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2026全国版高中数学突破练
突破练36　复数
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广东佛山二模)复数(3+4i)(3-4i)=(　　)
A.-25 B.25 C.-5 D.5
[错题笔记]
2.(2025·江苏北部七市二调)已知z=,则||=(　　)
A.1 B. C.2 D.4
[错题笔记]
3.(2025·江西赣州期末)若复数z=a2-1+(a-1)i,a∈R为纯虚数,则·z=(　　)
A.-2 B.0 C.2 D.4
[错题笔记]
4.(2025·山东菏泽一模)在复平面内,向量对应的复数为-1+3i,向量对应的复数为-2+i,则向量对应的复数为(　　)
A.-3-4i B.-3+4i
C.1+2i D.-1-2i
[错题笔记]
5.(多选)(2025·广东湛江二模)已知复数z1=1+i,z2=1-i,则下列复数为纯虚数的是(　　)
A.z1z2 B.z1-z2 C. D.
[错题笔记]
6.(多选)(2025·江苏苏州期中)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则(　　)
A.p=2 B.x2=1-i
C.x1·=-2i D.=i
[错题笔记]
7.(2025·江西南昌信息卷)已知复数z满足z2=2+2i,则z的虚部为　　　　　.
[错题笔记]
8.(2025·河北秦皇岛三模)若复数z满足(1+i)z=|-i|,则z的虚部为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
9.(2025·甘肃白银期末)已知复数z满足|z+3-4i|=1,则|z|的最小值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
[错题笔记]
10.(多选)(2025·广东湛江一模)复数z1,z2满足z1+z2=4,z1·z2=8,则(　　)
A.|z1|·|z2|=8 B.|z1-z2|=4
C.|z1|+|z2|=4 D.||=1
[错题笔记]
11.(多选)(2025·河北秦皇岛一模)已知复数z0满足i3z0=,则(　　)
A.z0的实部为
B.z0的虚部为
C.满足|z|≤|z0|的复数z对应的点所在区域的面积为π
D.z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为
[错题笔记]
12.(2025·山东临沂期中)著名数学家棣莫弗出生于法国,他提出了公式[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中r>0,n∈N*.设复数z=(cos+isin),若正整数n满足|zn|≤2 025,则n的最大值为　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
13.(原创)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=i,则|z1+z2|=(　　)
A. B. C. D.2
[错题笔记]
14.(原创)意大利数学家卡尔达诺发明了三次方程的代数解法,17世纪人们把卡尔达诺的解法推广,并整理为四个步骤:
第一步,把方程x3+a2x2+a1x+a0=0中的x用x-来替换,得到方程x3+px+q=0;
第二步,利用公式x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)将x3+px+q因式分解;
第三步,求得y,z的一组值,得到方程x3+px+q=0的三个根:-y-z,-ωy-ω2z,-ω2y-ωz(其中ω=,i为虚数单位);
第四步,写出方程x3+a2x2+a1x+a0=0的根:x1=--y-z,x2=--ωy-ω2z,x3=--ω2y-ωz.
某同学利用上述方法解方程8x3-12x2-42x+55=0时,得到y的一个值为-1+i,则下列说法正确的是　　　　　.
①a2=-;②yz=2;③x2=-;④x3=-1-.
[错题笔记]
参考答案
1.B　(3+4i)(3-4i)=9+16=25.
2.A　z==-i,所以=i,||=1.
3.D　由复数z=a2-1+(a-1)i,a∈R是纯虚数,得解得a=-1,则z=-2i,=2i,所以z=-4i2=4.
4.D　因为向量对应的复数为-1+3i,向量对应的复数为-2+i,所以=(-2+i)-(-1+3i)=-1-2i,所以向量对应的复数为-1-2i.
5.BCD　因为z1=1+i,z2=1-i,则z1z2=(1+i)(1-i)=2,z1-z2=2i,=(1+i)2=2i,=i,为纯虚数的是z1-z2,故选BCD.
6.BD　因为x1=1+i且实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,所以x1x2=2,可得x2==1-i,故B正确;
又x1+x2=1+i+1-i=2=-p,所以p=-2,故A错误;
由=1+i,所以x1=(1+i)2=2i≠-2i,故C错误;
=i,故D正确.
7.±1　设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi=2+2i,所以解得所以z=+i或z=--i,所以z的虚部为±1.
8.-　∵z=i,∴z的虚部为-
9.B　由|z+3-4i|=1,得|z-(-3+4i)|=1,所以复数z在复平面内对应的点到点(-3,4)的距离恒等于1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以点(-3,4)为圆心,以1为半径的圆,所以|z|的最小值为圆心(-3,4)到原点的距离减去半径,即|z|min=-1=4.故选B.
10.ABD　依题意得,复数z1,z2是方程x2-4x+8=0的两个根,x2-4x+8=0可得Δ=(-4)2-4×8=-16=(4i)2,解得x==2±2i,则z1=2+2i,z2=2-2i,所以|z1|·|z2|==22=8,故A正确;
|z1-z2|=|4i|=4,故B正确;
|z1|+|z2|=2+2=4,故C错误;
||=||=||=||=|i|=1,故D正确.
11.AC　由i3z0=,则z0=i,所以z0的实部为,虚部为-,故A正确,B错误;
因为|z0|==1,则|z|≤|z0|=1.
设z=a+bi,则|z|=1,即a2+b2≤1,所以复数z对应的点所在区域是以原点为圆心,1为半径的圆内的区域(包括圆),则所在区域的面积为π×12=π,故C正确;
如图,z0对应的向量为=(,-),则向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为,故D错误.
12.21　因为z=(cos+isin),则zn=(cos+isin),又|cos+isin|==1,所以|zn|=,由|zn|≤2 025,得到2 025,又210<2 025<211,且210<2 025,则,所以n≤21.
13. C　设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则由题意||=||=1,因为z1-z2=i,所以||=1,即△OZ1Z2为正三角形,其高为
|z1+z2|=||=
14.①②③　8x3-12x2-42x+55=0 x3-x2-x+=0.
依题意可知a2是二次项系数,所以a2=-,故①正确;
第一步,把方程x3-x2-x+=0中的x用x+来替换,得(x+)3-(x+)2-(x+)+=x3-6x+4=0;
第二步,对比x3-6x+4=0与x3+y3+z3-3xyz=0,可得解得yz=2,z=-1-i,故②正确;
所以x2=--ωy-ω2z=(-1+i)+()2(1+i)=-,故③正确;
x3=--ω2y-ωz=-()2·(-1+i)+() (1+i)=-,故④错误.
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