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2026全国版高中数学突破练
突破练45　空间直线、平面的平行
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·浙江期中)下列说法中,正确的是(　　)
A.若直线a与平面α平行,则a平行于α内的任何直线
B.若两直线a,b都与平面α平行,则a∥b
C.若直线a平行于平面α,直线b在平面α内,则a∥b
D.若直线l与平面α平行,则平面α内有无数条直线与l平行
[错题笔记]
2.(2025·北京通州期末)已知平面α,β为两个不同的平面,直线m为α内一条直线,则“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
3.如图,已知平面α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,若AB∥α,则CD与EF的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.无法确定
[错题笔记]
4.(2025·安徽合肥期中)已知l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题一定正确的是(　　)
A.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n
B.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若l∥α,l β,α∩β=m,则l∥m
D.若m α,n α,l β,且m∥β,n∥l,则α∥β
5.(原创)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为线段AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,的值为(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,则(　　)
A.OM∥PA B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
[错题笔记]
7.(多选)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,D,E,F为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面DEF平行的是(　　)
A.
B.
C.
D.
8.设α,β,γ是三个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n γ,且　　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m γ.可以填入的条件有　　　　.(填序号)
[错题笔记]
9.(13分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是线段A1B,AC1的中点.
(1)求证:MN∥平面ABC.
(2)是否在线段BC1上存在一点P,使得平面MNP∥平面ABC 若存在,指出点P的具体位置;若不存在,请说明理由.
能力·高分练
10.(2025·安徽宿州期末)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M是BB1上靠近B的三等分点,直线DM交平面BCD1A1于点N,则=(　　)
A. B. C. D.
11.(多选)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,下列结论正确的是(　　)
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.PA∥平面BDG
C.EF∥平面PBC
D.EF∥平面BDG
12.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点.
(1)求证:平面MNQ∥平面PCD.
(2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
素养·提升练
13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是棱BC,CC1的中点,动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动.若PA1∥平面AMN,则PA1的最小值是(　　)
A.1 B. C. D.
参考答案
1.D　对于A,若直线a与平面α平行,则a也可能与平面内某直线异面,A错误;对于B,若两直线a,b都与平面α平行,则两直线可以平行、相交,也可以异面,B错误;对于C,若直线a平行于平面α,直线b在平面α内,则a∥b或两直线异面,C错误;对于D,如果一条直线与一个平面平行,那么平面内必有一条直线与给定直线平行,而平面内与一条直线平行的直线有无数条,根据平行的传递性,这些直线都与给定直线平行,所以有无数条,D正确.故选D.
2.B　因为m α,若α∥β,则由线面平行的性质可知m∥β,故“m∥β”是“α∥β”的必要条件,设α∩β=n,m α,m∥n,显然n β,从而有m∥β成立,但此时α,β不平行,所以“m∥β”是“α∥β”的不充分条件,即“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
3.A　由AB∥α,α∩γ=EF,AB γ得AB∥EF.因为EF 平面β,AB 平面β,所以EF∥平面β.又α∩β=CD,EF 平面α,所以CD∥EF.故选A.
4.C　对于A,由m∥α,n∥β,α∥β,得m∥n或m与n相交或m与n是异面直线,A错误;对于B,由m α,n α,m∥β,n∥β,得α∥β或α与β相交,B错误;对于C,由l∥α,l β,α∩β=m,得l∥m,C正确;对于D,由m α,n α,l β,且m∥β,n∥l,得α∥β或α与β相交,D错误.故选C.
5.A　如图,连接AC交BE于点G,连接GF,显然平面ACP∩平面BEF=GF,
又PA∥平面EBF,PA 平面ACP,则PA∥GF,即,由ABCD为平行四边形,且E为线段AD的中点,易知,所以
6.BC　由题意知,OM是△BPD的中位线,所以OM∥PD,又PD∩PA=P,故A不正确;PD 平面PCD,OM 平面PCD,所以OM∥平面PCD,故B正确;同理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM与平面PBA相交于点M,故D不正确.故选BC.
