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沪科版（2024）八年级下册 第17章 一元二次方程及其应用 单元测试
一、选择题
1.如图，一块长16 m，宽8 m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105 m2.设石子路的宽度为x m，则下面所列方程正确的是
A.(16－x)(8－x)＋x2＝105
B.(16－x)(8－x)＝105
C.(16－2x)(8－x)＋x2＝105
D.(16－2x)(8－x)＝105
2.若关于x的方程x2－kx－3＝0的一个根是x＝3，则k的值是
A.－2
B.2
C.－
D.
3.关于x的方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A.x1＝2，x2＝-1 B.x1＝4，x2＝1 C.x1＝0，x2＝-3 D.x1＝1，x2＝-2
4.以下是甲、乙同学解方程x(x－1)＝3(x－1)，解答过程如下所示：
甲同学 乙同学
两边同时除以(x－1)，得x＝3 移项，得x(x－1)－3(x－1)＝0. ∴(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0， 解得x1＝3，x2＝1
其中完全正确的是
A.甲同学
B.都对
C.乙同学
D.都不正确
5.一元二次方程x2＝16的解为（　　）
A.x＝8 B.x＝±8 C.x＝4 D.x＝±4
6.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.
B.（a，b，c均为常数）
C.
D.
7.用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　）
A.x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0
B.x2﹣5x﹣4＝0化为
C.x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
D.3x2﹣4x﹣2＝0化为
8.已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知的小数部分是方程的一个根，则该方程另一根的整数部分是（ ）．
A.1 B.2 C.3 D.4
10.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
11.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　）
A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50%
12.已知关于x的一元二次方程m(x－h)2－k＝0(m，h，k均为常数且m≠0)的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m(x－h＋1)2＝k的解是
A.x1＝－2，x2＝－5
B.x1＝－4，x2＝－1
C.x1＝1，x2＝4
D.x1＝－3，x2＝－6
二、填空题
13.方程x2﹣4x﹣21＝0的解为　　．
14.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝　 　．
15.一元二次方程x2﹣2x﹣24＝0的根是 　　．
16.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，其步骤为：
第一步：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形．
第二步：∵大正方形的面积＝24×4+25＝121，
∴大正方形的边长＝11．
第三步：列出方程x+（x+5）＝11，解得x＝3．
∴方程x（x+5）＝24的正数解为x＝3．
小明按此方法解关于x的方程x2+mx＝n时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为 　　．
17.已知x是实数且满足，那么的值是 .
三、解答题
18.解方程：．
19.我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级．
20.解下列方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10；
（2）x2+5x+7＝3x+10．
21.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？
22.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cx2＋bx＋a＝0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数(且a，c≠0).根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程－4x2＋3x＋1＝0的倒方程是　　　　　　　；
(2)若x＝－1是一元二次方程x2－2x＋c＝0的倒方程的一个根，求出c的值；
(3)若m是一元二次方程－6x2＋x＋1＝0的倒方程的一个实数根，则m3＋m2－6m＋2 025的值为　　　.
沪科版（2024）八年级下册 第17章 一元二次方程及其应用 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，一块长16 m，宽8 m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105 m2.设石子路的宽度为x m，则下面所列方程正确的是
A.(16－x)(8－x)＋x2＝105
B.(16－x)(8－x)＝105
C.(16－2x)(8－x)＋x2＝105
D.(16－2x)(8－x)＝105
【答案】B
【解析】设小路的宽为x m，
则草坪的总长度为(16－x)m，总宽度为(8－x)m，
根据题意，得(16－x)(8－x)＝105.
2.若关于x的方程x2－kx－3＝0的一个根是x＝3，则k的值是
A.－2
B.2
C.－
D.
【答案】B
【解析】当x＝3时，9－3k－3＝0，解得k＝2.
3.关于x的方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A.x1＝2，x2＝-1 B.x1＝4，x2＝1 C.x1＝0，x2＝-3 D.x1＝1，x2＝-2
【答案】D
【解析】方程可变形为，
∵关于x的方程的解是 (a，m，b均为常数，a≠0)，
∴或，
解得：，．
故选D．
4.以下是甲、乙同学解方程x(x－1)＝3(x－1)，解答过程如下所示：
甲同学 乙同学
两边同时除以(x－1)，得x＝3 移项，得x(x－1)－3(x－1)＝0. ∴(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0， 解得x1＝3，x2＝1
其中完全正确的是
A.甲同学
B.都对
C.乙同学
D.都不正确
【答案】C
【解析】∵x(x－1)＝3(x－1)，
∴移项，得 x(x－1)－3(x－1)＝0，
∴提取公因式 (x－1)，得(x－1)(x－3)＝0，
∴x－1＝0 或 x－3＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
甲同学解法中，两边同时除以(x－1)时，若x－1＝0，则除以零错误，且漏解x＝1，故不正确.乙同学解法完整正确.
5.一元二次方程x2＝16的解为（　　）
A.x＝8 B.x＝±8 C.x＝4 D.x＝±4
【答案】D
【解析】x2＝16，
x＝±4，
所以x1＝4，x2＝﹣4．
故选：D．
6.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.
B.（a，b，c均为常数）
C.
D.
