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2026全国版高中数学突破练
突破练53　两条直线的位置关系
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2025·辽宁鞍山模拟)若直线l1:(a-2)x+y+1=0与直线l2:2x-(a+1)y-2=0互相平行,则实数a的值为(　　)
A.0 B.1
C.0或1 D.0或-1
[错题笔记]
2.(2025·山西三模)已知直线l1:ax+y+a=0与l2:(a-4)x-5y-4=0,则“a=5”是“l1⊥l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[错题笔记]
3.已知直线l经过直线l1:x+y=2与l2:2x-y=1的交点,且直线l的斜率为-,则直线l的方程是(　　)
A.3x-2y-1=0 B.3x-2y+1=0
C.2x+3y-5=0 D.2x-3y+1=0
[错题笔记]
4.已知直线l1:y=x和l2:x-2y+1=0的交点为P,则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.
[错题笔记]
5.(2025·陕西宝鸡模拟)已知三条直线l1:y=x+1,l2:y=-2x+4,l3:mx+y+1=0不能围成三角形,则实数m的取值集合为(　　)
A.{1,-2} B.{1,-2,3}
C.{-1,2,-3} D.{-1,2}
[错题笔记]
6.(2025·江苏连云港模拟)若直线l与直线x=3交于点P,与直线x-y+5=0交于点Q,且线段PQ的中点是(1,1),则l的斜率为(　　)
A.- B.-
C. D.
[错题笔记]
7.(多选)(2025·江苏南通模拟)已知直线l1:x-y=1,直线l2:mx+ny=m(mn≠0),则(　　)
A.l1在y轴上的截距为-1
B.l2恒过点(0,1)
C.当m-n=0时,l1⊥l2
D.当m+n=0时,l1∥l2
[错题笔记]
8.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线,其方程均可写为
B.已知点A(3,1),B(2,3),则过点A且与B距离为1的直线的方程为3x+4y-13=0
C.直线x-2y-2=0与直线2x-4y+1=0之间的距离为
D.已知点A(-3,5),B(2,8),点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为10
[错题笔记]
9.直线2x+4y-5=0关于直线x=2对称的直线的方程为　　　　　　　　　　.
[错题笔记]
10.已知△ABC的顶点A(1,1),高CD所在直线方程为3x+y-12=0,∠ABC的平分线BE所在直线方程为x-2y+4=0,则B点的坐标为　　　　　.
[错题笔记]
能力·高分练
11.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)
A.x+y-5=0
B.2x-y-1=0
C.2x-y-4=0
D.2x+y-7=0
[错题笔记]
12.(2026·河北石家庄开学考试)在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(2,0),(4,0),点C的坐标为(m,m)(m>0),则CA+CB的最小值是(　　)
A.6 B.3
C.2 D.5
[错题笔记]
13.(2026·黑龙江哈尔滨模拟)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A.x+y+1=0 B.x-y+1=0
C.x+y+5=0 D.x+y-5=0
[错题笔记]
14.已知直线l1过点A(0,1),直线l1与直线l2:y=x的交点B在第一象限,点O为坐标原点.若△OAB为钝角三角形,则直线l1的斜率的取值范围是　　　　　.
[错题笔记]
素养·提升练
15.(多选)定义点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d=.已知点P1,P2到直线l的有向距离分别是d1,d2.以下说法正确的是(　　)
A.若d1=d2=1,则直线P1P2与直线l平行
B.若d1=1,d2=-1,则直线P1P2与直线l垂直
C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直
D.若d1·d2<0,则直线P1P2与直线l相交
[错题笔记]
16.(2026·江苏宿迁开学考试)已知实数a,b,c,d满足,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
[错题笔记]
参考答案
1.A　因为直线l1:(a-2)x+y+1=0与直线l2:2x-(a+1)y-2=0互相平行,所以有(a-2)[-(a+1)]=1×2且(a-2)(-2)≠1×2,解得a=0.
2.A　由l1⊥l2,则a(a-4)-5=0,解得a=5或a=-1,
所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
3.C　解方程组所以两直线的交点坐标为(1,1).因为直线l的斜率为-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即2x+3y-5=0.故选C.
4.C　联立解得即点P的坐标为(1,1),
点P(1,1)到直线l:kx-y+1=0的距离d=,
当k=0时,d=0,
当k≠0时,d=,恒有+1>1,于是0综上,点P到直线l的距离的取值范围是[0,1).
5.C　直线l1,l2,l3的斜率分别为k1=1,k2=-2,k3=-m,纵截距分别为1,4,-1,由解得即直线l1,l2的交点为A(1,2),
由直线l1,l2,l3不能围成三角形,得直线l1∥l3或l2∥l3或点A在直线l3上,
则-m=1或-m=-2或m+2+1=0,解得m=-1或m=2或m=-3,
所以实数m的取值集合为{-1,2,-3}.
