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2026全国版高中数学突破练
突破练42　数列中的综合问题
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·内蒙古模拟)在等比数列{an}中,an>0,且a7,a6,-2a5成等差数列,则公比q=(　　)
A.2
B.2或-1
C.3
D.3或-1
2.(2025·北京高三开学考试)在等差数列{an}中,a1=4,且a1,a5,a13成等比数列,则{an}的通项公式为(　　)
A.an=3n+1
B.an=n+3
C.an=3n+1或an=4
D.an=n+3或an=4
3.(2025·河南五市联考)已知{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,a3=1,且2a4与a5的等差中项为4,则S3=(　　)
A. B.
C. D.
4.(原创)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则=(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
5.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S9A.17 B.18
C.19 D.20
6.(多选)(2025·河北期末)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,a5=18,则下列说法正确的是(　　)
A.若{an}为等差数列,则a3=10
B.若{an}为等差数列,则Sn=2n2
C.若{an}为等比数列,则a3=6或-6
D.若{an}为等比数列,则Sn=(+1)[()n-1]
7.(2025·安徽安庆二模)数列{an}满足a1=1,an+1=+2an,则使得>2 025的最小正整数n的值为　　　　　.
8.(15分)(2025·江苏宿迁期末)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,数列{bn}是公比为2的等比数列,a2是a1,a5的等比中项,b3-a3=3,b1=2a1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Sn.
能力·高分练
9.(2025·湖北武汉二中模拟)若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2,数列{an}的前n项和为Sn,且S1=,2Sn=nan+1,则f(ai)=(　　)
A.76 B.38 C.19 D.0
10.(2025·重庆模拟)在等比数列{an}中,a1=2,a4=128,若bn=log2an,则满足的最小正整数n=　　　　.
11.(15分)(2025·江苏泰州高三期中)已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,前n项和为Sn,a2为a1和a5的等比中项,S11=121.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数m,n(3(3)求证:数列.
素养·提升练
12.(2025·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=1+x-,则使不等式f(x2-x-1)≥0成立的最小正整数x为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
13.(原创)在数列{an}中给定a1,且函数f(x)=x3-an+1sin x+(an+2)x+1的导函数有唯一零点,函数g(x)=6x+sin(πx)-cos(πx),且g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=9,则a5=　　　　.
参考答案
1.A　由题意得2a6=a7-2a5,即a5q=a5q2-2a5,因为an>0,所以a5>0,q>0,故可得q2-q-2=0,解得q=2(负值舍去).故选A.
2.D　设等差数列{an}的公差为d,又a1=4,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)d.
因为a1,a5,a13成等比数列,所以=a1a13,所以(4+4d)2=4×(4+12d),所以d=1或d=0.
当d=1时,a1=4,a5=8,a13=16,满足条件,当d=0时,a1=a5=a13=4,满足条件,所以an=n+3或an=4.故选D.
3.B　设等比数列{an}的公比为q,q>0,因为2a4与a5的等差中项为4,所以2a4+a5=2×4=8,又a3=1,所以2q+q2-8=0,所以(q+4)(q-2)=0,解得q=2或q=-4(舍去),所以{an}的通项公式为an=1×2n-3=2n-3,所以S3=a1+a2+a3=+1=故选B.
4.A　因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,所以2Sn=Sn+1+Sn+2.
设等比数列的公比为q,由题意知,q≠1,所以2,化简得q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去),所以=q=-2.故选A.
5.B　由S90,a9+a10<0,a9<0,d>0,所以当n≥10时,an>0.
故S18=a1+a2+…+a17+a18=9(a9+a10)<0,且当n≥19时有Sn≥S19=a1+a2+…+a18+a19=19a10>0.所以使得Sk<0成立的最大正整数的值为18.故选B.
6.AB　对于A,若{an}为等差数列,则a3==10,故A正确;
对于B,若{an}为等差数列,则公差d==4,an=2+4(n-1)=4n-2,于是Sn==2n2,故B正确;
对于C,若{an}为等比数列,则=a1a5=36,由于等比数列的奇数项同号,则a3=6,故C错误;
对于D,若{an}为等比数列,则=9=q4,所以q=±
若q=,则Sn=(+1)[()n-1];若q=-,则Sn=(-1)[1-(-)n],故D错误.故选AB.
