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2026全国版高中数学突破练
突破练44　空间点、直线、平面之间的位置关系
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·浙江宁波期末)经过不在一条直线上的三个点的平面(　　)
A.有且仅有一个 B.有且仅有三个
C.有无数个 D.不存在
[错题笔记]
2.(2025·福建龙岩期末)用符号语言表述“若直线l在平面α内,则直线l上的一点A必在平面α内”,正确的是(　　)
A. A∈α
B. A α
C. A α
D. A∈α
[错题笔记]
3.如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行,下列结论一定成立的是(　　)
A.这两个角相等
B.这两个角互补
C.这两个角所在的两个平面平行
D.这两个角所在的两个平面平行或重合
[错题笔记]
4.(原创)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
[错题笔记]
5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,则直线AB1与直线BC1夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
[错题笔记]
6.(多选)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(　　)
图①
图②
图③
图④
A.① B.② C.③ D.④
[错题笔记]
7.(原创)(多选)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点,则下列说法正确的是(　　)
A.E,F,G,H四点共面
B.EG,FH为异面直线
C.EG,FH,AA1三线共点
D.∠EGB1=∠FHC1
[错题笔记]
8.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　　.
[错题笔记]
9.(15分)如图,等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2,沿其中位线DE将平面ADE折起,使平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.
(1)求证:M,N,P,Q四点共面;
(2)求异面直线BE与MQ所成的角.
能力·高分练
10.(2026·云南开学考试)在一个四面体中,若存在一个顶点处的三条棱两两垂直,则称该四面体为直角四面体,同时,把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体ABCD中存在“完美顶点”A,AB=2,AC=3,AD=6,F为AD的中点,则CF与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
11.(2025·河北邢台期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是正方形,D是CC1的中点,AB=BC=3,AA1=4,则异面直线AD与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
12.(原创)(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面DPQ∩平面A1B1C1D1=l,则下列结论正确的有(　　)
A.l过点B1
B.l不一定过点B1
C.DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上
D.DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上
13.在三棱锥P-ABC中,AC=1,PB=2,M,N分别是PA,BC的中点,若MN=,则异面直线AC,PB所成角的余弦值为　　　　　.
素养·提升练
14.若平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
15.(原创)已知四边形ABCD是矩形,AB=3AD,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合,则直线ED,BF所成的角α在旋转过程中(　　)
A.逐步变大 B.逐步变小
C.先变小后变大 D.先变大后变小
参考答案
1.A
2.A　由直线l在平面α内,得l α;由点A在直线l上,得A∈l;由点A在平面α内,得A∈α,故选项A正确.
3.D　若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补;若这两个角分别在两个平面内,则由面面平行的判定定理可知,这两个角所在的两个平面平行,若两个角在同一个平面,则这两个角所在的两个平面重合.故选D.
4. B　如图,根据题意可知A1B∥D1C,所以∠AD1C是直线A1B与AD1所成角,由于三角形ACD1是等边三角形,所以∠AD1C=,即直线A1B与AD1所成的角的大小为,故选B.
5. A　由直三棱柱ABC-A1B1C1往下延伸再作一个高相等的直三棱柱,如图,由于AA2=AA1=BB1,AA2∥BB1,可得四边形AA2BB1是平行四边形,所以AB1∥A2B,即∠A2BC1或其补角是直线AB1与直线BC1所成角,由直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,所以A2B=2,BC1=2,A2C1==2,由余弦定理得cos∠A2BC1==-,即直线AB1与直线BC1夹角的余弦值为
6.BD　图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,N GH,因此直线GH与MN异面;图③中,连接GM(图略),GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N三点共面,但点H 平面GMN,G MN,因此直线GH与MN异面.所以在图②④中,GH与MN异面.故选BD.
7. AC　对于A,B,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点,连接EF,GH,如图所示,由GH是△A1B1C1的中位线,得GH∥B1C1,GH=B1C1,由B1E∥C1F,且B1E=C1F,得四边形B1EFC1是平行四边形,则EF∥B1C1,EF∥GH,因此E,F,G,H四点共面,A正确,B错误;对于C,延长EG,FH相交于点P,如图,由P∈EG,EG 平面ABB1A1,得P∈平面ABB1A1,由P∈FH,FH 平面ACC1A1,得P∈平面ACC1A1,而平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,则P∈AA1,EG,FH,AA1三线共点,C正确;对于D,EB1=FC1,当GB1≠HC1时,tan∠EGB1≠tan∠FHC1,又0<∠EGB1<,0<∠FHC1<,则∠EGB1≠∠FHC1,D错误.故选AC.
