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2026全国版高中数学突破练
突破练35　平面向量的综合应用
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x=y,则x+y的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知在△ABC中,BC=6,G,O分别为△ABC的重心和外心,且=6,则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.上述三种情况都有可能
3.类比数列,我们把一系列向量按照一定的顺序排列,可得到向量列.已知向量列{an}满足an+1=2an+d,且a1·d=|d|=1,则an·d=(　　)
A.2n-1 B.2n-1
C.2n+1-4 D.2n
4.若|a|=|b|=|c|=2,且a·b=0,(c-a)·(c-b)≤0,则|a+b-c|的取值范围是(　　)
A.[0,2+2] B.[0,2]
C.[2-2,2+2] D.[2-2,2]
5.(2026·湖南邵阳期末)在矩形ABCD中,AB=2AD=4,P是矩形ABCD区域内一点(含边界),点Q与点P关于点B对称,则的最大值为(　　)
A.9 B.6
C.7 D.8
6.(原创)(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界),且+λ,λ∈R,则下列说法正确的是(　　)
A. λ使得||>||
B.△PCD的面积为定值
C.∠CPD的取值范围是[]
D.||的取值范围是[]
7.(多选)(一题多解)若平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=1,|c|=3,且a·c=b·c,则(　　)
A.|a+b+c|的最小值为1
B.|a+b+c|的最大值为5
C.|a-b+c|的最小值为2
D.|a-b+c|的最大值为
8. (2025·湖南岳阳开学考试)在边长为1的正方形ABCD中,,F为线段BE上的动点,G为AF中点,则的最小值为　　　　.
9. (15分)如图,已知等边三角形ABC的边长为2,☉A的半径为1,PQ为任意一条直径.
(1)判断是否为定值;
(2)求的取值范围.
能力·高分练
10.(2025·河北秦皇岛模拟)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=,若向量a满足=,则|a|的最大值为(　　)
A.2 B.
C. D.1
11.已知O是△ABC所在平面内的一定点,平面内动点P满足+λ(),λ∈R,则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
12. (多选)(2025·辽宁沈阳模拟)如图,AB是直线l同侧的两个定点,由线段AB中点M向直线l作垂线,垂足为N,定点C,D,E在直线l上,P是直线l上的一个动点,则下列说法正确的有(　　)
A.有最小值
B.有最大值
C.
D.直线l上有且只有一点F(不与E重合)使得
13. (原创)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,E,F为BC上的动点,且EF=,则的取值范围为　　　　　.
14. (15分)(2025·江苏连云港模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,设=a,=b.
(1)试用a和b表示;
(2)若点P满足a+λb,且B,D,P三点共线,求实数λ的值;
(3)若AD=2,AB=4,∠DAB=60°,且点E是线段AC上的动点,求的最小值.
素养·提升练
15.(多选)(2026·广东深圳期中)如图,P为△ABC内任意一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△BPC,△APC,△APB的面积分别为SA,SB,SC,总有优美等式SA·+SB·+SC·=0成立,则以下命题是真命题的有(　　)
A.若P是△ABC的重心,则有=0
B.若,则SC∶S△ABC=2∶5
C.若P为△ABC的内心,3+4+5=0,则∠C=
D.若P是△ABC的外心,A==m+n,则-≤m+n<1
16.在△ABC中,AC=BC=AB=1,且=x=y,其中x,y∈(0,1),x+4y=1,若M,N分别为线段EF,AB中点,当线段MN取最小值时,x=　　　,y=　　　.
参考答案
1.B　由于G为△ABC的重心,所以,由于M,G,N三点共线,所以=1,x+y=3.故选B.
2. C　作△ABC的边BC上的中线AD,如草图.因为O为△ABC的外心,所以OD⊥BC.因为G为△ABC的重心,所以DG=DA.过点G作GE⊥BC于点E,过点A作AH⊥BC于点H.由=6及BC=6,又方向上的投影向量,
所以根据数量积的几何意义,得DE=1.
