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2026全国版高中数学突破练
突破练37　数列的概念与简单表示法
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·江西赣州期中)已知数列{an}的前4项为3,6,11,20,则{an}的通项公式可以是(　　)
A.an=3n B.an=2n+n
C.an=3n D.an=4n-n
[错题笔记]
2.(2025·北京大兴期中)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2),则a4=(　　)
A.5 B.10 C.11 D.12
[错题笔记]
3.(2025·广东期末)已知数列{an}的前n项和Sn=kn2+2n,a2=5,则k的值为(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
[错题笔记]
4.(2025·四川凉山期中)已知数列{an}满足a1=4,且an+1=2an-3,则a211=(　　)
A.2210-3 B.2211+3
C.2210+3 D.2211+1
[错题笔记]
5.已知数列{an}满足anan+1=2an+1-an-1,且a1=3,则a2 026=(　　)
A. B.-4 C. D.
[错题笔记]
6.(2025·广东广州期末)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案,图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线,设原正三角形(图①)的边长为2,把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为C1,C2,C3,C4,则C5=(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
7.(多选)(2025·四川资阳期末)数列{an}满足an+1=,a1=-,则(　　)
A.a2= B.{an}为递增数列
C.{an}为周期数列 D.a2 025=2 024
[错题笔记]
8.(原创)已知数列{an}中,a1=4,(n+1)an+1=(n+2)an,则an=　　　　　.
[错题笔记]
9.(2025·重庆高三期中)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+2),则a16=(　　)
A.2 B. C. D.
[错题笔记]
能力·高分练
10.(2025·湖南常德一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且an+1=a1+a2+…+an(n∈N*),则(　　)
A.a2=2 B.a4=8
C.S2=3 D.S5=16
[错题笔记]
11.(2025·安徽滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1,以后各项由an+2=an+1+an(n∈N*)给出.若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn},则b2 024+b2 025=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
[错题笔记]
12.(原创)(多选)已知Sn为数列{an}的前n项和,an=(n∈N*),则(　　)
A.an+a15-n(n≤14)为定值
B.数列{an}是递增数列
C.Sn≥S7
D.数列{Sn+6}是递增数列
[错题笔记]
13.(2026·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则an=　　　　　　　　.
[错题笔记]
14.(2025·广东模拟)记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和,且=n2,则S30=　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(2026·浙江高三开学考试)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2 025A.2 026 B.2 027 C.4 048 D.4 049
[错题笔记]
16.(多选)(2025·广东模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an>0,=-,n∈N*,若a1=1,则下列结论正确的是(　　)
A.数列成等比数列
B.若 n∈N*,数列{S2n+1-Sn}的最大值为
C.
D.数列{log7an-2log7an+1}中的最小项为log7
[错题笔记]
参考答案
1.B　已知数列{an}的前4项为3,6,11,20,即a1=3,a2=6,a3=11,a4=20,验证选项中的通项公式,只有an=2n+n符合题意,所以{an}的通项公式可以是an=2n+n.故选B.
2.B　因为数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2),则a2=a1+2=3,a3=a2+3=6,a4=a3+4=10.故选B.
3.C　由Sn=kn2+2n,可得a2=S2-S1=(4k+4)-(k+2)=3k+2,则3k+2=5,解得k=1.故选C.
4.C　因为an+1=2an-3,所以an+1-3=2(an-3).
因为a1-3=1,所以数列{an-3}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an-3=2n-1,所以an=2n-1+3,故a211=2210+3.故选C.
5.A　由题意可知3a2=2a2-3-1,a2=-4,同理a3=-,a4=,a5=,a6=,a7=3,a8=-4,…,故{an}是以6为周期的周期数列,所以a2 026=a6×337+4=a4=
6.A　观察图形知,各个图形的周长依次排成一列构成数列{Cn},从第二个图形开始,每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍,边长是相邻前一个图形的,因此从第二个图形开始,每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的,即有Cn+1=Cn,因此数列{Cn}是首项C1=6,公比为的等比数列,故Cn=6×()n-1,则C5=6×()4=故选A.
