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2026全国版高中数学突破练
突破练50　求空间距离
1.(13分)(原创)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E,F分别为棱AB,AA1的中点.
(1)求证:E,C,D1,F四点共面;
(2)求点E到平面ACD1的距离.
2.(15分)(2026·新疆模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.
(1)求证:平面EGF∥平面ABD;
(2)求平面EGF与平面ABD的距离.
3.(15分)(2025·山东临沂期末)若OA为平面α的一条斜线,点O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为平面α内的一条直线,其中θ为OA与OC所成的角,β为OA与OB所成的角,γ为OB与OC所成的角,那么cos θ=cos βcos γ,简称三余弦定理.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=BC=2,cos∠A1BC==λ(0≤λ≤1).
(1)求∠ABC的余弦值;
(2)当点B1到平面A1NB距离最大时,求λ的值.
4.(17分)(2025·湖南期末)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为,D是BC的中点.
(1)证明:A1B∥平面ADC1.
(2)求直线A1B1与平面ADC1所成角的正弦值.
(3)在线段A1C1上是否存在一点E,使得点B1到平面ADE的距离为 若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.(1)证明 连接EF,EC,FD1,A1B,因为E,F分别为棱AB,AA1的中点,所以EF∥A1B,
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C∥A1B,
所以EF∥D1C,所以E,C,D1,F四点共面.
(2)解 以D为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),E(1,1,0),所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,-1,0),
设平面ACD1的一个法向量为n=(x,y,z),
则令y=1,得n=(2,1,2),则点E到平面ACD1的距离d=
2.(1)证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,则直线BA,BC,BB1两两垂直,
以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=2a,
则B(0,0,0),A(2a,0,0),B1(0,0,4),D(0,2,2),E(0,0,3),F(0,1,4),G(a,1,4),=(0,2,-2),=(2a,0,0),=(0,2,2),
于是=0,=0,
即,因此直线B1D⊥BA,B1D⊥BD,而BA∩BD=B,BA,BD 平面ABD,则B1D⊥平面ABD.
又=(0,1,1),=(a,1,1),则=0,=0,直线B1D⊥EF,B1D⊥EG,而EF∩EG=E,EF,EG 平面EGF,则B1D⊥平面EGF,
所以平面EGF∥平面ABD.
(2)解 由(1)得,平面ABD的一个法向量为=(0,2,-2),而=(0,0,3),则点E到平面ABD的距离d=,由平面EGF∥平面ABD,得平面EGF与平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离,
所以平面EGF与平面ABD的距离为
3.解 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥AB,AB=2,AA1=2,
∴A1B==2,
cos∠A1BA=,
又cos∠A1BC=,由三余弦定理可得cos∠A1BC=cos∠A1BAcos∠ABC,
故cos∠ABC=
(2)由(1)知cos∠ABC=,AB=2,BC=2,
在△ABC中,由余弦定理可得
AC=
==2,
∴AC2+BC2=AB2,AC⊥BC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,CC1⊥平面ABC,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系(图略),
则A(0,2,0),C(0,0,0),B(2,0,0),C1(0,0,2),A1(0,2,2),B1(2,0,2),
=(0≤λ≤1),∴N(0,0,2λ),
m=(x1,y1,z1)为平面A1NB的一个法向量,=(2,-2,-2),=(-2,0,2λ),=(0,0,2),由
即
令x1=2λ,则m=(2λ,2λ-2,2),故点B1到平面A1NB的距离为,
故当λ=时,点B1到平面A1NB的距离最大,且最大值为,故点B1到平面A1NB的距离最大时,λ=
4. (1)证明 如图,连接A1C交AC1于点O,连接OD,则点O为A1C的中点,且D是BC的中点,则OD为△A1BC的中位线,所以OD∥A1B.
又因为OD 平面ADC1,A1B 平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
(2)解 因为在正三角形ABC中,D是BC的中点,故AD⊥BC,以D为坐标原点,取B1C1的中点F,分别以DA,DB,DF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),A1(,0,),C1(0,-1,),B1(0,1,),故=(-,1,0),=(,0,0),=(0,-1,).
设平面ADC1的法向量为m=(x,y,z),
则取m=(0,,1).设直线A1B1与平面ADC1所成角为θ,可得sin θ=|cos<,m>|=,所以直线A1B1与平面ADC1所成角的正弦值为
(3)解 存在点E,理由如下:
设==(-,-λ,0),其中λ∈[0,1],
所以=(,0,)+(-,-λ,0)=(,-λ,),=(,0,0).
设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),
则取n=(0,,λ),且=(0,1,),则点B1到平面ADE的距离d=,
化简得3λ2+14λ-5=0,解得λ=或λ=-5(舍去).
综上,存在点E使得点B1到平面ADE的距离为此时
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