由GE∥AH及DG=DA,得DH=3.
而DC=3,所以点H,C重合,故AC⊥BC.故选C.
3.B　易知an+1·d=(2an+d)·d=2an·d+d2=2an·d+1,则an·d+1=2(an·d+1).因为a1·d+1=2,所以数列{an·d+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,则an·d+1=2n,则an·d=2n-1.故选B.
4.D　如图,由|a|=|b|=|c|=2知3个向量终点都在半径为2的圆上运动,
设a=,b=,c=,由a·b=0得,由(c-a)·(c-b)≤0即0,即点C只能在劣弧AB上运动,而|a+b-c|表示||,||max=||=||=2,||min=||-2=2-2,
所以|a+b-c|∈[2-2,2].故选D.
5.D　因为点Q与点P关于点B对称,所以=2,则=2
取AB的中点O,连接PO,则,
则=()·()=-4.
当点P与点C或点D重合时,||取得最大值2,则-4≤4,从而的最大值为8.故选D.
6. BCD　由+,λ∈R,可得=,即=,可得
对于A,因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称,故||=||,故A错误;
对于B,P在正六边形ABCDEF的对角线BE上运动,所以P到CD的距离为定值,所以△PCD的面积为定值,故B正确;
对于C,根据图形的对称性,当P为BE中点时,∠CPD取得最大值,当P与B,E重合时,∠CPD取得最小值,即∠CPD的取值范围是[],故C正确;
对于D,因为正六边形边长为1,所以平行线BE,CD的距离d=,所以当PC⊥BE时,||有最小值,当点P与点E重合时,||有最大值,故D正确.故选BCD.
7.ABD　(方法1)由a·c=b·c,|a|=1,|b|=1,得cos=cos,则当向量a,b方向相同,且与c方向相反时,|a+b+c|有最小值,为|c|-(|a|+|b|)=1;
当向量a,b,c方向相同时,|a+b+c|有最大值,为|a|+|b|+|c|=5,A,B正确.
由a·c=b·c,得(a-b)·c=0,所以|a-b+c|=,所以a,b方向相同时,|a-b|取最小值0,|a-b+c|取最小值3;
当a,b方向相反时,|a-b|取最大值2,|a-b+c|取最大值,C错误,D正确.
(方法2)由题意,设c=(3,0),a=(cos θ,sin θ),
则由a·c=b·c,得(a-b)·c=0,若取b=(cos θ,-sin θ),则|a+b+c|=|3+2cos θ|∈[1,5],|a-b+c|=[3,];若取b=(cos θ,sin θ),则|a+b+c|=[1,5],|a-b+c|=3,所以C错误,A,B,D正确.故选ABD.
8. -　如图,分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系.
依题意,B(1,0),E(,1),D(0,1),设=t,t∈[0,1],则+t=(1,0)+t(-,1)= (1-t,t),(1-t,t)-(0,1)=(t,t-1),由=(1-t)(t)+t(t-1)=t2-t+(t-)2-,因为t∈[0,1],则当t=1时,取得最小值,为-
9.解 (1)是定值.
对向量分别插入分点A,则=()·()-()=()=2-1+0=1.
(2)=()·()==2-1+()=1+=1+2cos θ∈[-1,3],其中cos θ为的夹角.
10.B　因为e1,e2是单位向量,且e1·e2=,所以cos=
又因为0≤≤π,所以=
设e1=(1,0),e2=(),a=(x,y),则e1-a=(1-x,-y),e2-a=(-x,-y),所以(e1-a)·(e2-a)=(1-x)(-x)-y(-y).
因为=,所以(e1-a)·(e2-a)=-|e1-a|·|e2-a|,可得(1-x)(-x)-y(-y)=
-,
化简得x2+y2-x-y=0,配方得(x-)2+(y-)2=,表示以()为圆心,为半径的圆,圆心()到原点的距离为,则|a|的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径,即为故选B.
