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2026全国版高中数学突破练
突破练46　空间直线、平面的垂直
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·江苏镇江期中)已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是(　　)
A.若l⊥m,m⊥n,则n∥l
B.若α⊥β,γ⊥β,则γ∥α
C.若m⊥α,α⊥β,则m∥β
D.若m⊥α,m∥β,则α⊥β
2.(2025·山东潍坊期中)已知直线l与平面α相交,点A,B在l上,AB=4,且线段AB在α内的射影长为2,则l与α所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
3.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则该四面体的四个表面中,互相垂直的平面有(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
(第3题图)
4.(原创)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,F,E分别为AB,BD1的中点,则二面角E-BF-C的大小为(　　)
(第4题图)
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.(2026·江苏南京模拟)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为3,AB=2,A1B1=,则A1A与平面ABCD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
6.(原创)(多选)已知在正四面体A-BCD中,M,N分别是AB,CD的中点,平面α与直线AB,CD都平行,则(　　)
A.MN∥α
B.MN⊥α
C.直线AC与平面α所成角为60°
D.平面ABC与平面α的夹角的余弦值为
7.(13分)(2025·湖北武汉模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,面ABCD是正方形.
(1)若BP⊥平面ADP,求证:AD⊥平面ABP;
(2)若AB=PB=AP,点E为PC的中点,求证:AB⊥PC.
能力·高分练
8.(多选)(2025·福建厦门四模)如图,一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD-A'B'C'D',下面部分可视为正四棱锥P-ABCD,O为正方形ABCD的中心,两部分的高都是该正方形边长的一半,则(　　)
A.A'O⊥AB
B.A'O∥平面APD
C.平面AA'P⊥平面BDP
D.CC'与A'P为相交直线
9.(2025·安徽宿州期末)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=120°,PA=PD=,PB=2,则平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为　　　　　.
10.(15分)(2026·广西贵港开学考试)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,E为侧棱DD1的中点,AD=8,A1D1=4,AA1=4.
(1)证明:AE⊥平面CDD1C1.
(2)求二面角E-AC-D的正切值.
(3)在线段D1C上是否存在点H,使得平面BHD⊥平面AEC 如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
素养·提升练
11.(15分)(原创)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ABC=90°,PA=2,AC=2.
(1)求证:平面PBC⊥平面PAB.
(2)若二面角P-BC-A的大小为45°,点N在PC上且PN=,过AN的截面平行于BC交PB于M.求:
①截面分三棱锥P-ABC得到的两个几何体的体积比的值;
②直线AN与平面PBC所成角的大小.
参考答案
1. D　对于A,若l⊥m,m⊥n,则直线n与直线l平行、相交或异面,故A错误;对于B,若α⊥β,γ⊥β,则平面γ与平面α平行或相交,故B错误;对于C,若m⊥α,α⊥β,则m∥β或m β,故C错误;对于D,如图,因为m∥β,经过直线m和平面β内一点A可作平面γ,设γ∩β=a,则m∥a,因为m⊥α,故a⊥α,又因为a β,故α⊥β,即D正确.故选D.
2. B　设l与α所成角为θ,因为点A,B在l上,AB=4,且线段AB在α内的射影长为2,依题意作图,则cos θ=,所以l与α所成角的大小为故选B.
3.C　由AB⊥平面BCD,AB 平面ABC,AB 平面ABD,得平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ACD与平面BCD不垂直;由AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,得AB⊥CD,而BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,则CD⊥平面ABC,又CD 平面ACD,因此平面ACD⊥平面ABC,平面ABD与平面ABC不垂直;
假定平面ABD⊥平面ACD,在平面ABD内过点B作BE⊥AD于E,连接CE,如图所示,由AD是Rt△ABD的斜边,得E不与点A,D重合,由平面ABD∩平面ACD=AD,得BE⊥平面ACD,而CD 平面ACD,则CD⊥BE,又BE∩BC=B,BE,BC 平面BCE,于是CD⊥平面BCE,又CE 平面BCE,则CD⊥CE,由CD⊥平面ABC,AC 平面ABC,得CD⊥AC,而AC,CE 平面ACD,因此AC∥CE与AC∩CE=C矛盾,即平面ABD与平面ACD不垂直,所以平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,平面ACD⊥平面ABC,共有3对.故选C.
4. B　如图,设正方体的棱长为1,取BD中点O,连接OE,OF,AD1,则OF∥AD,EF∥AD1,又因为AD⊥AB,所以OF⊥AB,因为AB⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以AB⊥AD1,又因为EF∥AD1,所以EF⊥AB,故∠EFO为所求二面角的平面角,因为OE=OF=,所以∠EFO=45°.故选B.
5. D　如图,O,O1分别为下、上底面的中心,连接A1O1,AO,作A1M∥OO1交AO于点M,根据题意可知,A1O1=1,AO=2,A1M=OO1=3,则AM=AO-A1O1=1,A1A=,又A1A与平面ABCD所成角为∠A1AM,所以cos∠A1AM=故选D.
6. BD　如图,把正四面体放入正方体中,易知平面α与平面ABE平行,因为M,N分别是AB,CD的中点,所以MC=MD,所以MN⊥CD,同理可得MN⊥AB,又因为CD∥ME,所以MN⊥ME,又因为ME交AB于M,所以MN⊥平面ABE,所以MN⊥α,故A错误,B正确;直线AC与平面α所成的角为∠CAE=45°,故C错误;平面ABC与平面α的夹角为∠CME,设正方体的边长为2,由正方体的性质可得ME=,CM=,由余弦定理可得cos∠CME=,故D正确.
