资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026全国版高中数学突破练
突破练54　圆的方程
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分)
基础·满分练
1.(2022·北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a的值为(　　)
A. B.- C.1 D.-1
[错题笔记]
2.(2025·湖南永州模拟)圆C的圆心在y轴上,且过A(3,1),B(-3,5)两点,则圆C的方程为(　　)
A.x2+(y-1)2=17
B.x2+(y-3)2=17
C.x2+(y+1)2=13
D.x2+(y-3)2=13
[错题笔记]
3.(2025·重庆模拟)若方程C:x2+y2-2ax+2y+2a2-1=0表示圆,且圆心位于第四象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-] B.(,+∞)
C.(0,) D.(0,]
[错题笔记]
4.过原点可以作两条线与圆x2+y2-my+m-1=0相切,则实数m的取值范围为(　　)
A.(1,+∞) B.(1,2)∪(2,+∞)
C.[1,+∞) D.[1,2)∪(2,+∞)
[错题笔记]
5.在平面直角坐标系xOy中,一只蚂蚁从点M(-4,-2)出发,爬到y轴后又爬到圆C:(x+2)2+(y-2)2=1上,则它爬行的最短路程是(　　)
A.2-1 B.4
C.8 D.2-1
[错题笔记]
6.(2025·河北模拟)已知直线l1:λx+2y+λ=0,直线l2:2x-λy-2=0,若l1与l2的交点为P,且Q(2,),则|PQ|的最小值为(　　)
A.2 B. C.3 D.
[错题笔记]
7.(多选)(2025·山东潍坊一模)已知点P(2,2),圆C:x2+y2=18,则(　　)
A.点P在C内
B.点P与C上的点之间的最大距离为6
C.以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0
D.过点P的直线被C截得弦长的最小值为
[错题笔记]
8.(多选)已知圆M:x2+y2-4x-1=0,点P(x,y)是圆M上的动点,则下列说法正确的有(　　)
A.圆M关于直线x+3y-2=0对称
B.直线x+y=0与圆M相交,弦长为
C.t=的最大值为
D.x2+y2的最小值为9-4
[错题笔记]
9.(原创)写出一个过原点,且半径为2的圆的方程　　　　　　　　　　.
[错题笔记]
10.(2025·陕西咸阳模拟)已知过点P(-1,1)的直线l与圆C:x2+y2+6x=0交于M,N两点,则弦MN的中点Q的轨迹方程为　　　　　　 .
[错题笔记]
能力·高分练
11.已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则实数t的取值范围是(　　)
A.(0,2] B.[1,2]
C.[2,3] D.[1,3]
[错题笔记]
12.已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点,O为坐标原点.则以OA为直径的圆除过定点(0,0)外还过定点(　　)
A.(10,0) B.(0,10)
C.(2,4) D.(4,2)
[错题笔记]
13.(多选)已知O为坐标原点,Q为圆C:x2+y2-4x+3=0上的动点,点P(3,-3),则下列选项正确的是(　　)
A.点P在圆C外
B.线段PQ中点的轨迹方程为=1
C.若圆C关于直线ax+by=1对称,则a=
D.当∠OPQ最小时,cos∠OPQ=
[错题笔记]
14.(15分)(原创)已知圆M经过函数y=x2-6x+5的图象与坐标轴的3个交点.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若点P为圆N:x2+(y-2)2=1上一动点,点Q为圆M上一动点,点A在直线y=-2上运动,求|AP|+|AQ|的最小值,并求此时点A的横坐标.
素养·提升练
15.(2025·河南二模)已知曲线Ω:x2+y2=|x|+|y|,点P(m,n)在曲线Ω上,则下列结论错误的是(　　)
A.曲线Ω围成的图形的面积为π+2
B.的最小值为-1
C.点P(m,n)到直线x+y+3=0的距离的最大值为
D.曲线Ω有且仅有2条对称轴
[错题笔记]
参考答案
1.A　若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,圆心坐标为(a,0),所以2a+0-1=0,解得a=故选A.
2.D　因为圆C的圆心在y轴上,设圆的圆心为(0,b),半径为r,则圆的方程为x2+(y-b)2=r2,因为点A,B在圆上,所以有
整理得解得所以圆C的方程为x2+(y-3)2=13.
3.C　因为方程C:x2+y2-2ax+2y+2a2-1=0可变形为(x-a)2+(y+1)2=2-a2,由题知解得04.B　圆x2+y2-my+m-1=0,即x2+,
圆心为,半径r=,且m2-4m+4>0,∴m≠2,
又过原点可作两条直线与圆x2+y2-my+m-1=0相切,∴原点在圆外,
解得m>1且m≠2.
5.A　由圆C:(x+2)2+(y-2)2=1,得圆心C(-2,2),半径r=1,易得点M(-4,-2)关于y轴的对称点为M'(4,-2),
如图,所求的最短路程即为M'到圆C上的点的最短距离为|CM'|-r=-1=2-1.
6.A　l1可变形为λ(x+1)+2y=0,由可得则l1恒过定点A(-1,0),同理可得l2恒过定点B(1,0),且有λ·2+2·(-λ)=0,则l1⊥l2,
此时P的轨迹是以AB为直径的圆x2+y2=1,除去点(-1,0).
