资源简介

2026年高考全国卷仿真模拟训练
数　学（一）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知全集 ，集合 ， ，则 （　）
A. B.
C. D.
已知复数 满足 ，则 的虚部为（　）
A. B.
C. D.
在平行四边形 中， 为 的中点，若 ， ，则 （　）
A. B.
C. D.
某中学为了解高一年级1200名学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，若一班有40名学生，则从一班应抽取的人数为（　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
函数 的部分图象大致为（　）
A. 图象过点 ，在 上单调递增
B. 图象过点 ，在 上单调递减
C. 图象过点 ，在 上单调递增
D. 图象过点 ，在 上单调递减
已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，若 ，则 （　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
已知直线 过点 ，且与直线 互相垂直，则直线 的方程为（　）
A.
B.
C.
D.
已知函数 有两条与直线 垂直的切线，则实数 的取值范围是（　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
在正方体 中，下列结论正确的有（　）
A. 平面
B. 平面
C. 直线 与底面 所成角的正切值为
D. 异面直线 与 所成的角为
甲、乙两个盒子中分别装有3个红球和2个白球，2个红球和4个白球。现从甲盒子中随机取出1个球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出1个球。下列说法正确的有（　）
A. 从甲盒子中取出红球的概率为
B. 从乙盒子中取出红球的概率为
C. 若从乙盒子中取出的是红球，则从甲盒子中取出的也是红球的概率为
D. 两次取出的球颜色相同的概率为
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，下列说法正确的有（　）
A. 椭圆 的短轴长为
B. 若 轴，则
C. 的周长为
D. 若 ，则 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 ________。
某班从4名男生和3名女生中选出2人参加演讲比赛，要求男、女生各1名，则不同的选法种数为________。
对于定义在区间 上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意的 ，都有 ，且对任意的 ，都有 恒成立，则称函数 为区间 上的“平顶型函数”。已知函数 为 上的“平顶型函数”，则实数 的值为________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）某学校为了解学生的课外阅读情况，从高一年级随机抽取了100名学生，统计了他们一周的课外阅读时长（单位：小时），得到如下频率分布表：
时长区间
频率
（1）求这100名学生一周课外阅读时长的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）从课外阅读时长在 的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人阅读时长在 的概率（已知 区间内的学生，时长均匀分布）。
（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ， 为 的中点。
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值。
（15分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ，并证明 。
（17分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 。
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，求 面积的最大值。
（17分）已知函数 ， 。
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明：函数 有且仅有2个零点；
（3）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围。
2 / 6
参考答案
一、选择题答案速查
1-5: D A B A A
6-8: B B B
9-11: ABD ABC BCD
二、详细解析
1. D
【解析】先求解集合 、 ，再计算补集与交集。
解不等式 ，即 ，得 ；
解不等式 ，即 ，得 ，即 ；
全集 ，故 ；
因此 ，故选 D。
2. A
【解析】通过复数四则运算化简，确定虚部。
由 ，得 ；
复数的虚部为不含虚数单位 的实数，即 ，故选 A。
3. B
【解析】利用平面向量线性运算法则求解。
在平行四边形 中，对边向量相等，即 ；
为 中点，故 ；
由向量加法的三角形法则， ，故选 B。
4. A
【解析】根据分层抽样的等比例原则计算。
抽取比例 ；
一班 40 名学生，应抽取人数 ，故选 A。
5. A
【解析】通过特殊点函数值与单调性判断图象特征。
对于 ：
当 时， ，图象过点 ，排除 B、D；
当 时， ， 在 上单调递增，故 在 上单调递增，排除 C，故选 A。
6. B
【解析】利用等差数列通项公式列方程求解。
等差数列通项公式为 ，已知公差 ：
， ；
由 ，得 ，解得 ，故选 B。
7. B
【解析】利用直线垂直的斜率关系与点斜式方程求解。
直线 的斜率 ，两直线垂直，斜率之积为 ，故直线 的斜率 ；
直线 过点 ，由点斜式得 ，化简得 ，故选 B。
8. B
【解析】利用导数的几何意义，结合函数零点个数求解参数范围。
