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2026全国版高中数学突破练
突破练48　利用空间向量证明平行、垂直
1.(13分)(原创)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)平面PCD⊥平面PBC.
2.(15分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)在线段AB上是否存在点D,使得AC1⊥CD
(2)在线段AB上是否存在点E,使得AC1∥平面CEB1 说明理由.
3.(15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E,F,G分别是AA1,BC,C1D1的中点.
(1)用空间向量法证明:B1D⊥平面EFG.
(2)在直线DB上是否存在点P,使得B1P∥平面EFG 若存在,请指出点P的位置;若不存在,请说明理由.
4.(15分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,侧面PAB是等边三角形,BC=2AB,AC=AB,PB⊥AC.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD.
(2)设Q为侧棱PD上一点,四边形BEQF是过B,Q两点的截面,且AC∥平面BEQF,是否存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1. 证明 (1)依题意,以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以AB⊥PA,
又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以AB⊥平面PAD,
所以向量=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,而=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以BE⊥AB,又BE 平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(2)设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),=(0,2,-2),=(2,0,0),
则
不妨令y=1,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设平面PBC的法向量m=(x,y,z),又向量=(1,0,-2),=(1,2,0),
则
不妨令x=2,可得m=(2,-1,1)为平面PBC的一个法向量.
因为n·m=(0,1,1)·(2,-1,1)=0,
所以n⊥m.所以平面PBC⊥平面PCD.
2.解 (1)因为AC=3,BC=4,AB=5,
所以AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC.
如图,以点C为坐标原点,CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),所以=(-3,4,0),=(-3,0,4),=(3,0,0).
假设在AB上存在点D满足条件,
设=(0≤λ≤1),+=(3-3λ,4λ,0),因为AC1⊥CD,所以=-9+9λ=0,解得λ=1,即在AB上存在点D使得AC1⊥CD,此时点D与点B重合.
(2)假设在AB上存在点E,使得AC1∥平面CEB1.
设=t(0≤t≤1),+t=(3-3t,4t,0),=(0,4,4).
设平面CEB1的一个法向量n=(x,y,z),则有取y=3t-3,可得n=(4t,3t-3,3-3t),由n=-3×4t+4(3-3t)=0,解得t=,所以在AB上存在点E,使得AC1∥平面CEB1,这时E为AB的中点.
3. (1)证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(2,2,2),E(2,0,1),F(1,2,0),G(0,1,2),=(2,2,2),=(-1,2,-1),=(-2,1,1).
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=1,z=1,得n=(1,1,1).
∵n,∴B1D⊥平面EFG.
(2)解 存在点P,使得B1P∥平面EFG,P在DB的延长线上,且BP=DB.
由题意得B(2,2,0),=(0,0,-2),=(2,2,0),设==(2λ,2λ,0),λ∈R,则=(2λ,2λ,-2),λ∈R,
∵B1P∥平面EFG,n,n=2λ+2λ-2=0,解得λ=,∴BP=DB.
4.(1)证明 在△ABC中,因为BC=2AB,AC=AB,所以AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB,又AC⊥PB,PB∩AB=B,且PB,AB 平面PAB,所以AC⊥平面PAB,又AC 平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)解 假设存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB中点为H,连接PH,则PH⊥AB,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD.如图所示建立空间直角坐标系,
不妨设AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,2,0),P(1,0,),
则=(-2,2,0),=(1,0,),=(-4,2,0),=(3,-2),设n1=(x1,y1,z1)是平面PAD的法向量,
则
令y1=1,则n1=(,1,-1).
设=,其中0≤λ≤1,
则+=(3λ-4,2-2,),连接EF,
因为AC∥平面BEQF,AC 平面PAC,平面PAC∩平面BEQF=EF,
故AC∥EF,取与同向的单位向量j=(0,1,0).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BEQF的法向量,则
令x2=,则n2=(,0,4-3λ).
由平面BEQF⊥平面PAD,知n1⊥n2,有n1·n2=3λ+3λ-4=0,解得λ=
故在侧棱PD上存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD,
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