资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练33　平面向量基本定理及向量坐标运算
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·北京丰台期末)已知向量=(1,2),=(3,5),则的坐标为(　　)
A.(4,7) B.(-4,-7)
C.(2,3) D.(-2,-3)
2.(2025·江苏泰州一调)已知向量=(x,2),=(2,1).若,则||=(　　)
A.4 B.2 C.5 D.3
3.(2025·江西宜春二模)已知向量a=(x+3,4),b=(x,-1),若|a+b|=|a-b|,则实数x的值为(　　)
A.4 B.-4或1
C.-1 D.4或-1
4. (原创)将向量a,b的起始点平移至同一点,即两个向量都是从点A出发的,从点A出发任意方向作一个向量c,从c的终点处分别作向量a,b的平行线,形成一个平行四边形,那么由向量相加的平行四边形法则可知,向量c可以表示成分别与a,b共线的两个向量之和,即c=λa+μb.
问题:已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.- B.- C.- D.-
5.(多选)(2025·山西长治期中)下列各组向量中,可以作为基的是(　　)
A.a=(-2,3),b=(4,6)
B.a=(2,3),b=(3,2)
C.a=(1,-2),b=(7,14)
D.a=(-3,2),b=(6,-4)
6.(多选)(2025·广东东莞模拟)已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行,且方向相反的向量a可能是(　　)
A.(-1,-2)
B.(9,3)
C.(-1,2)
D.(-4,-8)
7.(2025·江西新余一模)已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),c=(-2,m),若b+c与a+3b是共线向量,则实数m=　　　　　.
8.(2025·陕西渭南期末)在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若,则的值为　　　　.
9.(2025·辽宁葫芦岛测试)已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=3,AC与BD交于点M,则点M的坐标为　　　　.
能力·高分练
10.(多选)(2026·广东开学考试)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量,实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量,其为空速向量与风速向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷,当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量,其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时,需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定,某次无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时,空速向量为(3,4)(单位:m/s),风速向量为(1,-1)(单位:m/s),则(　　)
A.地速大小为5 m/s
B.地速向量的方向与空速向量方向相同
C.纵向偏移量与标准值无偏差
D.该无人机需要调整飞行姿态
11.(多选)如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若=λ=μ+3μ,则(　　)
A.P为线段OC的中点时,μ=
B.P为线段OC的中点时,μ=
C.无论μ取何值,恒有λ=
D.存在μ∈R,λ=
12. (多选)如图,B是AC的中点,=2,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且=x+y(x,y∈R),则下列结论中正确的是(　　)
A.当x=0时,y∈[2,3]
B.当P是线段CE的中点时,x=-,y=
C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段
D.当P在C点时,x=1,y=2
13.(2026·安徽蚌埠适应考)在△ABC中,AB=6,AC=3,点D在BC上且CD=2BD,则AD的取值范围是　　　　　.
14. (15分)如图,在△ABC中,.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB中点,交于点P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值.
素养·提升练
15.(2025·福建漳州二模)在平面直角坐标系xOy中,向量=a=(x1,y1),=b=(x2,y2),若a,b不共线,记以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S(a,b)=|x1y2-x2y1|.已知=m,=n,=p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0),则=(　　)
A.|λ+μ| B.|λμ|
C.|λ|+|μ| D.
16.(原创)设的夹角为θ,||=2,||=1,=t=(1-t),||=f(t)在t=t0时取得最小值,若0A.() B.()
C.(,π) D.(,π)
参考答案
1.C　由向量的减法法则得,
且=(1,2),=(3,5),则=(2,3),故C正确.故选C.
2.D　因为=(x,2),=(2,1),且,所以x=4,则=(4,2),所以=(4,2)+(2,1)=(6,3),则||==3
3.B　将|a+b|=|a-b|两边平方,得a·b=0,由a=(x+3,4),b=(x,-1),得(x+3)x+4×(-1)=0,即x2+3x-4=0,解得x=-4或x=1.
4.B　如图,建立平面直角坐标系,设每个格子长度为1,
则a=(-2,1),b=(3,3),c=(-1,-3),由c=λa+μb得解得所以λ+μ=-故选B.
5.ABC　A选项,-2×6≠3×4,∴a,b不共线,可以作为基底;B选项,2×2≠3×3,∴a,b不共线,可以作为基底;C选项,1×14≠-2×7,∴a,b不共线,可以作为基底;D选项,2×6=-3×(-4),∴a,b共线,不能作为基底.故选ABC.