11.B　令BC的中点为D,则=2,由+λ(),得+
λ(),即=λ(),
因此=λ()=λ()=λ(-||+||)=0,则DP⊥BC,点P在BC的垂直平分线上,所以动点P的轨迹一定经过△ABC的外心.故选B.
12.ACD　=()·()=+()+||2,
因为M为AB中点,所以=2,
所以=||2+2=||2+2||||cos<>+
因为A,B,C,M为定点,所以为定值,又C,P在直线l上,所以||·cos<>为定值,所以=||2+2||||cos<>+是关于||的二次函数,由二次函数性质得有最小值,无最大值,所以A正确,B错误;
()-()=+(),由题图知>0,>0,所以>0,所以,所以C正确;
若()·()=+()+2,则2=0,所以||=-2||cos<>,所以cos<><0.因为F在直线l上,所以这样的点F只有一个,所以D正确.故选ACD.
13. [,2]　如图,分别取BC,EF的中点D,G,则
当点E运动到点B时,AG取到最大值,此时BG=
由余弦定理得AG2=BG2+AB2-2BG·ABcos,此时()max=2;
当点E,F分别运动到BD,DC的中点,即点G与点D重合时,AG取到最小值,AG2=AD2=2,此时()min=,所以[,2].
故的取值范围为[,2].
14.解 (1)因为=2,所以=2(),化简为=-+2=-b+2a.
(2)因为B,D,P三点共线,所以=k+(1-k)
因为=2,所以
又a+λb=++λ(),所以+λ()=-+(+λ),
所以解得λ=
(3)因为点E是线段AC上的动点,设=t(0≤t≤1),因为,所以=t,
所以=(t-1)=t+(-1),
所以=[(t-1)]·[t+(-1)]=(t2-t)+(t2-t+1)+(t2-t)=(t2-t)×4+(t2-t+1)×2×4×cos 60°+(t2-t)×16=12t2-18t+4=12(t-)2-,
故当t=时,取到最小值-
15. ACD　对于A,如图所示,因为D,E,F分别为CA,AB,BC的中点,所以CP=2PE,S△AEC=S△ABC,S△APC=S△AEC=S△ABC,
同理可得S△APB=S△ABC,S△BPC=S△ABC,所以S△PBC=S△PAC=S△PAB.
又因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=0,所以=0,故A正确;
对于B,因为,所以=-,所以,所以=-,所以S△PBC(-)+S△PAC()+S△PAB(-)=0,
化简得(-S△PBC+S△PAC-S△PAB)+(-S△PBC-S△PAC+S△PAB)=0.
又因为不共线,所以
所以
所以,故B错误;
对于C,若P为△ABC的内心,3+4+5=0,则SA∶SB∶SC=3∶4∶5.
又SA∶SB∶SC=arbrcr=a∶b∶c(r为△ABC内切圆半径),
所以a2+b2=c2,故∠C=,故C正确;
对于D,因为P是△ABC的外心,A=,所以∠BPC=,||=||=||,
所以=||||cos∠BPC=0.
因为=m+n,则=m2+2mn+n2||2,化简得m2+n2=1,由题意知m,n不同时为正,
记<α<2π,
则m+n=cos α+sin α=sin(α+),
因为<α+,所以-1≤sin(α+)<,所以-sin(α+)<1,所以m+n∈[-,1),故D正确.故选ACD.
16　连接CM,CN,如图所示.
因为在等腰三角形ABC中,AC=BC=1,AB=,所以cos∠CAB=
因为0°<∠CAB<180°,所以∠CAB=30°,所以∠ACB=120°,所以=||||cos 120°=-
因为CM是△CEF的中线,所以)=(x+y),同理可得),所以(1-x)(1-y),所以(1-x)2(1-x)(1-y)(1-y)2(1-x)2-(1-x)(1-y)+(1-y)2,又x+4y=1,所以y2-y+,x,y∈(0,1),由二次函数的性质可知,当y=-时,有最小值,此时x=1-4y=
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