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2026全国版高中数学突破练
突破练40　数列中的构造问题
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.已知数列{an}中,a1=4,an+1=4an-6,则an=(　　)
A.22n+1+2 B.22n+1-2
C.22n-1+2 D.22n-1-2
[错题笔记]
2.(原创)在数列{an}中,已知a1=1,nan+1=(n+1)an,则a6=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
[错题笔记]
3.在数列{an}中,a1=1,an+1=,则a34=(　　)
A. B. C. D.100
[错题笔记]
4.(原创)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则a6的值为(　　)
A.220 B.224 C.21 024 D.24 096
[错题笔记]
5.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的有(　　)
A.若a1=2,an+1=an+n+1,则a3=7
B.若a1=1,an+1=3an+2,则a4=53
C.若Sn=3n+,则数列{an}是等比数列
D.若a1=1,an+1=(n∈N*),则a5=
[错题笔记]
6.已知数列{an}满足a1=1,2an+1-an+anan+1=0(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　.
[错题笔记]
7.已知数列{an}满足a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,则{an}的通项公式为　　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
8.(2025·天津河北二模)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10=(　　)
A.3 059 B.2 056 C.1 033 D.520
[错题笔记]
9.(2025·湖北黄冈模拟)已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=,若+…+<1 000,则满足条件的最大整数n=(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
[错题笔记]
10.已知数列{an}满足an+1=pan+2×3n+1(p∈R),若p=1,a1=4,则a4=　　　　　;若p=2,a1=5,则an=　　　　　.
[错题笔记]
11.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若对一切正整数n,不等式2n2-n-3≤λan恒成立,求λ的最小值.
素养·提升练
12.(15分)记R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足xn+1=xn-(n∈N*)的数列{xn}称为函数f(x)的“牛顿数列”.已知数列{xn}为函数f(x)=x2-x的“牛顿数列”,且数列{an}满足a1=2,an=ln,xn>1.
(1)求a2;
(2)证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.
参考答案
1.C　因为an+1=4an-6,所以an+1-2=4(an-2),所以=4,所以数列{an-2}是一个以2为首项,以4为公比的等比数列,所以an-2=2×4n-1,所以an=22n-1+2.故选C.
2.D　在数列{an}中,已知a1=1,nan+1=(n+1)an,则,故数列{}为常数列,则=a1=1,因此,a6=6.故选D.
3.C　因为a1=1,an+1=,所以=3+,即=3,所以{}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,则an=,所以a34=故选C.
4.C　由an+1=,a1=2,易知an>0,故ln an+1=4ln an,故{ln an}是首项为ln 2,公比为4的等比数列,ln an=4n-1ln 2,ln a6=45ln 2=ln 21 024,故a6=21 024.故选C.
5.AB　对于A,由a1=2,an+1=an+n+1,得a2=a1+2=4,a3=a2+3=7,故A正确;对于B,由a1=1,an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,3为公比的等比数列,则an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1,所以a4=2×33-1=53,故B正确;对于C,由Sn=3n+,得a1=S1=,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,显然a1a3,所以数列{an}不是等比数列,故C错误;对于D,由a1=1,an+1=,可得an≠0,,所以数列{}是以1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=,则=3,即a5=,故D错误.
6.an=　因为a1=1,2an+1-an+anan+1=0,显然an≠0,则有=2+1,即+1=2(+1),又+1=2,所以数列{+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以+1=2n,即an=
7.an=+4n-6　设an+An+B=[an-1+A(n-1)+B],则an=an-1-An-A-B,所以解得
又a1-4+6=3,所以{an-4n+6}是以3为首项,为公比的等比数列,所以an-4n+6=3×()n-1,所以an=+4n-6.
8.C　由题设Sn+1+3=2an+1+n+1,则Sn+1+3=2(Sn+1-Sn)+n+1,所以Sn+1=2Sn-n+2,则Sn+1-(n+1-1)=2[Sn-(n-1)],又S1+3=2a1+1,S1=2,则S1-(1-1)=2,所以{Sn-(n-1)}是首项、公比均为2的等比数列,则Sn-(n-1)=2n,所以Sn=2n+n-1,则S10=210+10-1=1 024+10-1=1 033.故选C.
9.B　由an+1=,可得-1,令bn=,则bn+1=2bn-1,即bn+1-1=2(bn-1),又b1-1=-1=1,所以{bn-1}是以1为首项,2为公比的等比数列,则bn-1=2n-1,所以bn=2n-1+1,所以b1+b2+…+bn=1+2+22+…+2n-1+n=2n+n-1.由2n+n-1<1 000,解得n≤9.
10.85　2×3n-1　因为an+1=pan+2×3n+1(p∈R),当p=1,a1=4时,an+1=an+2×3n+1,所以a2=a1+2×3+1=11,a3=a2+2×32+1=30,a4=a3+2×33+1=85.当p=2,a1=5时,an+1=2an+2×3n+1,则an+1-(2×3n+1-1)=2[an-(2×3n-1)],又a1-(2×3-1)=0,所以an-(2×3n-1)=0,即an=2×3n-1.
11.解 (1)当n=1时,S1=2a1-22,得a1=4;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2n+1)-(2an-1-2n),整理得an=2an-1+2n,等式两边同除以2n,得+1(n≥2),则数列{}是以=2为首项,1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)=n+1,则an=(n+1)2n.
(2)要使不等式2n2-n-3≤λan=λ(n+1)2n对一切正整数n恒成立,即使对一切正整数n恒成立.令f(n)=,设当n=k时,f(k)最大,则解得k
因为k∈N*,所以k=3,又f(3)=,所以,即λ的最小值为
12.解 (1)因为f(x)=x2-x,则f'(x)=2x-1,从而xn+1=xn-=xn-
由a1=2,an=ln,得2=ln,又x2=,所以a2=ln=ln=ln=2ln=4.
(2)由xn+1=,得=()2,所以an+1=ln=ln()2=2ln=2an(xn>1),故=2(非零常数),又a1=2≠0,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2×2n-1=2n.
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