资源简介

(共24张PPT)
勾股定理及其逆定理
的综合应用
1．熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
2．进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．
3．学会将实际问题构建成数学模型，并运用相关知识解决．
1．勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
情景引入
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
3 +4 =5
请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗
动手操作
下面的三条线段分别是一个三角形的三边长a，b，c：
1.这两组数都满足a +b =c 吗？
2.看演示，自己动手用尺规作图画出这两个三角形。
3.量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
探究新知
据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
3
4
5
上述三角形的三边满足什么数量关系？
32 + 42 = 52
这种做法真的可以得到一个直角三角形吗？
探究新知
（1）2.5，6，6.5； （2） 4，7.5，8.5.
以下面各组数为边长画三角形，所画三角形是直角三角形吗？(单位：cm)
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理
这是判定直角三角形的一个依据.
形
数
思维轴
1
找
2
算
3
判
最长边
算出两短边的平方和与最长边的平方
判断等量关系
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形
　　　(1)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是
A.a∶b∶c=1∶2∶3
B.a2=b2+c2
C.∠B+∠C=∠A
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
跟踪训练1
√
解析　A项，∵a∶b∶c=1∶2∶3，
设a=x，b=2x，c=3x，∵(x)2+(2x)2≠(3x)2，
∴不能说明△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；
B项，∵a2=b2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意；
C项，∵∠B+∠C=∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意；
D项，∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×=90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意.
2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
其逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”；这个命题成立.
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
其逆命题为“如果两个角相等，那么它们都是直角”；
这个命题不成立.
（3）全等三角形的对应边相等；
其逆命题为“如果两个三角形的三组边对应相等，
那么这两个三角形全等”；这个命题成立.
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
其逆命题为“如果两个实数的平方相等，
那么这两个实数相等”；这个命题不成立.
2.请判断下列说法的正误.
（1）每个定理都有逆定理. （ ）
（2）每个命题都有逆命题. （ ）
（3）假命题没有逆命题. （ ）
（4）真命题的逆命题是真命题. （ ）
×
√
×
×
（1）如果∠A+∠B=90 ，则这两个角互为余角.
逆命题：如果两个角∠A，∠B互为余角，那么∠A+∠B=90 . 成立.
（2）如果同旁内角互补，则两直线平行.
逆命题：如果两直线平行，那么同旁内角互补. 成立.
3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立.
其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立.
活动三：重点突破，提升探究
例 2 四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD = 10，
求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24，
∴ AB2 +AD2 = BD2， BD2 +BC2 = CD2 .
∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形，
且∠A = 90°，∠DBC = 90°.
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC = ×6×8 + ×10×24 = 144.
答：四边形 ABCD 的面积是 144.
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点, 连接对称点与另一点的线段就是最短路径长, 以连接对称点与另一个点的线段为斜边, 构造出直角三角形, 再运用勾股定理求最短路径.
归纳
例5. 如图, 圆柱形玻璃杯高为12cm, 底面周长为18cm, 在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处, 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 。
将军饮马问题
4. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的形状是 ________________．
3. 一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
12
等腰直角三角形
5. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7，b=24，c=25； （2）a= ，b=4，c=5；
（3）a= ，b=1，c= ； （4）a=40，b=50，c=60.
是
是
是
不是

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