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2026全国版高中数学突破练
突破练39　等比数列
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·广东揭阳模拟)1和2 025的等比中项为(　　)
A.50 B.45 C.±45 D.±35
[错题笔记]
2.(2025·广东深圳期中)已知数列{an}为等比数列,其中a6=-1,a10=-9,则a8=(　　)
A.-5 B.-3 C.3 D.5
[错题笔记]
3.(2025·广东佛山一模)在等比数列{an}中,a2=1,设甲:a4=3;乙:a6=9,则甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
4.(2025·江西赣州期末)已知数列{}是以1为首项,4为公比的等比数列,则=(　　)
A. B.
C.433-1 D.432+1
[错题笔记]
5.(2025·河北唐山一模)若等比数列{an}的前n项和Sn=2n+m(m∈R),则m=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
[错题笔记]
6.(2025·河北秦皇岛期中)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何 ”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金为持金的,第2关收税金为剩余金的,第3关收税金为剩余金的,第4关收税金为剩余金的,第5关收税金为剩余金的,5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少 ”记这个人原来持金为a斤,则a=(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
7.(多选)(2025·河南南阳模拟)设数列{an},{bn}都是等比数列,则下列选项中一定是等比数列的有(　　)
A.{an+bn} B.{an-bn}
C.{anbn} D.{}
[错题笔记]
8.(2025·河南安阳一模)已知正项等比数列{an}满足a2n=,且a1+a2=,则公比为　　　　　.
[错题笔记]
9.(2025·安徽六安期末)设Sn是等比数列{an}的前n项和,a2-a1=3,a3-a2=6,则S4=　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
10.(原创)已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*,都有anan+1=2n,则a2 026=(　　)
A.22 026 B.22 024
C.21 013 D.21 012
[错题笔记]
11.(2025·广东二模)设函数f(x)满足: x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(2)=2.记an=f(n),则数列{log2an}的前10项和为(　　)
A.55 B.45 C. D.
[错题笔记]
12.(多选)(2025·山西运城期末)设等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,且满足条件01,<0,则下列结论正确的是(　　)
A.q>1 B.a2 024a2 026>1
C.Tn的最小值为T2 025 D.T4 047<1
[错题笔记]
13.(多选)(2025·福建泉州二检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,{an}的前n项积为Tn.若a10=1,S10-S7=7,则(　　)
A.数列{log2an}为等差数列
B.a1=1 024
C.Sn<1 024
D.Tn的最大值为245
[错题笔记]
14.(15分)(2026·四川内江高三开学考试)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=.
(1)证明:数列{+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=,证明:bn素养·提升练
15.(2025·江苏苏州三模)已知数列{an}是公比不为1的等比数列,从a1,a2,a3,…,a20中任取四项,则这四项依然构成等比数列的概率为　　　　.
16.(原创+模块外融通)设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,都有Sn②存在周期数列{an},使得它是“超神数列”;
③存在等差数列{an},使得它是“超神数列”;
④若{an}为等比数列,对于任意q∈(,0),存在a1,使得{an}为“超神数列”.
参考答案
1.C　设1和2 025的等比中项为x,
则x2=1×2 025,解得x=±45.故选C.
2.B　设等比数列{an}的公比为q,则a8=a6q2=-q2<0,而=a6a10=9,所以a8=-3.故选B.
3.C　因为{an}为等比数列,故a2,a4,a6为等比数列,且三者同号,若a4=3,则由=a2a6,可得a6=9,故甲是乙的充分条件;若a6=9,则由=a2a6及a4>0,可得a4=3,故甲是乙的必要条件.故甲是乙的充要条件.
4.B　由题意可知{}是以1为首项,4为公比的等比数列,显然代表数列{}的前66项和,所以
5.A　因为等比数列{an}的前n项和Sn=2n+m(m∈R),所以当n≥2时,an=2n+m-(2n-1+m)=2n-1,所以该等比数列{an}的公比q=2,a2=2,所以a1==1=2+m,解得m=-1.
6.C　由题意知,这个人原来持金为a斤,
第1关收税金为a斤;
第2关收税金为(1-)a=斤;
第3关收税金为(1-)a=斤,以此类推可得,第4关收税金为斤,第5关收税金为斤,所以a+a+a+a+a=1,即(1-)a=(1-)a=1,解得a=故选C.
7.CD　设等比数列{an},{bn}的公比分别为q,p.
an+bn与an-bn的取值可能为0,故A,B错误;
=qp,故{anbn}是等比数列,故C正确;
,故{}是等比数列,故D正确.
故选CD.