6.AD　已知两点A(2,-1),B(3,1),则=(1,2).
对于A,a=(-1,-2)=-,所以a=(-1,-2)符合题意,A是;对于B,9×(-2)-3×(-1)=-15≠0,所以a=(9,3)不符合题意,B不是;对于C,(-1)×2-2×1=-4≠0,所以a=(-1,2)不符合题意,C不是;对于D,a=(-4,-8)=-4,所以a=(-4,-8)符合题意,D是.故选AD.
7　由题设b+c=(-3,m+1),a+3b=(-2,1),且两向量共线,所以,则m=
8.4　设=,因为,所以
因为B,F,D三点在同一条直线上,所以=1,则λ=4,所以=4.
9.()　结合题意,设C(x,y),M(x1,y1),易得=(x-3,y-2),=(1,4),由=3,可得(x-3,y-2)=3(1,4),解得即C(6,14).
因为=3,所以△DMA∽△BMC,所以,所以,即(x1+1,y1-1)=(7,13)=(),
解得即点M的坐标为().
10.ACD　设空速向量为a,风速向量为b,地速向量为c,则a=(3,4),b=(1,-1),所以c=a+b=(3,4)+(1,-1)=(4,3),所以|c|==5,所以地速大小为5 m/s,故A正确;由a=(3,4),c=(4,3)可知地速向量的方向与空速向量方向不相同,故B错误;由于纵向偏移量为4 m/s,与标准值无偏差,故C正确;由于无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时,地速向量为c=(4,3),所以需要调整飞行姿态,故D正确.故选ACD.
11.AC　++λ()=(1-λ)+因为共线,所以,解得λ=,故C正确,D错误;当P为线段OC的中点时,则3,则解得μ=,故A正确,B错误.故选AC.
12.BC　当x=0时,则=y,点P在线段BE上,故1≤y≤3,故A错误;当P是线段CE的中点时,=3)=3(-2)=3(-2)=-,故B正确;当x+y为定值1时,A,B,P三点共线,又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,故P的轨迹是一条线段,故C正确;因为),所以=2,当P在C点时,则=-+2,所以x=-1,y=2,故D错误.故选BC.
13.(3,5)　由题意,以A为坐标原点,AB方向为x轴建立平面直角坐标系,设∠BAC=θ,θ∈(0,π),
因为在△ABC中,AB=6,AC=3,则A(0,0),B(6,0),C(3cos θ,3sin θ),又点D在BC上且CD=2BD,设D(x,y),则=(x-3cos θ,y-3sin θ),=(6-x,-y),又=2,则(x-3cos θ,y-3sin θ)=2(6-x,-y),解得x=4+cos θ,y=sin θ,所以=(4+cos θ,sin θ),所以||2=(4+cos θ)2+(sin θ)2=17+8cos θ.
因为cos θ∈(-1,1),所以||2∈(9,25),则||∈(3,5),所以AD的取值范围是(3,5).
14.解 (1)在△ABC中,由,得4-3=0,即3()=,即3,即点M是线段BC上靠近B的四等分点,
∴△ABM与△ABC的面积之比为
(2)=x+y(x,y∈R),,
∴设=
∵N,P,C三点共线,=1,解得λ=,x=,y==,故x+y=
15.C　依题意,设=m=(x3,y3),=n=(x4,y4),则=p=λm+μn=(λx3+μx4,λy3+μy4),
S(m,n)=|x3y4-x4y3|,
S(m,p)=|x3(λy3+μy4)-(λx3+μx4)y3|=|μ||x3y4-x4y3|,
S(n,p)=|x4(λy3+μy4)-(λx3+μx4)y4|=|λ||x3y4-x4y3|,
则=|λ|+|μ|.
16. B　因为的夹角为θ,||=2,||=1,如图建立直角坐标系.
不妨设B(cos θ,sin θ)(0≤θ≤π),A(2,0),则=t=(2t,0),=(1-t)=((1-t)cos θ,(1-t)sin θ),=((1-t)cos θ-2t,(1-t)sin θ),||=
=
=
(x=cos θ).
依题意,||=f(t)在t=t0=时取得最小值,且0由0≤θ≤π,得<θ<,所以θ的取值范围是().故选B.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