8.　如图,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,则AB1∥C1D,所以AB1与BC1所成角为∠BC1D或其补角.又BC1=,BD=,C1D=AB1=,易得C1D2=BD2+B,即BC1⊥BD,
因此cos∠BC1D=
9.(1)证明 由题意易知PQ∥DE,MN∥DE,所以PQ∥MN,所以M,N,P,Q四点共面.
(2)解 由条件知AD=1,DC=1,BC=2,如图,延长ED至R,使DR=ED,则ER=BC,ER∥BC,故四边形ERCB为平行四边形,所以RC∥EB.
又AC∥QM,所以∠ACR为异面直线BE与QM所成的角(或补角).
因为DA=DC=DR,且三线两两互相垂直,由勾股定理得AC=AR=RC=,
所以△ACR为正三角形,所以∠ACR=60°,
所以异面直线BE与MQ所成的角为60°.
10. C　取AB的中点G,连接FG,CG,如图,因为FG∥BD,所以∠CFG(或其补角)即为CF与BD所成的角,因为FG=BD=,CG=,CF==3,所以cos∠CFG=,即CF与BD所成角的余弦值为故选C.
11.B　取BC的中点E,连接AE,DE,因为D是CC1的中点,所以DE∥BC1,则∠ADE为异面直线AD与BC1所成角.如图所示,
直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是正方形,AB=BC=3,AA1=4,∴AC=4,DC=2,CE=,在Rt△ACD中,AD==2,在Rt△ECD中,ED=,在△ABC中,cos C=,在△AEC中,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos C=42+()2-2×4,∴在△AED中,cos∠ADE=故选B.
12.AD　如图,连接PB1,QB1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取BB1的中点N,连接CN,则DP∥CN∥QB1,DP=CN=QB1,所以四边形DPB1Q是平行四边形,B1∈平面DPB1Q,B1∈平面A1B1C1D1,所以B1∈l,故A正确,B错误.如图,DP的延长线与D1A1的延长线交于点F,DQ的延长线与D1C1的延长线交于点E,因为DP 平面DPB1Q,所以F∈平面DPB1Q.因为D1A1 平面A1B1C1D1,所以F∈平面A1B1C1D1,所以F∈l.因为DQ 平面DPB1Q,所以E∈平面DPB1Q.因为D1C1 平面A1B1C1D1,所以E∈平面A1B1C1D1,所以E∈l,故C错误,D正确.
13.　如图,取AB的中点Q,连接QM,QN,
因为Q是AB的中点,N是BC的中点,
所以QN∥AC,QN=AC=,
同理QM∥PB,QM=PB=1,所以异面直线AC,PB所成角为∠MQN或其补角.
在△MQN中,QM=1,QN=,MN=,则cos∠MQN,即异面直线AC,PB所成角的余弦值为
14. A　如图,设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,因为α∥平面CB1D1,则m1∥m.又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,所以B1D1∥m.同理可得CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.又因为B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),所以∠CD1B1=,故sin∠CD1B1=
15.D　由题可知初始时刻ED与BF所成角为0,故B,C错误.如图,在四边形AEFD绕EF旋转过程中,EF⊥DF,EF⊥FC,DF∩FC=F,DF,FC 平面DFC,所以EF⊥平面DFC,EF 平面EFCB,所以平面DFC⊥平面EFCB,故D在平面BCFE内的投影P一定落在直线CF上,所以一定存在某一时刻EP⊥BF,而DP⊥平面EFCB,BF 平面EFCB,所以DP⊥BF,又DP∩EP=P,DP,EP 平面DPE,所以BF⊥平面DPE,此时DE与BF所成的角为,然后α开始变小,故直线ED,BF所成角α在旋转过程中先变大后变小,故A错误,D正确.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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