8　设等比数列{an}的公比为q,因为a2n=,则a1q2n-1=(a1qn-1)2 a1=q.
又a1+a2=,则q+q2=(q-) (q+)=0,又{an}为正项等比数列,所以q>0,则q=
9.45　设公比为q,当q=1时,a1=a2=a3,此时a2-a1=0,与题意不符,故排除;
当q≠1时,因为a2-a1=3,所以a1q-a1=3.
因为a3-a2=6,所以a1q2-a1q=6,故=2,化简得=2,解得q=2,代入得2a1-a1=3,解得a1=3,由等比数列求和公式得S4==45.
10.C　由题设a2==2,且an+1an+2=2n+1,则=2,所以数列{an}的偶数项是首项为2,公比为2的等比数列,则a2k=2k,k∈N*,所以a2 026=21 013.故选C.
11.C　令x=1,y=1,可得f(2)=f(1)·f(1)=f2(1),再令x=,y=,可得f(1)=f()·f()=f2()≥0,又因为f(2)=2,所以f(1)=
再令x=n,y=1,可得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),又因为an=f(n),所以有an+1=an,即{an}是等比数列,则有首项a1=f(1)=,公比q=,所以an=()n,即log2an=log2()n=nlog2n,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a10=+…+故选C.
12.ABD　对于A,由01,<0,得01,所以q>1,故A正确;
对于B,a2 024a2 026=>1,故B正确;
对于C,结合选项A可得等比数列的公比q>1,所以数列为单调递增数列,所以Tn的最小值为T2 024,故C不正确;
对于D,T4 047=a1a2a3…a4 047=<1,故D正确.
13.ACD　对于A,设公比为q(q>0),因为a10=1,所以an=a10·qn-10=qn-10,故log2an=log2qn-10=(n-10)log2q,由log2an+1-log2an=log2qn-9-log2qn-10=log2q为常数,故A正确;
对于B,S10-S7=7,所以a10+a9+a8=1+=7,解得q=或q=-(舍去),所以a1==29=512,故B错误;
对于C,Sn==210[1-()n]=1 024-1 024()n<1 024,故C正确;
对于D,Tn=a1·a2·…·an=29·28·…·210-n=,由于y==-x2+x,其图象对称轴为x=,因为n∈N*,故n=9或n=10时,Tn取最大值245,故D正确.
14.(1)解 an+1=,a1=1,可得an≠0,则+1+1=2(+1),则数列{+1}是以+1=2为首项,2为公比的等比数列,则+1=(+1)·2n-1=2n,an=
(2)证明 由(1)得bn=,则bn+1=,则bn-bn+1==
-<0,又bn+1-1==-<0,故bn15　从前20项中任取四项,共有=4 845种情况,假设任取的4项为ai,aj,ak,al(i当d=1时,i的范围是1≤i≤17,共有17种;
当d=2时,i的范围是1≤i≤14,共有14种;
当d=3时,i的范围是1≤i≤11,共有11种;
当d=4时,i的范围是1≤i≤8,共有8种;
当d=5时,i的范围是1≤i≤5,共有5种;
当d=6时,i的范围是1≤i≤2,共有2种,
所以共有17+14+11+8+5+2=57种情况,所以这四项依然构成等比数列的概率为P=
16.①②④　对于①,当an=3n-1时,Sn=,an+1=3n,Sn-an+1=-3n=-<0,即Sn对于②,若周期数列{an}为-2,-1,-2,-1,-2,-1,…,周期为2,则对任意的n∈N*,都有Sn对于③,设等差数列首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,an+1=a1+nd,Sn-an+1=na1+d-a1-nd=n2+(a1-d)n-a1<0,对任意的n∈N*恒成立.
当d>0时,f(n)=n2+(a1-d)n-a1是开口向上的二次函数,
当n→+∞时,f(n)→+∞,故不符合题意;
当d=0时,S1=a1=a2,不符合题意;
当d<0时,S1=a1>a2,也不符合题意.
综上,不存在等差数列{an},使得它是“超神数列”,故③错误;
对于④,设等比数列首项为a1,公比为q,则Sn=,an+1=a1qn,Sn-an+1=(qn+1-2qn+1),当n为奇数时,q∈(,0),则qn+1-2qn+1>0,1-q>0,要使Sn-an+1<0,所以a1<0符合题意;
当n为偶数时,因为q∈(,0),所以qn+1-2qn+1>q3-2q2+1=(q-1)(q2-q-1)>0,又a1<0,<0,所以Sn-an+1<0,即Sn综上,当a1<0时,对于任意q∈(,0),存在a1,使得{an}为“超神数列”,故④正确.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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