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2026全国版高中数学突破练
突破练41　数列求和
1.(13分)(2026·北京顺义高三开学考试)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S3=a5=9,数列{bn}是公比大于1的等比数列,且=b6,b4-b2=12.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求{cn}的前n项和Tn.
2.(13分)(2026·江苏南京开学考试)对于数列{an},记Δan=an+1-an,n∈N*,称数列{Δan}为数列{an}的差分数列.
(1)已知an=n2+n+1,证明:{an}的差分数列为等差数列;
(2)已知{an}的差分数列为{},a1=1,求{an}的通项公式.
3.(15分)(2025·广东广州模拟)已知向量a=(sin,-sin),b=(cos,sin),函数f(x)=a·b,f(x)的所有大于0的零点构成递增数列{an}.
(1)写出{an}的前6项;
(2)记{an}的所有偶数项构成数列{bn},设cn=(-1)n·bn·(,求数列{cn}的前n项和Sn.
4.(17分)(原创+模块外融通)对于正整数n,定义n的信息熵H(n)=-ailog2ai(ai=1,0(1)若n=2,a1=,求H(2).
(2)若数列{ai}满足:a1=a2=()n-1,ai+1=2ai(i=2,3,…,n).
①求此时的信息熵H(n);
②若不等式a1λ(n-4)≥n[H(n)-2]对任意的n≥2,n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
参考答案
1.解 (1)在等差数列{an}中,S3==3a2=9,解得a2=3,而a5=9,
因此数列{an}的公差d==2,an=a2+2(n-2)=2n-1.
设等比数列{bn}的公比为q(q>1),由=b6,得=b3q3,解得b3=q3,又b4-b2=12,则q4-q2=12,解得q2=4,而q>1,因此q=2,故bn=b3qn-3=2n,所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=2n-1,bn=2n.
(2)由(1)得cn=2n-1+2n,所以Tn==n2-2+2n+1.
2.(1)证明 由题知,Δan=(n+1)2+(n+1)+1-(n2+n+1)=2n+2,其中n≥1,
故Δan-Δan-1=2n+2-2(n-1)-2=2,故{an}的差分数列为等差数列.
(2)解 由题设有an+1-an==2+,故an-an-1=2+(n≥2),由累加法可得an-a1=2(n-1)+1-,而a1=1,所以an=1+2(n-1)+1-=2n-,而a1=1也满足该式,故an=2n-
3.解 (1)由题意f(x)=sincos-sin2sin πx-(1-cos πx)=(sin πx+cos πx)-sin(πx+)-
令f(x)=0,得sin(πx+)=,所以πx+=2kπ+或πx+=2kπ+,k∈Z,即x=2k或x=2k+,k∈Z,取其中的正数构成递增数列{an},
知{an}的前6项为,2,,4,,6.
(2)由(1)知bn=2n,所以cn=(-1)n·2n·()2n-2=n·(-2)n,所以Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n·(-2)n①,
-2Sn=1×(-2)2+2×(-2)3+3×(-2)4+…+(n-1)·(-2)n+n·(-2)n+1②,
由①-②得,3Sn=-2+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n·(-2)n+1=-n·(-2)n+1=--(n+)·(-2)n+1,
所以Sn=-(-2)n+1.
4.解 (1)当n=2时,由a1=,a1+a2=1,得a1=a2=,所以H(2)=-ailog2ai=-(log2log2)=1.
(2)①由a1=a2=,ai+1=2ai,i∈N*,i≥2,则当i≥2时,ai=a2·2i-2=,ailog2ai=log2=-,而a1log2a1=log2=-,于是H(n)=ailog2ai=+…++…+,令Sn=+…+,则Sn=+…+,两式相减得Sn=+…+=1-,因此Sn=2-,所以H(n)=+Sn=+2-=2-
②由①知H(n)=2-,由题知,对任意的n≥2,n∈N*,不等式a1λ(n-4)≥n[H(n)-2]恒成立,则λ(n-4)≥-n,λ(n-4)≥-2n恒成立,当n=4时,λ·0≥-8恒成立,因此λ∈R;
当n=2,3时,,而当n=3时,=6,当n=2时,=2,因此λ≤2;
当n>4,n∈N*时,λ≥-,又-=-=-2-,随着n增加,-单调递增,所以-2-单调递增,即数列{-}单调递增,且恒有-<-2,因此λ≥-2,
所以实数λ的取值范围是-2≤λ≤2.
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