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2026全国版高中数学突破练
突破练47　空间向量的概念及其运算
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2026·福建泉州模拟)已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(　　)
A.(-1,1,-1)
B.(-1,1,1)
C.(1,-1,-1)
D.不确定
2.(2026·河南郑州模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a∥b,则实数x的值为(　　)
A.6 B.-6 C.3 D.-3
3.(2026·广西模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别为AB,A1C1的中点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.a+b+c
B.-a+b+c
C.a-b+c
D.-a-b+c
4.(2026·成都高三开学考试)在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c.若点P满足a+b+kc,且点P在平面A1BC内,则k的值为(　　)
A. B. C. D.1
5.(多选)已知空间向量m=(2,-1,3),n=(-4,2,x),则下列选项中正确的是(　　)
A.当m⊥n时,x=2
B.当m∥n时,x=-6
C.当x=-4时,|m+n|=
D.当x=1时,cos=
6.(多选)(2026·重庆万州模拟)下列说法错误的是(　　)
A.若向量ta+2b与向量a+3b共线,则t=
B.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量相等
C.e1,e2为空间中两个不共线的单位向量,若a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,则a·b=x1x2+y1y2
D.若a,b,c为空间中不共面的三个向量,则存在不全为0的有序实数组(x,y,z),使得xa+yb+zc=0
7.(原创)与向量a=(1,-2,2)方向相反的单位向量是　　　　　　　.
8.(15分)已知{a,b,c}是空间的一个基向量,且=2a+b-c,=3a+3b,=2a+4b+2c,=-a+2b+3c.
(1)求证:M,A,B,C四点共面.
(2){}能否作为空间的一个基向量 若能,试用这一个基向量表示;若不能,请说明理由.
能力·高分练
9.(2026·北京模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,M为AB的中点,N为PD的中点.若PA=4,AB=2,则=(　　)
A.0 B.-4
C.-8 D.8
[错题笔记]
10.(多选)(2026·河南模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,AD=2,M为BC的中点.动点P满足=2x+x+z,x∈[0,],z∈[0,1],则下列说法正确的是(　　)
A.点P一定在平面AA1C1C内
B.当z=2x时,点P的轨迹长度为
C.当A1,P,M三点共线时,2x+z=1
D.当=-时,|PA1|的最大值为
[错题笔记]
11.(原创)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,E是线段BD上的一点,若=m+n,则=　　　　　.
[错题笔记]
12.(15分)(2026·山西晋中期中)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=,四边形ABCD是边长为2的菱形,AA1=3,O为AC与BD的交点.
(1)求A1O的长;
(2)证明:A1O⊥BD.
素养·提升练
13.(原创)已知空间向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=7,且a·b=0,c·a=c·b=2,则|c-ma-nb|的最小值为(　　)
A.5 B.6 C.25 D.36
参考答案
1.A　根据空间直角坐标系中点的坐标表示,可得=-i+j-k对应的坐标为(-1,1,-1).故选A.
2.B　∵a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),又a∥b,,解得x=-6,故选B.
3.B　=-a+c+b=-a+b+c.故选B.
4. B　因为a+b+kc,且点P在平面A1BC内,根据共面向量定理的推论,若空间四点P,M,N,Q共面,点O为空间任意一点,则=x+y+z,且x+y+z=1,+k=1,解得k=故选B.
5.BC　对于A,由m⊥n,得2×(-4)+(-1)×2+3x=0,解得x=,A错误;对于B,由m∥n得,存在实数λ,使得n=λm,则(-4,2,x)=(2λ,-λ,3λ),即解得B正确;对于C,当x=-4时,n=(-4,2,-4),m+n=(-2,1,-1),|m+n|=,C正确;对于D,当x=1时,n=(-4,2,1),m=(2,-1,3),cos==-,D错误.故选BC.
6.ACD　对于A,向量ta+2b与向量a+3b共线,若a与b共线,则t∈R,故A错误;对于B,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形AA1B1B为平行四边形,所以,故B正确;对于C,当e1⊥e2时,e1·e2=0,此时a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+y1x2)e1·e2=x1x2+y1y2,当e1与e2不垂直时,e1·e2≠0,此时a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+y1x2)e1·e2=x1x2+y1y2+(x1y2+y1x2)e1·e2,故C错误;对于D,若x≠0,则a=-b-c,此时a,b,c共面,故D错误.故选ACD.
7. (-,-)　由题意有|a|==3,所以a的方向相反的单位向量为-=-a=-(1,-2,2)= (-,-).
8.(1)证明 由=-a+b+2c,=-4a-b+3c,而=-a-2b-c,则=-,所以M,A,B,C四点共面.
(2)解 若共面,则=m+n,即3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c),所以3a+3b=(2m-n)a+(4m+2n)b+(2m+3n)c,
则可得所以,故{}不能作为基.
9. C　∵PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,∴以A为原点,以AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.∵PA=4,AB=2,A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),M为AB的中点,N为PD的中点,M(1,0,0),N(0,1,2),=(-1,1,2),=(2,2,-4),=-1×2+1×2+2×(-4)=-8.故选C.
10.BC　对于A选项,易得,故=2x+z,则共面,又有公共点A,故点P在平面AA1M内,故A错误;
对于B选项,取B1C1的中点N,连接A1N,MN,如图所示,则MN∥BB1,AA1∥BB1,MN=BB1,AA1=BB1,则MN∥AA1,MN=AA1,则四边形AA1NM为平行四边形,则当z=2x时,=2x+2x=2x,x∈[0,],可知此时点P的轨迹为线段AN,其长度为,故B正确;对于C选项,由=2x+z,则A1,P,M三点共线,可知2x+z=1,故C正确;对于D选项,显然{}为一组正交基,而=2x+x+z=2x+(x-1)+z,故=(2x+x+z)·[2x+(x-1)+z]=4x2+x(x-1)+z2=8x2-4x+z2=-,而=2x+x+(z-1),
故||=
=,因为x∈[0,],z∈[0,1],故当x=,z=0时,|PA1|最大为,此时不满足8x2-4x+z2=-,故|PA1|的最大值不为,故D错误.故选BC.
11.-3　连接AE,如下图所示,
因为B,E,D三点共线,
所以=k+(1-k),则=k+(1-k)
因为=m+n,
所以k=,m=-1,n=,则=-3.
12.(1)解 以{}为一个基,
由题意知||=||=2,||=3,=2×2=2,=2×3=3,
又,
所以||2=()2=4+4+9+2-3-3=6,所以|A1O|=||=故A1O的长为
(2)证明 由(1)知,在菱形ABCD中,,
所以=()·()=2+4-3-4-2+3=0,
所以,即A1O⊥BD.
13.A　因为|a|=|b|=1,a·b=0,故可设a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(x,y,z),又c·a=c·b=2,所以x=y=2,所以|c|==7,解得z2=25,又c-ma-nb=(2-m,2-n,z),
所以|c-ma-nb|
=
=5,
当且仅当m=n=2时取得等号,所以|c-ma-nb|的最小值是5.故选A.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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