三点共线,则=k,即(1-λ)e1+e2=k(2e1-e2),所以解得
9.(1)解 在△ABC中,因为=a,=b,所以=b-a,=a+(b-a)=a+b,=-=-a+b.
(2)证明 因为=-a+b,=-=-a+a+b)=-a+b=(-a+b),所以,即共线,又有公共点B,所以B,E,F三点共线.
10.B　对于A,由题意得,D为BE的中点,所以,故A正确;对于B,)=,故B不正确;对于C,取DE的中点G(图略),由BC=6,D,E是BC的三等分点,得G是BC的中点,且DE=2,所以=()·()==4,所以=5,=()·()==5-9=-4,故C正确;对于D,由G是BC的中点,得=2,两边平方得+2=4,所以=20+8=28,故D正确.故选B.
11.BCD　对于A,因为四边形ABCD不一定是平行四边形,所以不一定成立,故A错误;
对于B,,所以,故B正确;
对于C,,所以,故C正确;
对于D,如图,连接BD,因为E,F分别是BC,CD的中点,所以,又=2=2,所以,所以,故D正确.故选BCD.
12.ABD　根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当a与b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.
当a与b同向时,有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|,反之也成立;当a与b反向时,有|a|+|b|=|a-b|,反之也成立.故选ABD.
13.8　(方法1)由=3,得4+3,设=m,又=2,则4m+3,而C,D,F三点共线,因此4m=+3,即m==8,所以λ=8.
(方法2)+3)+3(),
即-3-4,而,且不共线,因此-4=0,即=8,所以λ=8.
14.2 025　0　当单位向量e1,e2,…,e2 025方向相同时,|e1+e2+…+e2 025|取得最大值,|e1+e2+…+e2 025|=|e1|+|e2|+…+|e2 025|=2 025;当单位向量e1,e2,…,e2 025首尾相连时,e1+e2+…+e2 025=0,所以|e1+e2+…+e2 025|的最小值为0.
15.　如图,连接AD,交EC于点G,设正六边形边长为a,由正六边形的性质知,AD⊥CE,AD∥CB,G点为EC的中点,且AG=a,则,又=r(r>0),则,故,即,若B,M,N三点共线,由共线定理知=1,解得r=或r=-(舍).
16　在正方形ABCD中,=2,则,而=x+y,则=x+y()= (x-y)+y,又点B,P,E共线,所以(x-y)+y=1,即x+=1,x>0,y>0.
因为P是线段BE上的动点,所以021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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