6.A　设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意得,x1=3,又PQ的中点是(1,-1),则=1,故x2=-1,又Q在x-y+5=0上,则x2-y2+5=0,故y2=4,又=-1,故y1=-6,于是P(3,-6),Q(-1,4),
根据斜率公式,kl=kPQ==-
7.AC　对于A,l1:x-y=1,即y=x-1,故直线l1在y轴上的截距为-1,故A正确;
对于B,l2:mx+ny=m(mn≠0),即m(x-1)+ny=0,令x-1=0,y=0,可得x=1,y=0,即直线l2恒过点(1,0),故B错误;
对于C,当m-n=0时,即m=n,则1×m+(-1)×n=0,故l1⊥l2,故C正确;
对于D,当m+n=0时,令m=1,n=-1,此时直线l2:x-y=1,与直线l1:x-y=1重合,两直线不平行,故D错误.
8.ABD　对于A,当x1=x2或y1=y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程不能用表示,A错误;
对于B,当直线过点A(3,1)斜率不存在时,方程为x=3,此时B(2,3)到x=3的距离为1,符合题意,当过点A(3,1)斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,当过点A且与B距离为1时,则=1,解得k=-,所以直线方程为3x+4y-13=0,所以过点A且与B距离为1的直线的方程为x=3或3x+4y-13=0,故B错误;
对于C,直线x-2y-2=0化为2x-4y-4=0,所求距离为,C正确;
对于D,作点B关于直线x-y+1=0的对称点B',
设B'(a,b),则
解得所以B'(7,3),连接AB'交直线x-y+1=0于点P',连接P'B,
则|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|≥|AB'|,
因此(|PA|+|PB|)min=|AB'|==2,D错误.
9.2x-4y-3=0　设直线2x+4y-5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线x=2对称的点为Q(x,y),则所以代入2x0+4y0-5=0,得2(4-x)+4y-5=0,整理得2x-4y-3=0.
10.(-8,-2)　∵△ABC的高CD所在直线方程为3x+y-12=0,∴直线AB的斜率k=-=-,
又△ABC的顶点A(1,1),∴直线AB的方程为y-1=(x-1),即x-3y+2=0,
又∠ABC的平分线BE所在直线方程为x-2y+4=0,
∴联立解得B点坐标为(-8,-2).
11.A　由直线PA的方程为x-y+1=0,当y=0时,x=-1;当x=2时,y=3,
∴A(-1,0),P(2,3),
∵|PA|=|PB|,∴点P在线段AB的垂直平分线,即直线x=2上,∴B(5,0),P(2,3),∴直线PB的斜率kPB==-1,
∴直线PB的方程为y-0=-(x-5),即x+y-5=0.
12.C　如图,∵C(m,m)(m>0),
∴C在直线y=x上,设点A关于直线y=x的对称点为A',则AA'所在直线为y=-x+b,代入点A(2,0),可得-2+b=0,解得b=,
故AA'所在直线为y=-x+,
联立解得故直线y=x与直线AA'交点M,
则点A关于直线y=x的对称点A'的坐标为(-1,),
∴A'B==2,∵CA+CB=CA'+CB≥A'B,
∴CA+CB的最小值是2
13.D　已知△ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2,3),三角形ABC重心坐标为G,即G(3,2),
因为kAB==1,则边AB上的高线斜率k1=-=-1,
又因为边AB上的高线过点C,故其方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0. ①
同理kAC==-2,则边AC上的高线斜率k2=-,
又因为边AC上的高线过点B,故其方程为y-2=(x-4),即x-2y=0. ②
由①②联立,解得即△ABC的垂心坐标为H
由题意,欧拉线过重心G和垂心H,则△ABC的欧拉线方程为y-2=(x-3),
即x+y-5=0.
14.(-∞,-1)∪(0,1)　当△OAB为直角三角形时,OB⊥BA或OA⊥BA,此时l1的斜率k=-1或0.
如图,当k=0时,l1与l2交于点B1;
当k=-1时,l1与l2交于点B2.
当l1从直线AB2开始,绕点A顺时针旋转到y轴之间时,△OAB为钝角三角形,此时k<-1;记过点A且与l2平行的直线为l3,
当l1从直线AB1开始,绕点A逆时针旋转到直线l3之间时,△OAB为钝角三角形,此时0综上,k∈(-∞,-1)∪(0,1).
15.AD　设P1(x1,y1),P2(x2,y2),对于A,若d1=d2=1,则ax1+by1+c=ax2+by2+c=,直线P1P2与直线l平行,故A正确;
对于B,点P1,P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等,直线P1P2不一定与l垂直,故B错误;
对于C,若d1=d2=0,满足d1+d2=0,即ax1+by1+c=ax2+by2+c=0,则点P1,P2都在直线l上,所以此时直线P1P2与直线l重合,故C错误;
对于D,若d1·d2<0,即(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)<0,所以点P1,P2分别位于直线l的两侧,所以直线P1P2与直线l相交,故D正确.故选AD.
16.B　由题意知实数a,b,c,d满足,则3a-4b=0,3c-4d+9=0,故点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上,而(a-c)2+(b-d)2表示点(a,b)和点(c,d)之间的距离的平方,故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行线3x-4y=0和3x-4y+9=0间距离的平方,最小值为
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