【答案】C
【解析】A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、是一元二次方程，故不符合题意；
C、整理得是一元二次方程，故符合题意；
D、整理得不是一元二次方程，故不符合题意；
故选C．
7.用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　）
A.x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0
B.x2﹣5x﹣4＝0化为
C.x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
D.3x2﹣4x﹣2＝0化为
【答案】A
【解析】A、x2+6x﹣7＝0，
移项得：x2+6x＝7，
配方得：x2+6x+9＝16，即（x+3）2＝16，本选项正确；
B、x2﹣5x﹣4＝0，
移项得：x2﹣5x＝4，
配方得：x2﹣5x，即（x）2，本选项错误；
C、x2+2x﹣99＝0，
移项得：x2+2x＝99，
配方得：x2+2x+1＝100，即（x+1）2＝100，本选项错误；
D、3x2﹣4x﹣2＝0，
方程化简得：x2x，
配方得：x2x，即（x）2，本选项错误，
故选：A．
8.已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故选：B．
9.已知的小数部分是方程的一个根，则该方程另一根的整数部分是（ ）．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】解：∵，
∴的小数部分是，
∵的小数部分是方程的一个根，
∴方程的一个根是，
∴该方程另一根是，
∵，
∴该方程另一根的整数部分是2．
故选：B．
10.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A. ，是分式方程，不符合题意；
B. ，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C. ，整理可得，为一元一次方程，故不符合题意；
D. ，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
11.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　）
A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50%
【答案】C
【解析】设每天“遗忘”的百分比为x，
，
解得x1，（不合题意，舍去），
∵0.293，
∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%．
故选：C．
12.已知关于x的一元二次方程m(x－h)2－k＝0(m，h，k均为常数且m≠0)的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m(x－h＋1)2＝k的解是
A.x1＝－2，x2＝－5
B.x1＝－4，x2＝－1
C.x1＝1，x2＝4
D.x1＝－3，x2＝－6
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程m(x－h)2－k＝0(m，h，k均为常数且m≠0)的解是x1＝2，x2＝5，
∴关于(x＋1)的一元二次方程m[(x＋1)－h]2－k＝0的解为2和5，
即x＋1＝2或x＋1＝5，
即x1＝1，x2＝4，
∴关于x的一元二次方程m(x－h＋1)2＝k的解是x1＝1，x2＝4.
二、填空题
13.方程x2﹣4x﹣21＝0的解为　　．
【答案】7，-3
【解析】（x﹣7）（x+3）＝0
x1＝7，x2＝﹣3．
故答案为：7，﹣3．
14.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝　 　．
【答案】﹣1．
【解析】由已知方程得到：（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0．
根据题意得：m2﹣1＝0，
解得：m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，方程为5x＝0，不合题意，
则m的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
15.一元二次方程x2﹣2x﹣24＝0的根是 　　．
【答案】x1＝6，x1＝﹣4．
【解析】x2﹣2x+1＝25，
（x﹣1）2＝25，
x﹣1＝±5，
x1＝6，x1＝﹣4，
故答案为：x1＝6，x1＝﹣4．
16.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，其步骤为：
第一步：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形．
第二步：∵大正方形的面积＝24×4+25＝121，
∴大正方形的边长＝11．
第三步：列出方程x+（x+5）＝11，解得x＝3．
∴方程x（x+5）＝24的正数解为x＝3．
小明按此方法解关于x的方程x2+mx＝n时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为 　　．
【答案】1．
【解析】∵ x 2+ mx﹣n＝0，
∴ x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+ m ），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣ x ＝m＝2，
大正方形的边长为 x +m+ x ＝2 x + m ＝4，
∴x＝1，
故答案为：1．
17.已知x是实数且满足，那么的值是 .
【答案】1
【解析】解：设，
∴原方程可化为：，
∴，
解得：或；
当时，有，
此时，则方程无解；
当时，有，
此时，则方程有解；
∴；
故答案为：1.
三、解答题
18.解方程：．
【答案】解：
配方得：
即
或，
，．
19.我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级．
【答案】解：设七年级有x个班，
，
x2﹣x﹣90＝0，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍），
答：七年级有10个班．
20.解下列方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10；
（2）x2+5x+7＝3x+10．
【答案】解：（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣5＝0，x﹣2＝0，
解得，x2＝2；
（2）x2+5x+7＝3x+10，
x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
∴x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
21.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？
【答案】解：当运动时间为t秒时，BP＝t cm，BQ＝2t cm，
，
根据题意得： t 2t＝9，
整理得：t2＝9，
解得：t1＝t2＝3，
当t＝3时，t＝3＜5，2t＝2×3＝6，符合题意．
答：3秒后，△PBQ的面积为9cm2．
22.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cx2＋bx＋a＝0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数(且a，c≠0).根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程－4x2＋3x＋1＝0的倒方程是　　　　　　　；
(2)若x＝－1是一元二次方程x2－2x＋c＝0的倒方程的一个根，求出c的值；
(3)若m是一元二次方程－6x2＋x＋1＝0的倒方程的一个实数根，则m3＋m2－6m＋2 025的值为　　　.
【答案】解　(1)方程－4x2＋3x＋1＝0的倒方程是x2＋3x－4＝0.
(2)由条件可得倒方程为cx2－2x＋1＝0，
把x＝－1代入方程，得c＋2＋1＝0，
∴c＝－3.
(3)由题意得方程－6x2＋x＋1＝0的倒方程为x2＋x－6＝0，
∵m是方程x2＋x－6＝0的一个实数根，
∴m2＋m－6＝0，
∴m3＋m2－6m＋2 025
＝m(m2＋m－6)＋2 025＝2 025.

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