因为|OQ|=3,由图知,当点P在线段OQ上时,|PQ|的值最小,其最小值为3-1=2.
7.AC　对于A,因为22+22=8<18,所以点P在C内,故A正确;
对于B,由|PC|==2,r=3,知点P与C上的点之间的最大距离为2+3=5,故B错误;
对于C,由kOP==1,可知过点P为中点的弦所在直线斜率为k=-1,故此弦所在直线为y-2=-(x-2),即x+y-4=0,故C正确;
对于D,由圆的性质可知,当OP与过P的弦垂直时,所得弦长最短,此时弦长为2=2=2,故D错误.
8.ACD　圆M的标准方程为(x-2)2+y2=5,圆心为M(2,0),半径r=,圆心M(2,0)在直线x+3y-2=0上,所以圆M关于直线x+3y-2=0对称,故A正确;
M(2,0)到直线x+y=0的距离为d=,所以直线x+y=0与圆M相交,弦长为2=2=2,故B错误;
t=,表示圆上的点(x,y)与点(-3,0)连线的斜率,如图,其最大值为,故C正确;
x2+y2表示圆上的点(x,y)到原点的距离的平方,其最小值为(-2)2=9-4,故D正确.故选ACD.
9.(x-)2+(y-)2=4(答案不唯一)
过原点,且半径为2,即圆心在圆x2+y2=4上,取圆心为(),即可得圆的方程为(x-)2+(y-)2=4(答案不唯一).
10.(x+2)2+　由直线l过点P(-1,1),圆C:x2+y2+6x=0可知,圆心C为(-3,0),设点Q(x,y),
由题意可知,当点Q与点P不重合时,CQ⊥PQ,则=(x+3,y)·(x+1,y-1)=0,整理得x2+y2+4x-y+3=0,即(x+2)2+,
此时点Q的轨迹为圆(x+2)2+但不包括点P(-1,1).
当点Q与点P重合时,其坐标满足方程(x+2)2+
综上,点Q的轨迹方程为(x+2)2+
11.D　圆C:(x-)2+(y-1)2=1的圆心为C(,1),半径为1,因为圆心C到O(0,0)距离为2,所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3,最小值为1,又因为∠APB=90°,则以AB为直径的圆和圆C有交点,可得|PO|=|AB|=t,所以有1≤t≤3,故选D.
12.D　设OB垂直于直线2x+y-10=0,垂足为B,则直线OB方程为y=x,
由圆的性质可知,以OA为直径的圆恒过点B,由解得以OA为直径的圆恒过定点(4,2).
13.ACD　对于A,把点P代入圆C,可得32+(-3)2-4×3+3=9>0,所以点P在圆C外,故A正确;
对于B,设点Q(m,n),线段PQ中点为M(x,y),则 ①
因为点Q(m,n)在圆C上,所以m2+n2-4m+3=0②,将①式代入②式得,(2x-3)2+(2y+3)2-4(2x-3)+3=0,即4x2+4y2-20x+12y+33=0,整理得,故B错误;
对于C,若圆C关于直线ax+by=1对称,则圆C的圆心(2,0)在直线ax+by=1上,所以2a=1,a=,故C正确;
对于D,如图,
当PQ与圆C相切时(图中PQ位置),∠OPQ最小,作PB⊥x轴于点B,B(3,0),∠CPB=θ,则∠QPB=2θ,∠OPQ=-2θ,因为|CP|=,圆C的半径r=1,所以sin θ=,
所以cos 2θ=1-2sin2θ=,sin 2θ=,cos∠OPQ=cos=coscos 2θ+sinsin 2θ=,故D正确.
14.解 (1)因为函数y=x2-6x+5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0,5),C(1,0),D(5,0),根据题意,设圆M的圆心坐标为M(3,b),
由|MB|=|MC|,可得,解得b=3,则|MC|=,故圆M的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=13.
(2)设圆N关于直线y=-2对称的圆为圆E,则圆E的方程为x2+(y+6)2=1.
设A(x,-2),则当A,E,M三点共线时,|AP|+|AQ|取得最小值,且|AP|+|AQ|的最小值为|ME|--1=-1=3-1,此时可得kME=kAE,即,解得x=,故点A的横坐标为
15.D　因为曲线Ω:x2+y2=|x|+|y|,当x≥0且y≥0时,曲线Ω的方程可化为;
当x≤0且y≥0时,曲线Ω的方程可化为;
当x≥0且y≤0时,曲线Ω的方程可化为;
当x≤0且y≤0时,曲线Ω的方程可化为
曲线Ω的图象如图所示:
由图可知,曲线Ω围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和,从而曲线Ω围成的图形的面积为4+()2=2+π,故A正确;
表示点P(m,n)与点(2,0)的连线的斜率,由图可知当(x≥0且y≥0)与直线相切时取得最小值,设切线为y=k(x-2)(k<0),则,解得k=-1或k=(舍去),所以的最小值为-1,故B正确;
点到直线x+y+3=0的距离d==2,结合图象可知点P(m,n)到直线x+y+3=0的距离的最大值为2,故C正确;
由曲线Ω的图象可知,曲线Ω围成的图形有4条对称轴,分别是x轴、y轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线,故D错误.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