7.6　因为an+1=+2an,所以an+1+1=(an+1)2,则ln(an+1+1)=2ln(an+1),又a1+1=2,所以ln(an+1)是以ln 2为首项,2为公比的等比数列,所以ln(an+1)=2n-1ln 2,所以an=-1,则使得>2 025,计算得n的最小正整数值为6.
8.解 (1)设{an}的公差为d,因为a2是a1,a5的等比中项,故a1a5=,即a1(a1+4d)=(a1+d)2,整理得2a1d=d2,又d≠0,故可得d=2a1.
又b3-a3=3,b1=2a1,即4b1-(a1+2d)=3,b1=2a1,故7a1-2d=3,7a1-4a1=3,解得a1=1,d=2,b1=2,故an=2n-1,bn=2n.
(2)由(1)可知,an=2n-1,故),故Sn=+…+(1-)+)+…+)=(1-)=
故数列{}的前n项和Sn=
9.B　因为f(x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2,所以f(x)+f(2-x)=(x-1)3+2(x-1)-ln+2+(1-x)3+2(1-x)-ln+2=4,所以f(x)的图象关于点(1,2)对称.
因为2Sn=nan+1,所以2Sn-1=(n-1)an(n≥2),所以2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an(n≥2),所以2an=nan+1-(n-1)an(n≥2),所以(n≥2),又S1=,2Sn=nan+1,所以a1=,a2=,所以,所以an=,所以ai+a20-i=2a10=2,f(ai)+f(a20-i)=4,所以f(ai)=38.故选B.
10.9　由已知,数列{an}是等比数列,且a1=2,a4=128,设数列{an}的公比为q,则a4=a1q3=2q3=128,解得q=4,则an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1,所以bn=log2an=log222n-1=2n-1,bn+1=2n+1,则),所以(1-+…+)=(1-)=,令,又n∈N*,所以n>8,即n≥9,即满足条件的最小正整数n=9.
11.(1)解 由题意得=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),整理得d2=2a1d.
因为d≠0,所以d=2a1,S11=11a1+55d=121,即11a1+55×2a1=121,解得a1=1,故d=2a1=2,所以{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)解 假设存在正整数m,n(3(3)证明 由等差数列求和公式得Si==i2,当i≥2时,=2(),<2(+…+)=
12.A　根据题意,函数f(x)=1+x-,其导数f'(x)=1-x2+x4-x6+x8,当x≠0时,f'(x)可以看成是以1为首项,-x2为公比的等比数列的前5项和,则有f'(x)=1-x2+x4-x6+x8=>0,则函数f(x)在R上为增函数.
又由f(-1)=1+(-1)+()+()>0,f(-2)=1+(-2)+()+()<0,知函数f(x)在(-2,-1)上存在唯一的零点,设其零点为t,则f(x2-x-1)≥0,则x2-x-1≥t,x2-x≥t+1,又由-213　由函数f(x)=x3-an+1sin x+(an+2)x+1,可得f'(x)=3x2-an+1cos x+(an+2).因为f'(x)有唯一的零点,且满足f'(-x)=f'(x),即f'(x)为偶函数,则f'(0)=0,可得an+1-an=2,n∈N*,所以数列{an}是公差为2的等差数列,又由g(x)=6x+sin(πx)-cos(πx)=6x+sin(πx-)=6(x-)+sin[π(x-)]+1,令t=x-,可得h(t)=6t+sin(πt),可得h(-t)=-h(t),则h(t)为奇函数,因为h'(t)=6+πcos(πt)>0,所以h(t)在R上单调递增,由[g(a1)-1]+[g(a2)-1]+…+[g(a9)-1]=0,则h(a1-)+h(a2-)+…+h(a9-)=0,因为数列{an}是公差为2的等差数列,其中a10,
因为h(t)=6t+sin(πt)是奇函数且h(t)在R上单调递增,则h(x-)在R上单调递增,所以(a1-)>- (a9-) h(a1-)>-h(a9-) h(a1-)+h(a9-)>0.
因为(a1-)+ (a9-)= (a2-)+ (a8-)= (a3-)+ (a7-)= (a4-)+ (a6-)=2(a5-),
所以h(a1-)+h(a2-)+…+h(a9-)>0,与已知矛盾,故不成立;
假设(a1-)+ (a9-)<0,同理可得h(a1-)+h(a2-)+…+h(a9-)<0,与已知矛盾,故不成立.
综上可得, (a1-)+ (a9-)=0,可得a1+a9=,所以a5=
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