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2025-2026学年上海市浦东新区建平康梧中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若相似与的相似比为1：3，则与的周长比为( )
A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 9：1
2.如果线段a是线段b、c的比例中项，b：：2，那么下列结论中正确的是( )
A. a：：3 B. a：：2 C. b：：3 D. b：：2
3.已知，下列说法中，错误的是( )
A. B. C. D. 与方向相同
4.如图，在三角形纸片ABC中，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是( )
A. B. C. D.
5.在中，，如果，，那么AB等于( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形ABCD中，点P在对角线BD上，延长AP交DC于点G，过点P作，分别交AD、BC于点E、F，，如果，那么AP的长是( )
A. 2 B. 3 C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知，那么 .
8.计算：______.
9.已知点P是线段AB的黄金分割点，，若，则AP的值为______.
10.第七届中国国际进口博览会同称“进博会”于2024年11月5日至10日在国家会展中心上海隆重举办.以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会.小海在地图上如图测量他家与国家会展中心上海的距离为厘米.那么请帮小海计算出他家与国家会展中心上海的实际距离为 千米.
11.如图，AB，CD相交于点O，，，，EF是的中位线，且，则AC的长为 .
12.如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内，若OP与x轴负半轴的夹角的正切值为，则m的值为 .
13.在梯形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O，设，用、的式子表示向量 .
14.如图，长方形EDFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上.已知的边BC长120cm，高AH为40cm，且长方形DEFG的长DG是宽的2倍，那么DE的长度是 .
15.如图，在中，点G是重心，过点G作，交BC于点D，连接CG，如果，那么 .
16.如图，在中，，，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕.若， .
17.已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点，已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点，若点P是边长为6的等边三角形DEF的费马点，则 .
18.在等腰中，，AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，ED与边AB交于点F，且，如果与相似，那么的值为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题10分
计算：
20.本小题10分
如图，已知点D为中AC边上的一点，且AD：：4，设，
请用，表示向量；
在图中画出向量分别在，方向上的分向量不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量
21.本小题10分
如图，直线AB、CD、EF分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且，AC：：3，，
求证：；
若，，求EF的长.
22.本小题10分
材料阅读：
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为
问题解答：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
求的正弦值；
求CQ的长参考数据；
23.本小题12分
已知：如图，点D、E分别在的AB、AC边上，，，联结
求证：∽；
取AD的中点F，联结EF、BE，求证：
24.本小题12分
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
分别求一次函数及反比例函数的表达式；
在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接PA，PB，且满足
求点P的坐标；
过点A作直线，在直线l上取一点Q，且点Q位于点A的左侧，连结BQ，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由.
25.本小题14分
如图，矩形OABC中，，点P为对角线OB上一点，射线AP交线段OC于点D，射线CP交线段OA于点
当时，求CD的长度；
设，，当时，求y关于x的函数表达式；
如图，连接DE，交OB于点M，若，求点P到线段OC的距离.
参考答案
1.A
解：相似与的相似比为1：3，
与的周长比为1：3，
故选
2.B
解：由题意可得：，
：：2，
，即，
：：2；
故选：
3.B
解：A、由知，两向量方向相同，所以，说法正确，不符合题意；
B、，原说法不正确，符合题意；
C、由知，两向量的模相等，即，说法正确，不符合题意；
D、由知，两向量方向相同，说法正确，不符合题意．
故选：
4.B
解：在三角形纸片ABC中，，，
A、，对应边，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；
B、，对应边，即：，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项正确；
C、，对应边，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；
D、，
，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误.
故选：
5.C
解：，
，
故选：
6.C
解：如图，过点A作于点Q，
矩形ABCD中，，，
，
，
，即，
，
在中，，
，，
，
又，
∽，
，即，
，，
又，
，
又，
∽，
，
，
设，则，
，
解得：，
在中，，
的长是，
故选：
7.
解：，
，
故答案为：
8.
解：
故答案为：
9.
解：点P是线段AB的黄金分割点，且，，
，
故答案为：
10.52
解：设小海家与国家会展中心上海的实际距离为x千米，
：：20，
，
答：小海家与国家会展中心上海的实际距离为52千米．
故答案为：
11.2
解：是的中位线，，
，CD相交于点O，，，，
∽，
，即，
解得：
故答案为：
12.
解：过点P作轴，交x轴于点A，
点在第二象限，
，，
在RtAPO中，，，
，
，
即m的值为，
故答案为：
13.
解：如图，
，，
∽，
，
即，
，
，
，
故答案为：
14.24cm
解：设AH交DG于点I，
矩形EDFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上，
，，
∽，
矩形DEFG的长DG是宽的2倍，
，
是的高，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
解得，
的长度是24cm，
故答案为：
15.18
解：如图，连接BG并延长，交AC于点F，
点G是的重心，
：：1，
，
∽，
，
，且：：：2，
，
，
：：：1，
，
，
是中线，
，
，
故答案为：
16.
解：设，
，，
，，
，
，
将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，
，，
，
，
，
，
故答案为：
17.
解：等边三角形的性质可知等边三角形的费马点与三角形的重心、外心、垂心、内心重合，且满足，
，
故答案为：
18.
解：由题意得：只能∽，
过点D作于点G，交AB于点H，
设，，则，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：
19.解：原式

20.解：，，
，
：：4，
，
，
，即为向量分别在，方向上的分向量，如图所示：

21.证明：过点D作，交EF于点N，交AB的延长线于点M，
，即，
四边形AMNE是平行四边形，
，
，，
，
，
，
设，
：：3，
，
，
，
，
，
，
，
四边形CDNE是平行四边形，
，
解：，，，
∽，
，
，，，，
，
，
，
，
，
的长为
22.解：在中，，，
，
折射率，
，
；
，
，
在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
答：CQ的长约为
23.证明：，
，
，
，
，
，
∽
取AD的中点F，联结EF、BE，则，
，
，
，
，
∽，
，
∽，
，
，

24.解：把代入，得：，
解得：，
反比例函数的表达式为，
，
，
把，代入，得，
解得：，
一次函数的表达式为；
如图，过点P作轴，交AB于点H，
设，则，
，
，
，即，
解得：或舍去，
点P的坐标为；
存在点Q，使与相似．
设直线BP的解析式为，则，
解得：，
直线BP的解析式为，
直线，
设直线l的解析式为，把代入，得：，解得：，
直线l的解析式为，
设，其中，如图，过点A作轴，轴，过点B作轴，交AC于点C，交PH于点D，过点Q作轴，交AE于点E，
则，，，，，，，
、、都是等腰直角三角形，
，，，
当∽时，
则，
，即，
解得：，
；
当∽时，
则，即，
解得：，
；
综上所述，存在点Q，使与相似．点Q的坐标为或
25.解：过P作于点F，
，
为等腰直角三角形，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
；
如图，作于F，
四边形AOCB是矩形，
，
，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
同理可得，∽，
，
，
，
，
；
如图，连接AC，交OB于G，
，，
∽，∽，
，
，
∽，
，
，
∽，∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P到线段OC的距离为

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