7. 证明 (1)∵BP⊥平面ADP,AD 平面ADP,∴BP⊥AD.
∵AD⊥AB,AB∩BP=B,AB,BP 平面ABP,
∴AD⊥平面ABP.
(2)∵平面ABCD是正方形,∴BC⊥AB.
∵AB=PB=AP,
∴AB2+PB2=AP2,∴AB⊥PB,
又BC∩PB=B,且BC 平面PBC,PB 平面PBC,∴AB⊥平面PBC.
∵PC 平面PBC,∴AB⊥PC.
8.BCD　对于A,设正方形ABCD边长为2,由正四棱锥性质可得PO⊥平面ABCD,故PO=AA'=1,因为A'A⊥平面ABCD,故A'O在底面的投影为AO,又AO不与AB垂直,故A'O不与AB垂直,故A不正确;对于B,由题意知PO∥AA'且PO=AA',故四边形POA'A是平行四边形,所以A'O∥AP,A'O 平面APD,AP 平面APD,所以A'O∥平面APD,故B正确;对于C,因为PO∥CC'∥AA',O∈平面CC'A'A,故PO 平面CC'A'A,平面AA'P即为平面CC'A'A,因为A'A⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以A'A⊥BD,又因为BD⊥AC,A'A∩AC=A,所以BD⊥平面CC'A'A,又BD 平面BDP,所以平面BDP⊥平面CC'A'A,即平面AA'P⊥平面BDP,故C正确;对于D,由C可知CC'与A'P都在平面CC'A'A中且不平行,故CC'与A'P为相交直线,故D正确.
9.　如图,取AD的中点E,连接PE,BE,过点P作l∥AD,则平面PAD∩平面PBC=l,PA=PD,E是AD的中点,则PE⊥AD,所以l⊥PE,连接BD,依题意可知△ABD是等边三角形,所以BE⊥AD,由于PE∩BE=E,PE,BE 平面PBE,所以AD⊥平面PBE,由于PB 平面PBE,所以AD⊥PB,则l⊥PB,所以∠BPE是平面PAD与平面PBC的夹角,在直角三角形PAE中,PE=2;在△PEB中,PE=PB=2,BE=,由余弦定理可得,cos∠BPE=
10.(1)证明 因为AA1⊥底面ABCD,
所以AA1⊥底面A1B1C1D1,A1D1 平面A1B1C1D1,所以A1A⊥A1D1,所以AD1==8,
又AD=8,E是DD1中点,
所以AE⊥DD1.
因为AA1⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,所以AA1⊥CD,
又底面ABCD是正方形,所以CD⊥AD,AD∩AA1=A,AD,AA1 平面ADD1A1,
所以CD⊥平面ADD1A1,AE 平面ADD1A1,所以CD⊥AE,
又CD∩DD1=D,CD,DD1 平面CDD1C1,所以AE⊥平面CDD1C1.
(2)解 因为AA1⊥底面ABCD,AA1 平面ADD1A1,
所以平面ADD1A1⊥底面ABCD.
过点E作EF⊥AD,因为平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,所以EF⊥平面ABCD,过F作FG⊥AC,连接EG,则EG⊥AC,所以∠EGF是二面角E-AC-D的平面角.
因为E是DD1的中点,所以EF=2
设AC∩BD=O,则,
所以GF=8=3,
所以tan∠EGF=,
即二面角E-AC-D的正切值是
(3)解 因为AE⊥平面CDD1C1,DH 平面CDD1C1,所以AE⊥DH,则当DH⊥CE时,满足条件.
如图,在四边形CDD1C1中,过D作DT⊥CE,垂足为T,交D1C于H,则∠ECD=∠EDT=∠D1DH,
设D1H=x,则
因为DE=4,CD=8,所以CE=4,
所以sin∠D1DH=,
又∠HD1D=45°,所以sin∠D1HD=sin(45°+∠D1DH)=,所以D1H=,
又CD1=8,所以,
此时DH⊥CE时,AE⊥DH,AE∩CE=E,AE,CE 平面AEC,
所以DH⊥平面AEC,DH 平面BHD,所以平面BHD⊥平面AEC.
11.(1)证明 ∵PA⊥底面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC.
∵PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
∴BC⊥平面PAB.
∵BC 平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB.
(2)解 ①由(1)可知BC⊥平面PAB,PB 平面PAB,∴BC⊥PB.
∵AB⊥BC,
∴∠ABP为二面角P-BC-A的平面角,
∴∠ABP=45°,即△PAB为等腰直角三角形.
∵PA=2,故AB=2,
又AC=2,∠ABC=90°,∴BC=2.
∵BC∥平面AMN,平面PBC∩平面AMN=MN,BC 平面PBC,∴MN∥BC.
∵BC⊥平面PBA,∴MN⊥平面PAB;
又PC==2,PN=,
即得;
∴VP-AMN=VN-PAM=S△PAM·MN,
VP-ABC=VC-PAB=S△PAB·BC=3S△PAM·3MN=9VP-AMN.
②由题意可得PB==2,
∵VP-ABC=VA-PBC,S△ABC·PA=S△PBC·d(d为A点到平面PBC的距离),即AB×BC×PA=PB×BC×d,即2×2=2d,∴d=
在Rt△PAC中,cos∠APC=,
故AN=
=
设直线AN与平面PBC所成角为θ,则sin θ=,即θ=
直线AN与平面PBC所成角的大小为
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