7.AC　对于A选项,易知AB∥DE,AB 平面DEF,DE 平面DEF,∴直线AB与平面DEF平行,故A正确;对于B选项,如图1,作平面DEF交正方体的棱于点G,连接FG并延长,交AB的延长线于点H,则AB与平面DEF相交于点H,故B错误;对于C选项,AB∥DF,AB 平面DEF,DF 平面DEF,∴直线AB与平面DEF平行,故C正确;对于D选项,如图2,连接AC,取AC的中点O,连接OD,又D为BC的中点,∴AB∥OD,∵OD与平面DEF相交,∴直线AB与平面DEF相交,故D错误.
图1
图2
8.①或③　由面面平行的性质定理可知,①正确;当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;当n∥β,n γ,β∩γ=m时,m∥n,③正确.
9.(1)证明 如图,连接A1C,则N也为A1C的中点.
因为M为A1B的中点,
所以MN为△A1BC的中位线,
所以MN∥BC.
又MN 平面ABC,BC 平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
(2)解 存在,当P为BC1的中点时,平面MNP∥平面ABC.证明如下:
连接PM,PN,因为N为AC1的中点,P为BC1的中点,
所以PN∥AB,又PN 平面ABC,AB 平面ABC,所以PN∥平面ABC,
又由(1)知MN∥平面ABC,且MN∩PN=N,MN,PN 平面MNP,
所以平面MNP∥平面ABC.
10. C　设平面DAM与CC1交于点P,连接DP交D1C于点Q,连接QN,如图所示,因为CB∥DA,CB 平面DAM,DA 平面DAM,所以CB∥平面DAM,又CB 平面CBB1C1,平面DAM∩平面CBB1C1=PM,所以CB∥PM,因为M是三等分点,所以=3,因为CB 平面CBA1D1,PM 平面CBA1D1,所以PM∥平面CBA1D1,又PM 平面PDM,平面CBA1D1∩平面PDM=QN,所以PM∥QN,所以=3,因此故选C.
11. ABC　先把平面展开图还原为一个四棱锥如图所示,对于A,因为E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,所以EF∥AD,GH∥BC,因为AD∥BC,所以EF∥GH,所以EF,GH确定平面EFGH,因为EF 平面EFGH,AD 平面EFGH,所以AD∥平面EFGH,同理可得AB∥平面EFGH.因为AB∩AD=A,AB,AD 平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD,所以A正确.对于B,连接AC,BD交于点O,则O为AC的中点,连接OG,因为G为PC的中点,所以OG∥PA,因为OG 平面BDG,PA 平面BDG,所以PA∥平面BDG,所以B正确.对于C,由E,F分别为PA,PD的中点,可得EF∥AD,又由AD∥BC,可得EF∥BC.因为EF 平面PBC,BC 平面PBC,所以EF∥平面PBC,所以C正确.对于D,若EF∥平面BDG,因为PA∥平面BDG,且EF∩PA=E,EF,PA 平面PAD,可得平面PAD∥平面BDG,显然不正确,所以EF与平面BDG不平行,所以D不正确.
12.(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,
所以NQ∥AB∥CD,MQ∥PC.
因为NQ 平面PCD,CD 平面PCD,
所以NQ∥平面PCD.
同理MQ∥平面PCD,
又NQ∩MQ=Q,NQ,MQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面PCD.
(2)解 线段PD上存在一点E,使得MN∥平面ACE,且证明如下:
如图,取PD的中点E,连接NE,CE,AE,
因为N,E,M分别是AP,PD,BC的中点,BC∥AD,BC=AD,
所以NE∥MC,NE=MC,
所以四边形MCEN是平行四边形,
所以MN∥CE.
因为MN 平面ACE,CE 平面ACE,
所以MN∥平面ACE,此时
13. C　如图所示,取B1C1的中点E,BB1的中点F,连接A1E,A1F,EF.因为M,N分别是棱BC,CC1的中点,所以A1E∥AM,EF∥MN,又因为A1E∩EF=E,AM∩MN=M,A1E,EF 平面A1EF,AM,MN 平面AMN,所以平面A1EF∥平面AMN.因为PA1∥平面AMN,且P点在右侧面,所以点P的轨迹是线段EF,且A1E=A1F=,EF=,所以当点P位于EF的中点O处时,PA1最小,此时,PA1=A1O=故选C.
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