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2026全国版高中数学突破练
突破练52　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.若经过A(1,-2),B(-m,6)两点的直线的方向向量为(1,2),则实数m=(　　)
A.-5 B.5 C.3 D.-17
[错题笔记]
2.若直线l1:mx+2y+1=0的倾斜角是直线l2:x-y+1=0的倾斜角的两倍,则实数m为(　　)
A.2 B. C.-2 D.-
[错题笔记]
3.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[错题笔记]
4.直线l:x-y+=0与y轴交于点P,将l绕点P逆时针旋转105°得到直线l',则直线l'的方程为(　　)
A.x+y-1=0 B.x+y+1=0
C.x+y-=0 D.x+y-1=0
[错题笔记]
5.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(　　)
A. B.
C. D.
[错题笔记]
6.(多选)已知直线l的方程为ax+by-2=0,则下列判断正确的是(　　)
A.若ab>0,则直线l的斜率小于0
B.若b=0,a≠0,则直线l的倾斜角为90°
C.直线l可能经过坐标原点
D.若a=0,b≠0,则直线l的倾斜角为0°
[错题笔记]
7.(原创)(多选)下列四个说法中正确的有(　　)
A.过点(3,1),且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为x+y-4=0,x-y-2=0
B.若直线kx+y-k+1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交,则实数k的取值范围为
C.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能构成三角形,则实数a所有可能的取值组成的集合为{-1,1}
D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线l的斜率为-
[错题笔记]
8.(原创)已知定点M(5,0),若直线l1过定点M且方向向量是n1=(-5,5),直线l2过定点M且方向向量是n2=(5,-3),直线l1在y轴上的截距是a,直线l2在y轴上的截距是b,则a-b的值为　　　　　.
[错题笔记]
9.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则实数k的取值范围为　　　　　.
[错题笔记]
10.(15分)(2025·江苏扬州模拟)已知直线l经过点P(-5,-4).
(1)若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线l的方程;
(2)若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
能力·高分练
11.(原创)设直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0,若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,则a=　　　　　.
12.(一题多解)若三点A(3,3),B(0,b),C(c,0)(bc≠0)共线,则=　　　　　.
13.设A(-2,3),B(1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的取值范围是　　　　　.
14.如图,已知直线l1:y=4x,直线l2过点P(2,1),交l1于点A,交x轴于点B,则△OAB面积的最小值是　　　　　.
素养·提升练
15.(2025·上海模拟)直线l经过点P(2,-1),与x轴、y轴分别交于A,B两点,若2=0,则直线l的方程为　　　　　　　　.
16.(原创+情境创新)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁.如图是一座斜拉桥,共有10对拉索,在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距PiPi+1(i=1,2,3,…,9)均为4.4 m,拉索下端相邻两个锚的间距AiAi+1,BiBi+1(i=1,2,3,…,9)均为16 m,最短拉索的锚P1,A1满足OP1=57 m,OA1=86 m,则最长拉索所在直线的斜率为　　　　　.
参考答案
1.A　依题意,直线AB的斜率kAB=,解得m=-5.
2.C　因为直线l2的斜率k2=,对应的倾斜角为,由题意可得,直线l1的倾斜角为,故其斜率k1=-,解得m=-2
3.C　由AB>0且BC<0,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C也是异号,令x=0,得y=->0;令y=0,得x=->0,所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限.故选C.
4.A　直线l:x-y+=0,即y=x+1,则直线l的斜率为,倾斜角为30°,令x=0得y=1,即P(0,1),则直线l'的倾斜角为30°+105°=135°,斜率为tan 135°=-1,所以直线l'的斜截式方程为y=-x+1,即直线l'的方程是x+y-1=0.
5.B　由题意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,所以直线l1的斜率、y轴上的截距分别与直线l2在y轴上的截距、斜率符号相同,分析选项可知B符合.故选B.
6.ABD　若ab>0,则直线l的斜率-<0,故A正确;若b=0,a≠0,则直线l的方程为x=,其倾斜角为90°,故B正确;将(0,0)代入ax+by-2=0中,显然不成立,故C错误;若a=0,b≠0,则直线l的方程为y=,其倾斜角为0°,故D正确.故选ABD.
