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2026全国版高中数学突破练
突破练34　平面向量的数量积
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广东深圳期中)已知向量m=(3,1),n=(1,1),则m·(m-n)=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2025·江苏淮安模拟)平面向量a=(1,2),b=(x,1),若a⊥(a+b),则x=(　　)
A. B.-2 C.-7 D.1
3.(2025·天津静海期中)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则a+c与b-c夹角的余弦值为(　　)
A. B. C.- D.-
4.(2025·浙江杭州期末)在平面四边形ABCD中,若AB⊥BC,AD⊥DC,且AB=1,AD=3,则=(　　)
A.-8 B.8 C.10 D.3
5.(2025·河南三模)在△ABC中,向量=(x,1),=(-3,2-x),若∠ABC为锐角,则实数x的取值范围为(　　)
A.(,3)∪(3,+∞) B.(-1,3)∪(3,+∞)
C.(,+∞) D.(-∞,)
6. (多选)(2025·安徽黄山二模)如图,一条河两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行,已知船的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π),则下列说法正确的为(　　)
A.当船的航行时间最短时,θ=
B.当船的航行距离最短时,cos θ=
C.当θ=时,船的航行时间为6分钟
D.当θ=时,船的航行距离为 km
7.(多选)(2025·福建厦门一模)已知平面向量a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),则(　　)
A.a,b不可能垂直
B.a,b不可能共线
C.|a+b|不可能为5
D.若θ=,则a在b方向上的投影向量为2b
8.(2025·山东一模)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为　　　　　.
9.(2025·江西南昌二模)已知向量a=(1,-2),a·b=5,则|b|的最小值是　　　　　.
能力·高分练
10.(2025·河南新乡二模)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)都是非零向量,定义新运算a☉b=x2+x1y1y2+x1+y1x2y2,则“a☉b=0”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.(原创)葫芦是一种文化载体、文化事象,更是吉祥的象征.图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩,它近似为两个球融合组成的.现模仿该古玩制作了一模型,其轴截面如图②所示,已知两球的半径分别为2和3,且两球心的距离为,记两球心分别为O1,O2,P为两个球面交线上一点,则=(　　)
图①
图②
A.1 B.
C.2 D.
12.(多选)(2024·江苏盐城一模)定义平面斜坐标系xOy,记∠xOy=θ,e1,e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若平面上任意一点P的坐标满足=xe1+ye2,则记向量的坐标为(x,y),给出下列四个命题,正确的选项是(　　)
A.若=(x1,y1),=(x2,y2),则=(x1+x2,y1+y2)
B.若=(x1,y1),=(x2,y2),则=x1x2+y1y2
C.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=
D.若θ=60°,则以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy-1=0
13.(2025·安徽蚌埠二模)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构,在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示,其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形,且AB=4,点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界),则的取值范围是　　　　　.
14.(15分)(2026·内蒙古包头模拟)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角.
(1)求m的值;
(2)设d=a+tb,且d·c=-18,若(λa+b)在d方向上的投影向量为-d,求λ的值
素养·提升练
15.(原创)已知同一平面内的单位向量e1,e2,e3,则(e1-e2)·e3的最小值是　　　　　;若e1+e2与e3不共线,|e1+e2+e3|=1,x,y,z∈R,xe1+ye2+ze3=0,x+y+z=2 025,则=　　　　　.
16.(2025·江苏苏州开学考试)已知非零向量a,b满足a⊥b,|a-b|=2,设cλ=λa+(1-λ)b,λ∈[0,1],若存在λ∈[0,1],使得cλ·,则|cλ|的取值范围是　　　　　.
参考答案
1.D　由m=(3,1),n=(1,1),可得m-n=(2,0),则m·(m-n)=3×2+1×0=6.故选D.
2.C　由题设a+b=(x+1,3),又a⊥(a+b),则a·(a+b)=x+1+6=0,可得x=-7.故选C.
3.D　由a⊥c,则a·c=2x-4=0,解得x=2,即a=(2,1).
由b∥c,则b=λc,可得解得y=-2,即b=(1,-2).
由a+c=(4,-3),b-c=(-1,2),则cos==-故选D.
4.B　因为AB⊥BC,AD⊥DC,且AB=1,AD=3,所以=0,=0,则=()·()==9-()=9-()=9-=8.
5.A　因为∠ABC为锐角,则>0,且不共线.
由=(x,1),得=(-x,-1),又=(-3,2-x),则=3x-2+x=4x-2>0,解得x>
若共线,则-x(2-x)=(-1)×(-3),即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,所以x>且x≠3,即x的取值范围是(,3)∪(3,+∞).故选A.