7.AC　由题可知a1=-,a2=,a3=4,a4=-,所以数列的最小正周期为3,A,C正确,B错误;a2 025=a675×3=a3=4,D错误.故选AC.
8.2n+2　∵(n+1)an+1=(n+2)an,a1=4,
,即,
∴an=…a1=…4=2n+2.
a1=4满足上式,故an=2n+2.
9.C　由题意可得a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+2)①,
所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)(n+1)②,
由①-②得nan=2n+1,所以an=(n≥2),所以a16=故选C.
10.D　由an+1=a1+a2+…+an=Sn,当n=1时,a2=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+1-an,所以an+1=2an,所以数列{an}从第二项开始是以a2=1为首项,2为公比的等比数列,所以an=Sn=即Sn=2n-1,
所以a2=1,a4=4,S2=2,S5=16,
故A,B,C错误,D正确.故选D.
11.A　因为an+2=an+an+1(n∈N*),a1=a2=1,所以数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,所以{bn}是以8为周期的周期数列,所以b2 024+b2 025=0+1=1.故选A.
12.ACD　对于A选项,当n≤14且n∈N*时,an+a15-n==1,A正确;
对于B选项,因为a6==-1,a7==-4,a8==5,所以a7对于C选项,令an=0,可得3≤n<,因为n∈N*,当n<3时,an>0,当3≤n≤7时,an≤0,当n≥8时,an=>0,故Sn≥S7,C正确;
对于D选项,当n≥8时,an=>0,所以,当n≥1时,Sn+7-Sn+6=an+7>0,即Sn+7>Sn+6,故数列{Sn+6}是递增数列,D正确.故选ACD.
13　∵Sn=3n2-2n+1,
∴当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,
由n=1时,6n-5=1≠2,
∴an=
14　由题易得Sn+1=(n+1)2an+1,故Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,化简得(n2+2n)an+1=n2an,即(n+2)an+1=nan,
由a1=1知an≠0,故,累乘可得……,即an+1=,
故an=(n≥2),当n=1时,符合上式,故Sn=n2an=,故S30=
15.A　由S2 0250,a2 025+a2 026=S2 026-S2 024>0,|a2 026|>|a2 025|,因此等差数列{an}为递增数列,而S4 049==4 049a2 025<0,S4 050==2 025(a2 025+a2 026)>0,则n≤2 025时,an<0,Sn<0,即>0;当n≥2 026时,an>0,要使最小,则Sn<0,此时2 026≤n≤4 049,数列{Sn}为递增数列,则随着n的增大,an增大,减小,Sn增大,但>0,Sn<0,则增大,因此,当n=2 026时,最小.故选A.
16.BCD　对于A,因为=-,化简得(2n+1)an+1=(2n-1)an,即,当n≥2时,,…,,故……,即an=(n≥2).
因为a1=1满足上式,故an=(n∈N*),故=1,=3,=5,不满足()2=,则数列不构成等比数列,故A错误;
对于B,因为(S2n+3-Sn+1)-(S2n+1-Sn)=(S2n+3-S2n+1)-(Sn+1-Sn)=a2n+3+a2n+2-an+1==-<0,则S2n+3-Sn+1对于C,),n≥2,则<1+(1-)=1+(1-)=,故C正确;
对于D,令bn=log7an-2log7an+1=log7an-log7=log7=log7=log7=log7(2n-1++4),
又b1=log7(2-1++4)=log79,b2=log7=log7,故b1>b2,
令f(n)=2n-1++4,n≥2,由对勾函数单调性得f(n)在[2,+∞)上单调递增,则bn+1-bn=log7f(n+1)-log7f(n)>0,n≥2,则n≥2时,{bn}单调递增,故当n=2时,bn取得最小值,此时b2=log7,则数列{log7an-2log7an+1}中的最小项为b2=log7,故D正确.故选BCD.
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