7.BD　A选项,当直线经过原点时,且经过(3,1),此时直线方程为y=x,也符合题意,故A错误;
B选项,直线kx+y-k+1=0,即y+1=-k(x-1),恒过定点P(1,-1),直线PM,PN的斜率分别为kPN=,kPM==-,又直线的斜率为-k,所以-k≥kPN=或-k≤kPM=-,解得k≤-或k,故实数k的取值范围为,B正确;
对于C,当直线x+y=0,x+ay=3-a平行时,解得a=1,当直线x-y=0,x+ay=3-a平行时,解得a=-1,显然直线x+y=0,x-y=0交于点(0,0),当点(0,0)在直线x+ay=3-a时,a=3,实数a的取值集合为{-1,1,3},故C错误;
对于D,当直线l的斜率不存在时,不满足要求,当斜率存在时,设直线l方程为y=kx+b(k≠0),沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,得到y=k(x+3)+b+2,即y=kx+3k+b+2,故3k+2=0,解得k=-,则该直线l的斜率为-,故D正确.
8.2　因为直线l1的方向向量是n1=(-5,5),所以直线l1的斜率为k1==-1,所以直线l1:y=-(x-5),即l1:y=-x+5,所以直线l1在y轴上的截距a=5.
因为直线l2的方向向量是n2=(5,-3),所以直线l2的斜率为k2==-,所以直线l2:y=(x-5),即l2:y=-x+3,所以直线l2在y轴上的截距b=3,
所以a-b=5-3=2.
9　由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则得k
10.解 (1)由题意可设直线l的方程为=1,代入P(-5,-4)有=1,又由题意得|a||b|=5,则|a||b|=10,
联立解得则直线l的方程为=1或=1,
即2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.
(2)当直线l经过原点时,则kl=,则l:y=x,即4x-5y=0;当直线l不经过原点时,设=1,代入P(-5,-4),则有=1,解得a=-,
即l:x+2y+13=0.
综上所述,直线l的方程为4x-5y=0或x+2y+13=0.
11.1或-2　由题意知直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0,当a=-1时,直线为y+2=0,不符合题意,故a≠-1,
令x=0,则y=a-1;令y=0,则x=;
由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,则+a-1=0,解得a=1或a=-2,
当a=1时,直线为2x+y=0,直线l在两坐标轴上的截距均为0,符合题意;
当a=-2时,直线为x-y-3=0,直线l在x,y轴上的截距分别为3,-3,符合题意.
12　(方法1)因为A,B,C三点共线,则kAB=kAC,所以,得bc=3b+3c,即;
(方法2)因为A,B,C三点共线,则点A在直线BC上,
其中直线BC的截距式方程为=1,
将点A的坐标代入直线方程,得到=1,即
13.(-∞,-2]∪[3,+∞)　如图,,则原问题可转化为过点C(0,-1)的直线l与线段AB有交点时,直线l的斜率k的取值范围.连接AC,BC,则kBC==3,kAC==-2,
当l的倾斜角是锐角时,k>0,随着倾斜角的增大,斜率k由kBC=3增大至正无穷;
当l的倾斜角是钝角时,k<0,随着倾斜角的增大,斜率k由负无穷增大至kAC=-2.所以k≥3或k≤-2.
14　设A(t,4t),B(a,0),由图可知t>0,a>0,由题意知,A,P,B三点共线.
,解得t=,S△AOB=a·4t=2at=,令4a-7=z,则z>0,∴S△AOB=,当且仅当z=,即z=7,a=,t=时,等号成立.
故△AOB面积的最小值为
15.x-y-3=0　依题意,设A(a,0),B(0,b),则=(a,0)-(2,-1)=(a-2,1),=(0,b)-(2,-1)=(-2,b+1),
则2=(2a-4,2)+(-2,b+1)=(2a-6,b+3),由2=0得解得
则A(3,0),B(0,-3),
则直线l的斜率为k==1,方程为y=x-3,即x-y-3=0.
16.±0.42　以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
根据题意,最短拉索的锚P1,A1满足OP1=57 m,OA1=86 m,且PiPi+1(i=1,2,3,…,9)均为4.4 m,AiAi+1(i=1,2,3,…,9)均为16 m,则OA10=OA1+A1A10=86+9×16=230 m,即点A10(230,0),同理B10(-230,0),又OP10=OP1+P1P10=57+9×4.4=96.6 m,即点P10(0,96.6),所以=-0.42,=0.42,
即最长拉索所在直线的斜率为±0.42.
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