6.AC　对于A,将船的速度v1和水流速度v2进行合成,船垂直河岸方向的分速度v=|v1|sin θ,河宽d=500 m=0.5 km,则渡河时间t=,
当sin θ=1,即θ=时,t取得最小值,所以当船的航行时间最短时,θ=,故A正确;
对于B,当船的航行距离最短时,合速度方向垂直河岸,如图,则cos(π-θ)=,所以cos θ=-,故B错误;
对于C,当θ=时,船垂直河岸方向的分速度v=|v1|sin θ=10=5 km/h,船的航行时间t= h,即6分钟,故C正确;
对于D,将船的速度v1和水流速度v2进行合成,为v0,则v0=v1+v2,当θ=时,v1·v2=|v1||v2|cos =10×2×(-)=-10,所以|v0|==2
因为船垂直河岸方向的分速度v=|v1|sin θ=10=5 km/h,所以船的航行时间t= h,所以船的航行距离为|v0|·t=2 km,故D错误.故选AC.
7.ACD　a·b=2+sin θcos θ=2+sin 2θ≥2-,A选项正确;若向量a,b共线,则2cos θ-sin θ=0,解得tan θ=2,所以向量a,b可能共线,B选项错误;a+b=(3,sin θ+cos θ),所以|a+b|=<5,C选项正确;若θ=,则a=(2,1),b=(1,0),所以a在b方向上的投影向量为=2b,D选项正确.故选ACD.
8　由(a-b)·a=|a|2-a·b=0,故a·b=|a|2,cos=,又∈[0,],故a与b的夹角为
9　设b=(x,y),则a·b=x-2y=5,可得x=2y+5,故|b|=,当且仅当y=-2时,|b|取最小值
10.B　若a☉b=0,则a☉b=x2+x1y1y2+x1+y1x2y2=(x1+x2)(x1x2+y1y2)=0,则x1+x2=0或x1x2+y1y2=0.当x1+x2=0时,a·b=x1x2+y1y2=0未必成立;当x1x2+y1y2=0时,a·b=x1x2+y1y2=0.故“a☉b=0”是“a⊥b”的必要不充分条件.故选B.
11. B　如图,连接O1O2,在△PO1O2中,PO1=2,PO2=3,O1O2=,由余弦定理,可得cos∠O1PO2=
=,故=||||cos∠O1PO2=2×3故选B.
12.AD　对于A,=(x1,y1),=(x2,y2),则=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2=(x1+x2,y1+y2),故A正确;
对于B,=(x1,y1),=(x2,y2),则=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)e1·e2,显然e1·e2≠0,则x1x2+y1y2,故B错误;
对于C,=(x1,y1),=(x2,y2),由选项A同理得=(x2-x1,y2-y1),
即=(x2-x1,y2-y1),=(x2-x1)e1+(y2-y1)e2,|PQ|=,
故C错误;
对于D,设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为P(x,y),由|OP|=1,得(xe1+ye2)2=1,于是x2+y2+2xye1·e2-1=0,由θ=60°,得e1·e2=,即x2+y2+xy-1=0,故D正确.故选AD.
13. [16,48]　过点M作直线AB的垂线,垂足为M1,则=0,,所以
当点M与点H重合时,取最小值,即此时=4×4=16,
当点M与点E重合时,取最大值,即此时=4×12=48,
所以的取值范围是[16,48].
14.解 (1)∵向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b=(m+4,2m+2),又c与a的夹角等于c与b的夹角,,,,解得m=2.
(2)根据(1)知c=(6,6),d=a+tb=(4t+1,2+2t),因为d·c=-18,得6(4t+1)+6(2t+2)=-18,解得t=-1,则d=(-3,0),λa+b=(λ+4,2λ+2).
因为(λa+b)在d方向上的投影向量为-d,所以=-,则=-,解得λ=-
15.-2　2　要使(e1-e2)·e3最小,需e1-e2模长最大,且与e3夹角为π,故当e2,e3同向,且e2,e1反向时,(e1-e2)·e3=|e1-e2||e3|cos π=-2,可取得最小值-2;
设e1+e2+e3=-e4,即e1+e2+e3+e4=0,又e1,e2,e3均为单位向量,若e1,e2共线,则e1,e2,e3,e4首尾相连成一条线段,则此时e1+e2与e3共线,不符合题意;
若e1,e2不共线,则e1,e2,e3,e4首尾相连形成一个菱形,即e1=-e3,e2=-e4.
因为xe1+ye2+ze3=0,x+y+z=2 025,
所以ye2=-xe1-ze3=(z-x)e1,则y=z-x=0 x=z=,
所以=2.
16.(,1]　由题意得[λa+(1-λ)b](a+b)=,即[λa+(1-λ)b]·(a+b)=1,又a⊥b,故a·b=0,所以λa2+λa·b+a·b-λa·b+(1-λ)b2=1,故λ|a|2+(1-λ)|b|2=1①.
因为|a-b|=2,所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2+|b|2=4②.
联立①②得|a|2=>0,|b|2=>0,解得λ∈[0,)∪(,1],
则|cλ|2=[λa+(1-λ)b]2=λ2a2+(1-λ)2b2=λ2+(1-λ)2,令2λ-1=t∈[-1,-)∪(,1],则λ=,则|cλ|2==t2∈(,1],故|cλ|∈(,1].
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