与直线 垂直的切线斜率为 ，即 在定义域 上有两个不相等的实数根。
对 求导，得 ；
令 ，整理得 ，设 ；
求导得 ；
令 ，解得 ；
当 时， ， 单调递增；
的最大值为 ；
当 时， ；当 时， ；
要使方程 有两个不相等的正实数根，需 ，即 ，故选 B。
9. ABD
【解析】设正方体棱长为 1，逐一分析选项：
选项 A： ， 平面 ， 平面 ，由线面平行判定定理得 平面 ，正确；
选项 B： ， ， ，由线面垂直判定定理得 平面 ，正确；
选项 C：直线 与底面 所成角为 ， ，错误；
选项 D： ，故异面直线 与 所成角为 ， 为等腰直角三角形， ，正确。
10. ABC
【解析】逐一分析选项：
选项 A：甲盒共 5 个球，其中 3 个红球，故从甲盒取出红球的概率 ，正确；
选项 B：由全概率公式，从乙盒取出红球的概率 ，正确；
选项 C：由贝叶斯公式， ，正确；
选项 D：两次取出的球颜色相同的概率 ，错误。
11. BCD
【解析】由离心率 ，得 ，结合 ，得 ，即 。
选项 A：椭圆的短轴长为 ，错误；
选项 B：若 轴，将 代入椭圆方程得 ，即 ，解得 ，故 ，正确；
选项 C：由椭圆的定义， 的周长 ，正确；
选项 D：在 中，由余弦定理得 ，即 ，解得 ，故 的面积 ，正确。
12.
【解析】由正弦定理 ，代入已知条件：
，即 ，解得 。
13. 12
【解析】分两步完成选取：第一步从 4 名男生中选 1 名，有 4 种选法；第二步从 3 名女生中选 1 名，有 3 种选法；
由分步乘法计数原理，不同的选法种数 。
14. 2
【解析】由"平顶型函数"的定义， 需在某一闭区间 上恒为常数 ，且区间外的函数值均小于 。
先化简绝对值内的二次函数： ，因此 。
分区间去绝对值：
当 时， ，此时 ；
当 时， 。
要使 为"平顶型函数"，需在区间 上 为常数，即二次项系数为 0，故 ，即 。
验证：当 时， ， 时， ，在 上， ，为常数； 或 时， ，完全满足"平顶型函数"的定义，故 。
四、解答题
15. （13 分）
【解析】
（1）计算平均数：
各组区间的中点值依次为 , , , , ，
平均数 （小时）。
计算中位数：
前两组的频率和为 ，前三组的频率和为 ，因此中位数落在 区间内。
设中位数为 ，由频率累计公式得：
解得 小时。
（2） 区间的学生人数 人，因时长均匀分布，故 和 区间的人数分别为 7 人、8 人。
"至少有 1 人阅读时长在 " 的对立事件为 "2 人均在 区间"。
从 15 人中随机抽取 2 人的总基本事件数为 ，
2 人均在 区间的事件数为 ，
因此所求概率 。
16. （15 分）
【解析】以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系。
由已知条件得各点坐标： ， ， ， ， ， 为 中点，故 。
（1）证明：
，平面 内的两个向量 ， 。
设平面 的法向量为 ，则：
令 ，解得 ， ，即 。
。
又 平面 ，因此 平面 。
（2）解：
，平面 内的两个向量 ， 。
设平面 的法向量为 ，则：
令 ，解得 ， ，即 。
设直线 与平面 所成的角为 ，则：
。
即直线 与平面 所成角的正弦值为 。
17. （15 分）
【解析】
（1）求数列 的通项公式：
当 时， ，解得 。
当 时，由 ，得 ，
两式相减得： ，整理得 。
因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
通项公式为 。
（2）求前 项和 并证明不等式：
由（1）得 ，故 。
因此 。
前 项和 为：
。
证明 ：
，
因 ，故 ，即 ，得证。
18. （17 分）
【解析】
（1）求椭圆 的标准方程：
由离心率 ，得 ，结合 ，得 。
椭圆过点 ，代入椭圆方程得：
，
将 代入上式，得 ，解得 ， 。
因此椭圆 的标准方程为 。
（2）求 面积的最大值：
分两种情况讨论：
① 当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ，解得 。
由 ，得 ，解得 ，即 ， 。
此时 的面积 。
② 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立椭圆方程得 ，整理得 。
判别式 ，即 。
由韦达定理得： ， 。
由 ，得 ，
其中 ，
代入得 ，
将韦达定理结果代入并化简，得 ，即 ，满足 。
弦长 ，
代入韦达定理结果与 ，化简得：
。
原点 到直线 的距离 。
因此 的面积：
。
由基本不等式， ，当且仅当 即 时取等号，
因此 ，
故 。
综上， 面积的最大值为 。
19. （17 分）
【解析】
（1）当 时， ，定义域为 ，
求导得 。
令 ，解得 ；令 ，解得 。
因此 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。
（2）当 时，证明 有且仅有 2 个零点：
当 时， ，求导得 ，
令 ，则 。
令 ，解得 。
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增。
因此 。
又 ， ， ，
故 在 上有唯一零点 ，在 上有唯一零点 。
因此 的符号变化为：
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增。
又 ， ， ， ，
由零点存在定理：
在 上有唯一零点；
在 上有唯一零点。
综上， 有且仅有 2 个零点，得证。
（3）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围：
在 上单调递增，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立。
令 ，求导得 。
令 ，则 ，故 在 上单调递增， ，因此 ， 在 上单调递增。
由洛必达法则， ，
故 在 上恒成立，因此 ，即 。
即实数 的取值范围为 。
2 / 7

展开更多......

收起↑